Pogledajte kroz Univerzum i vidjet ćete da se gotovo sve rotira. Zemlja se okreće na svojoj osi dok kruži oko Sunca. A i Sunce se okreće. Kao što vjerojatno možete pretpostaviti, čak imamo rotaciju naše galaksije Mliječni Put.
Naša se galaksija, međutim, rotira nevjerovatno polako. Suncu je potrebno 220 miliona godina da ispuni jednu orbitu oko galaksije. U 4,6 milijardi godina koliko su Sunce i planete bili ovde, samo su se oko 20 puta rotirale oko centra galaksije.
Znamo da se rotacija galaksije događa jer je Mliječni put spljošten, na isti način kao što je Sunčev sistem spljošten. Centrifugalna sila iz rotacije izravnava galaktički disk. Sve zvijezde u galaktičkom disku prate približno kružne orbite oko središta galaksije. Zvijezde u halu mogu imati mnogo različitih orbita i brzina.
Proračun velike brzine rotacije galaksije doveo je do otkrića tamne materije. Ako bi naša galaksija sadržavala samo materiju koju možemo vidjeti – planete, gas, itd., rotacija galaksije trebala bi uzrokovati da se razdvoji. Umjesto toga, postoji mnogo veća masa koja drži galaksiju zajedno. U stvari, astronomi su izračunali da je ukupna masa galaksije vjerovatno 10 puta veća od zbroja svih zvjezda u njoj. 90% ove nevidljive tamne materije drži zajedno rotaciju galaksije. A samo 10% je normalna materija koju možemo vidjeti. Naša galaksija zaista ima masu veću od 1 biliona Sunca i prostire se više od 600 000 svjetlosnih godina; trećina udaljenosti do obližnje galaksije Andromeda.
Sve galaksije koje možemo vidjeti rotiraju.
To je ta rotaciona sila koja djeluje protiv unutrašnjeg povlačenja gravitacije iz svih galaksija. Ako se galaksije nisu rotirale, one će se srušiti prema unutra i samo se pridružiti supermasivim crnim rupama u srcima galaksija.
Zemlja nikada neće prestati da rotira. Zemlja se rotira u najčistijem, savršenom vakuumu u celom svemiru – praznom prostoru. Prostor je tako prazan, tako da je lišen bilo čega šta bi moglo da uspori Zemlju, pa se ona samo vrti i vrti, praktično bez trenja. Mesec koji pomjera naše okeane uzima najmanju količinu energije iz našeg okretanja, kao i prašine u prostoru. Ali ovi efekti su stvarno trivijalni.
Slično je kao da pitate kada će voz prestati da se kreće, ako putuje brzinom 1000 kilometara na sat, a jedino što ga usporava je sukob sa komarcima. Ali, sačekajte, pitate se, da li će to kretanje na kraju ipak prestati? Naravno, to bi moglo potrajati hiljade i više godina, ali će na kraju svi ovi komarci ga ipak zaustaviti. Pa, bićete u pravu – rotacija Zemlje bi trebala na kraju usporiti i na kraju zaustaviti u potpunosti. Jednostavno neće postojati dovoljno dugo.
Za par milijardi godina koliko bi trebalo da bi Zemlja usporila, svemir oko nje će se baviti svojim poslom. Najvažnije za Zemlju, Sunce će izgarati kroz svoje vodonično gorivo, postajati sve vrelije i toplije. Ovo će uništiti naše okeane i ostaviti Zemlji sterilnu, probojnu loptu izdužene stene. Ali onda će Sunce početi da se širi, sve više i više, sve dok ne proguta zemlju. U ovom trenutku, Zemlja će polako ispariti sve dok ne prestane postojati. Ostaci tog spina, uglovni zamah našeg sveta, biće prebačeni u plazmu Sunca, okrećući ga malo, plašeći lice naše naduvane zvezde. Onda ćemo nestati, ali ne i naš spin. Naša vrtnja će živeti u rotaciji Sunca. A još jedna milijarda godina kasnije, fuzija zaustavlja u jezgru Sunca, a ti spoljni slojevi su izbušeni, ono što je ostalo će nastaviti da se vrti. Malo tog spina biće ono što smo mu dali, ovaj beli patuljak koji je ušao u ono što je nekada bilo divno naselje na periferiji galaksije. Bijeli patuljak će se okretati i okretati, hladiti se, sve dok ne postane crni patuljak u trajanju od nekoliko triliona godina. Ali ipak će se okretati.
