Tag Archives: neodređenost

Постоји нешто везано за физику што ме је стварно мучило још од времена када сам био дете. Везано је за питањекоје научници постављају већ скоро 100 година без одговора. Како се најмање ствари у природи, честице квантног света, уклапају уз највеће ствари у природи – планете, звезде и галаксије које на окупу држи гравитација?

Као дете сам пуно размишљао о оваквим питањима. Проводио сам време са микроскопима и електромагнетима,читао о силама малих честица и квантној механици и дивио се томе колико су се добро ти описи уклапали у наша запажања. Затим сам гледао у звезде, читао о томе колико добро разумемо гравитацију и мислио да сигурно постоји некакав елегантан начин да се ова два система уклопе. Међутим, није га било, а књиге су говориле: „Да, веома добро разумемо ова два света одвојено, али када покушамо да их повежемо математички, све се распадне.“

Током 100 година, ниједна од идеја везаних за решавање ове катастрофе у физици, у основи, није подупрта доказима. За моју малену, стару верзију, за малог, радозналог, скептичног Џејмса, ово је био крајње незадовољавајући одговор.

Дакле, и даље сам скептично детенце. Хајде да брзо прескочимо период до децембра 2015. године, када сам се нашао усред света физике који се окренуо наглавачке. Све је кренуло када смо у ЦЕРН-у видели нешто интригантно у подацима – наговештај нове честице, наговештај могућег невероватног одговора на ово питање.

Тако, и даље сам скептично дете, мислим, али сада сам ловац на честице. Физичар сам у ЦЕРН-овом Великом хадронском сударачу, највећем научном експерименту који је икада покренут. То је тунел од 27 километара на граници Француске и Швајцарске, закопан 100 метара испод земље. У овом тунелу користимо суперпроводне магнете хладније од свемира да бисмо убрзали протоне до скоро брзине светлости и сударамо их милион пута у секунди, а затим прикупљамо остатке ових судара да бисмо трагали за новим, неоткривеним елементарним честицама. Биле су потребне деценије рада на његовом дизајну и конструкцији од стране хиљаде физичара са свих страна света, а лета 2015. године морали смо непрестано да радимо да бисмо покренули сударача уз највећу енергију коју су људи икада користили у експерименту сударања.

Велика енергија је важна јер за честице постоји еквиваленција између масе и енергије честице, а маса је само број који је тамо поставила природа. Да бисмо открили нове честице, морамо да стигнемо до ових већих бројева, а да бисмо то учинили, морамо да изградимо већи сударач са већом енергијом, а највећи сударач са највећом енергијомје Велики хадронски сударач. Затим сударамо протоне неколико трилиона пута и веома полако прикупљамо податке месецима и месецима. Затим се нове честице могу појавити међу нашим подацима као испупчења, мале девијације од онога што се очекује, мали скупови података који чине да глатка линија више није тако глатка. На пример, ово испупчење, након вишемесечног прикупљања података 2012. године, водило је ка открићу Хигсове честице, Хигсовог бозона, и ка Нобеловој награди за потврду о његовом постојању.

Овак скок у енергији 2015. године био је најбољa шансa коју смо као врста икада имали за откривање нових честица;нових одговора на стара, отворена питања, јер смо користили скоро два пута већу енергију него када смо открили Хигсов бозон. Многе моје колеге су радиле током читаве каријере за овај тренутак и, искрено, за моју малу, радозналу верзију, ово је био тренутак који сам чекао читав свој живот. Значи, 2015. година је била година акције.

Тако је јуна 2015. године сударач поново укључен. Моје колеге и ја смо престали да дишемо и грицкали смо нокте, а онда смо коначно видели прве сударе протона уз највећу енергију икада искоришћену. Аплауз, шампањац, славље.Ово је била прекретница за науку, а нисмо имали појма шта ћемо наћи у овим потпуно новим подацима. Неколико недеља касније нашли смо ново испупчење. Није то било велико испупчење, али је било довољно велико да се заинтригирате. Међутим, на скали заинтригираности од један до десет, ако 10 указује на то да сте пронашли нову честицу, ова заинтригираност је била четворка.

