Može li se nešto razložiti u konačni broj tačaka i ponovo sastaviti u dvije kopije identične izvornom originalu?

Paradoks Banach-Tarski je teorem u set-teoretskoj geometriji, koji navodi sljedeće: Za čvrstu kuglu u trodimenzionalnom prostoru postoji raspadanje lopte u konačan broj odvojenih podskupova, koji se zatim mogu vratiti zajedno na drugačiji način da daju dvije identične kopije izvorne kugle. Doista, postupak ponovnog sastavljanja uključuje samo pomicanje dijelova i okretanje bez promjene njihovog oblika. Međutim, komadi nisu sami “čvrsti” u uobičajenom smislu, već skup beskonačno raspršenih dijelova. Rekonstrukcija može raditi s čak pet komada.

Jači oblik teorema podrazumijeva da, s obzirom na bilo koja dva “razumna” kruta objekta (poput malene kuglice i ogromne kugle), rezani komadi bilo koje od njih mogu se ponovno sastaviti u drugu. To se često neformalno navodi kao “grašak može biti odrezan i ponovno sastavljen u Sunce” i nazvan “paradoks graška i sunca”.

Razlog zbog kojeg se teorem Banach-Tarski naziva paradoksom jest to što proturječi osnovnoj geometrijskoj intuiciji. Činjenica da je “udvostručenje lopte” dijeljenjem na dijelove i pomicanjem okretanja i prijevoda, bez ikakvog istezanja, savijanja ili dodavanja novih točaka, čini se nemogućim, budući da bi sve te operacije trebale intuitivno da očuvaju volumen. Intuicija da takva operacija sačuva svezaka nije matematički apsurdna i čak je uključena u formalnu definiciju svezaka. Međutim, ovdje se ne primjenjuje jer je u ovom slučaju nemoguće definirati količine uzete u obzir, jer su odabrani tako velikom poroznošću. Ponovno sastavljanje reproducira glasnoću, što se inače razlikuje od volumena na početku.

Za razliku od većine teorema u geometriji, dokaz ovakvog rezultata ovisi o kritičnom načinu na izboru aksioma za setnu teoriju. Može se dokazati pomoću aksioma izbora, koji omogućuje izgradnju ne mjerljivih skupova, tj. zbirki bodova koji nemaju volumen u običnom smislu i čija izgradnja zahtijeva nebrojiv broj izbora.

Pokazano je u 2005 da se komadi u razgradnji mogu odabrati na takav način da se mogu pomicati kontinuirano na mjesto bez da se sabiju jedan u drugi.