Na kraju, univerzum će se toliko širiti da će čestice zvijezde patuljka biti razdvojene. Do tada će, možda, prestati njena rotacija, ali vjerovatno ne … izgleda da je spin nešto tkano u tkivo našeg Univerzuma. Čak i dok se Svemir razdvaja, protoni i elektroni se još uvek okreću. Na kraju vremena, kada se Univerzum proširio da čak ni protoni više ne mogu postojati, neće biti ništa osim najsnažnijih čestica … možda i kvarkova i elektrona. Niko sigurno ne zna. Ali jedna stvar izgleda jasna: Spin je zauvek.
Pod krutim telom se podrazumeva zamišljen mehanički sistem od velikog broja materijalnih tačaka, čija se međusobna rastojanja ne menjaju tokom vremena bez obzira da li telo miruje ili se kreće. Tokom kretanja svaka njegova tačka opisuje svoju putanju. U slučaju rotacionog kretanja sve tačke opisuju kružne putanje u ravnima koje su normalne na osu rotacije i čiji se centri nalaze na toj osi. Iz ovog se može primetiti sledeće: a) tačke koje pripadaju osi rotacije ostaju nepokretne za sve vreme kretanja tela; b) da svaka tačka tela ima svoju putanju, brzinu i ubrzanje, usled čega ove veličine ne mogu da posluže za određivanje kretanja celog tela; c) da se radijus vektori svih tačaka (vektor povučen iz centra odgovarajuće kružnice u datu tačku) zaokrenu za isti ugao Δφ u toku rotacije. Ugao Δφ naziva se ugao zaokreta ili ugaoni pomeraj celog krutog tela.
Ugaoni pomeraj
Ugaoni pomeraj uzima se kao jedna od kinematičkih karakteristika rotacionog kretanja krutog tela, jer je isti za sve njegove tačke. Da bi smo definisali kretanje, vezaćemo za osu rotacije z-osu Dekartovog pravouglog koordinatnog sistema i smatraćemo da je smer rotacije tela pozitivan ako ugaoni pomeraj raste od nepomične ravni I u smeru koji je suprotan smeru obrtanja kazaljke na satu (za posmatrača koji gleda iz pozitivnog smera z-ose) a da je negativan – ako raste u smeru obrtanja kazaljke na satu.
Rotaciono kretanje čvrstih tela
Pri rotaciji tela veličina ugaonog pomeraja Δφ raste u toku vremena po zakonu:
Δφ = φ(t)
Funkcija koja u odnosu na datu osu određuje položaj tela u svakom trenutku smatra se da je jednoznačna, neprekidna i diferencijabilna u toku celog kretanja.
Da bi ugaoni pomeraj definisao rotaciju tela mora se prikazati kao uslovni vektor:
Δφ ⃗ = Δφ ⋅ ω ⃗0
Intenzitet vektora Δφ ⃗ je brojno jednak ugaonom pomeraju Δφ , pravac se poklapa sa osom rotacije a smer je na onu stranu odakle se vidi da se rotacija vrši u pozitivnom smeru. Vektor ω ⃗o je ort ose rotacije. Treba naglasiti da se samo vrlo mali ugaoni pomeraji ?φ mogu tretirati kao vektori, jer podležu vektorskom sabiranju odnosno vektorskoj algebri
Pored ugaonog pomeraja kinematičke karakteristike obrtanja krutog tela oko nepokretne ose su još i ugaona brzina ω i ugaono ubrzanje α .
Ugaona brzina
Srednja ugaona brzina (za dati vremenski interval) jednaka je količniku priraštaja ugaonog pomeraja i vremenskog intervala u kojem je taj priraštaj nastao.
ω ⃗sr = (Δφ ⃗)/Δt
Granična vrednost količnika Δφ ⃗ / Δ? , kada Δ? teži nuli , naziva se trenutna ugaona brzina ,
ω ⃗= lim Δt→0 (Δφ/Δt)
Prema ovoj jednačini se vidi da je ugaona brzina tela jednaka prvom izvodu vektora pomeraja po vremenu. Vektor ugaone brzine ω ⃗ ima intenzitet jednak ?φ / ?? , pravac duž ose rotacije tela, a smer joj se određuje po pravilu desnog zavrtnja.Odnosno to je vektor kolinearan sa vektorom ugaonog pomeraja , pa se može predstaviti u obliku :
ω ⃗ = ω ⋅ ω ⃗0
Rotacija tela sa konstantnom ugaonom brzinom ω ⃗ = const naziva se jednako rotaciono kretanje – periodično kretanje.
Ugaono ubrzanje
Pri neravnomernom obrtanju tela oko nepokretne ose, ugaona brzina je promenljiva. Promena vektora ugaone brzine u nekom intervalu vremena Δ? naziva se srednje ugaono ubrzanje :
α ⃗sr = (Δω ⃗)/Δt
Granična vrednost kojoj teži odnos (Δω ⃗)/Δt , kad Δ? teži nuli, naziva se trenutnim ugaonim ubrzanjem:
Dakle, ugaono ubrzanje obrtnog tela jednako je prvom izvodu vektora ugaone brzine po vremenu. Vektor ugaonog ubrzanja α ⃗ leži na osi rotacije kao i vektor ugaone brzine, a njegov smer zavisi od znaka priraštaja ugaone brzine. Ako je obrtanje tela ubrzano onda se smer vektora ugaonog ubrzanja poklapa sa smerom vektora ugaone brzine, a ako je obrtanje usporeno onda ovi vektori imaju suprotne smerove.
Jedinica ugaone brzine je jedan radijan u sekundi ( rad/s) , dok je jedinica ugaonog ubrzanja radijan u sekundi na kvadrat ( rad/s2 ).
Primeri rotacionog kretanja tela
Ravnomerno rotaciono kretanje tela
Ako je ugaona brzina ω ⃗ tela koje rotira konstantna u nekom vremenskom intervalu, takvo rotaciono kretanje naziva se ravnomerno rotaciono . U tom slučaju, integraljenjem jednačine
ω ⃗ = (dφ ⃗)/dt = const
možemo dobiti zakon ravnomernog obrtanja tela. Pretpostavićemo da je u početnom trenutku ?=0 vrednost ugla φ = φ0 , tada integraljenjem dobijamo:
φ = ω? + φ0
Prema tome ravnomerno rotaciono kretanje karakteriše se sledećim jednačinama:
φ ⃗ = 0, ω ⃗ = const i φ = φ0 + ω? .
Ravnomerno ubrzano rotaciono kretanje tela
Ako je vektor ugaonog ubrzanja α ⃗ = const u nekom vremenskom intervalu, takvo kretanje tela naziva se ravnomerno ubrzanim, pa na osnovu definicije imamo:
α ⃗ = (dω ⃗)/dt = (α0 ) ⃗ = const
Zakon ravnomerno promenljivog obrtanja tela dobijamo integraljenjem ove jednačine uz uslov da je u početnom trenutku ?=0 ugaona brzina bila ω = ω0 :
ω = ω0 + α0 ?
ovu jednačinu možemo napisati u obliku
?φ = ω0 ?? + αo ???
posle njenog integraljenja sa istim početnim uslovima, dobijamo zakon promenljivog obrtanja krutog tela oko nepokretne ose u obliku
φ = ω0? + 1/2 α0t2 + φ0
Na osnovu dobijenih jednačina vidi se analogija formula sa ravnomernim i jednako ubrzanim translatornim kretanjem.
Pod krutim telom se podrazumeva zamišljen mehanički sistem od velikog broja materijalnih tačaka, čija se međusobna rastojanja ne menjaju tokom vremena bez obzira da li telo miruje ili se kreće. Tokom kretanja svaka njegova tačka opisuje svoju putanju. U slučaju rotacionog kretanja sve tačke opisuju kružne putanje u ravnima koje su normalne na osu rotacije i čiji se centri nalaze na toj osi. Iz ovog se može primetiti sledeće: a) tačke koje pripadaju osi rotacije ostaju nepokretne za sve vreme kretanja tela; b) da svaka tačka tela ima svoju putanju, brzinu i ubrzanje, usled čega ove veličine ne mogu da posluže za određivanje kretanja celog tela; c) da se radijus vektori svih tačaka (vektor povučen iz centra odgovarajuće kružnice u datu tačku) zaokrenu za isti ugao Δφ u toku rotacije. Ugao Δφ naziva se ugao zaokreta ili ugaoni pomeraj celog krutog tela.
Ugaoni pomeraj
Ugaoni pomeraj uzima se kao jedna od kinematičkih karakteristika rotacionog kretanja krutog tela, jer je isti za sve njegove tačke. Da bi smo definisali kretanje, vezaćemo za osu rotacije z-osu Dekartovog pravouglog koordinatnog sistema i smatraćemo da je smer rotacije tela pozitivan ako ugaoni pomeraj raste od nepomične ravni I u smeru koji je suprotan smeru obrtanja kazaljke na satu (za posmatrača koji gleda iz pozitivnog smera z-ose) a da je negativan – ako raste u smeru obrtanja kazaljke na satu.
Rotaciono kretanje čvrstih tela
Pri rotaciji tela veličina ugaonog pomeraja Δφ raste u toku vremena po zakonu:
Δφ = φ(t)
Funkcija koja u odnosu na datu osu određuje položaj tela u svakom trenutku smatra se da je jednoznačna, neprekidna i diferencijabilna u toku celog kretanja.
Da bi ugaoni pomeraj definisao rotaciju tela mora se prikazati kao uslovni vektor:
Δφ ⃗ = Δφ ⋅ ω ⃗0
Intenzitet vektora Δφ ⃗ je brojno jednak ugaonom pomeraju Δφ , pravac se poklapa sa osom rotacije a smer je na onu stranu odakle se vidi da se rotacija vrši u pozitivnom smeru. Vektor ω ⃗o je ort ose rotacije. Treba naglasiti da se samo vrlo mali ugaoni pomeraji ?φ mogu tretirati kao vektori, jer podležu vektorskom sabiranju odnosno vektorskoj algebri
Pored ugaonog pomeraja kinematičke karakteristike obrtanja krutog tela oko nepokretne ose su još i ugaona brzina ω i ugaono ubrzanje α .
Ugaona brzina
Srednja ugaona brzina (za dati vremenski interval) jednaka je količniku priraštaja ugaonog pomeraja i vremenskog intervala u kojem je taj priraštaj nastao.
ω ⃗sr = (Δφ ⃗)/Δt
Granična vrednost količnika Δφ ⃗ / Δ? , kada Δ? teži nuli , naziva se trenutna ugaona brzina ,
ω ⃗= lim Δt→0 (Δφ/Δt)
Prema ovoj jednačini se vidi da je ugaona brzina tela jednaka prvom izvodu vektora pomeraja po vremenu. Vektor ugaone brzine ω ⃗ ima intenzitet jednak ?φ / ?? , pravac duž ose rotacije tela, a smer joj se određuje po pravilu desnog zavrtnja.Odnosno to je vektor kolinearan sa vektorom ugaonog pomeraja , pa se može predstaviti u obliku :
ω ⃗ = ω ⋅ ω ⃗0
Rotacija tela sa konstantnom ugaonom brzinom ω ⃗ = const naziva se jednako rotaciono kretanje – periodično kretanje.
Ugaono ubrzanje
Pri neravnomernom obrtanju tela oko nepokretne ose, ugaona brzina je promenljiva. Promena vektora ugaone brzine u nekom intervalu vremena Δ? naziva se srednje ugaono ubrzanje :
α ⃗sr = (Δω ⃗)/Δt
Granična vrednost kojoj teži odnos (Δω ⃗)/Δt , kad Δ? teži nuli, naziva se trenutnim ugaonim ubrzanjem:
Dakle, ugaono ubrzanje obrtnog tela jednako je prvom izvodu vektora ugaone brzine po vremenu. Vektor ugaonog ubrzanja α ⃗ leži na osi rotacije kao i vektor ugaone brzine, a njegov smer zavisi od znaka priraštaja ugaone brzine. Ako je obrtanje tela ubrzano onda se smer vektora ugaonog ubrzanja poklapa sa smerom vektora ugaone brzine, a ako je obrtanje usporeno onda ovi vektori imaju suprotne smerove.
Jedinica ugaone brzine je jedan radijan u sekundi ( rad/s) , dok je jedinica ugaonog ubrzanja radijan u sekundi na kvadrat ( rad/s2 ).
Primeri rotacionog kretanja tela
Ravnomerno rotaciono kretanje tela
Ako je ugaona brzina ω ⃗ tela koje rotira konstantna u nekom vremenskom intervalu, takvo rotaciono kretanje naziva se ravnomerno rotaciono . U tom slučaju, integraljenjem jednačine
ω ⃗ = (dφ ⃗)/dt = const
možemo dobiti zakon ravnomernog obrtanja tela. Pretpostavićemo da je u početnom trenutku ?=0 vrednost ugla φ = φ0 , tada integraljenjem dobijamo:
φ = ω? + φ0
Prema tome ravnomerno rotaciono kretanje karakteriše se sledećim jednačinama:
φ ⃗ = 0, ω ⃗ = const i φ = φ0 + ω? .
Ravnomerno ubrzano rotaciono kretanje tela
Ako je vektor ugaonog ubrzanja α ⃗ = const u nekom vremenskom intervalu, takvo kretanje tela naziva se ravnomerno ubrzanim, pa na osnovu definicije imamo:
α ⃗ = (dω ⃗)/dt = (α0 ) ⃗ = const
Zakon ravnomerno promenljivog obrtanja tela dobijamo integraljenjem ove jednačine uz uslov da je u početnom trenutku ?=0 ugaona brzina bila ω = ω0 :
ω = ω0 + α0 ?
ovu jednačinu možemo napisati u obliku
?φ = ω0 ?? + αo ???
posle njenog integraljenja sa istim početnim uslovima, dobijamo zakon promenljivog obrtanja krutog tela oko nepokretne ose u obliku
φ = ω0? + 1/2 α0t2 + φ0
Na osnovu dobijenih jednačina vidi se analogija formula sa ravnomernim i jednako ubrzanim translatornim kretanjem.