(Смех)

Провео сам сате, дане, недеље на тајним састанцима, расправљајући се са колегама о овом малом испупчењу, док смо га чачкали и боцкали најокрутнијим експерименталним штапићима да бисмо видели да ли може да издржи испитивање. Међутим, чак и након грозничавог рада од неколико месеци, а спавали смо у канцеларијама и нисмо одлазили кући, вечерали смо чоколадице, испијали огромне количине кафе – физичари су машине које претварају кафу у дијаграме –

(Смех)

Ова малена избочина није хтела да нестане. Тако, након неколико месеци, представили смо нашу малу избочину свету уз веома јасну поруку – ова мала избочина је интересантна, али није дефинитивна, па хајде да је пратимо док прикупљамо још података. Дакле, покушавали смо да будемо изузетно опуштени у вези са овим, а свет је ово прихватио. Новинарима се ово свидело. Људи су говорили да их подсећа на малу избочину која се указала на путу ка откривању Хигсовог бозона. Боље од тога, моје колеге теоретичари – волим моје колеге теоретичаре – моје колеге теоретичари су написали 500 радова о овој малој избочини.

(Смех)

Свет физике честица окренуо се наглавачке. Ипак, шта је то везано за ову посебну избочину што је проузроковало да хиљаде физичара постане узнемирено? Ова мала избочина је била јединствена. Ова мала избочина је указивала на то да видимо неочекивано велики број судара чији су се остаци састојали од само два фотона, две честице светлости, а то је ретко.

Судари честица нису као судари аутомобила. Подлежу другачијим правилима. Када се две честице сударе приближно брзином светлости, сцену преузима квантни свет, а у квантном свету ове две честице накратко могу да створе нову честицу која живи мајушни део секунде пре него што се разложи на честице које погађају наш детектор.Замислите судар аутомобила при ком двоја кола нестану након судара, бицикл се појављује на њиховом месту –

(Смех)

а затим бицикл у експлозији створи два скејтборда који погоде наш детектор.

(Смех)

Надамо се, не и буквално. Веома су скупи.

Појава да само два фотона погоде наш детектор је веома ретка. А због посебних квантних својстава фотона, постоји веома мали број могућих нових честица, ових митских бицикала, које могу створити само два фотона. Али једна од ове две опције је огромна, а у вези је са старим отвореним питањем које ме је мучило док сам био мајушно дете, о гравитацији.

Можда вам гравитација делује невероватно снажно, али је заправо блесаво слаба ако се упореди са другим природним силама. Накратко могу да победим гравитацију док скачем, али не могу да покупим протон са длана.Снага гравитације у поређењу са другим природним силама? Десет на минус тридесет девет. То је децимала коју прати 39 нула.

Још горе од тога, све друге познате природне силе су савршено описане кроз нешто што називамо „стандардним моделом“, што је тренутно наш најбољи опис природе у најмањим размерама, а искрено, то је и једно од најуспешнијих људских достигнућа, осим гравитације, која није присутна у стандардном моделу. Лудо је. Као да је већи део гравитације нестао. Осећамо њене делиће, али где је њен остатак? Нико не зна.

Ипак, једно теоретско објашњење предлаже лудо решење. Ви и ја, чак и ви у задњим редовима, живимо у три просторне димензије. Надам се да то није спорна изјава.

(Смех)

Све познате честице, такође, живе у три просторне димензије. Заправо, „честица“ је само други назив за ексцитацију у тродимензионалном пољу; локализовано померање у простору. Још важније је да сва математика коју користимо да опишемо све ове ствари претпоставља да постоји само три просторне димензије, али математика је математика и можемо се њоме играти како хоћемо. Људи су се дуго и поигравали додатним просторним димензијама, али је то увек био апстрактни математички концепт. Мислим, само погледајте око себе – ви у задњим редовима, погледајте около – јасно је да постоје само три просторне димензије.

Међутим, шта ако то није истина? Шта ако гравитација која недостаје истиче у неку додатну просторну димензију коју ви и ја не можемо видети? Шта ако је гравитација подједнако снажна као и друге силе ако бисте је посматрали у овој додатној просторној димензији, а заправо осећамо само мајушни део гравитације, због чега делује као да је веома слаба? Ако би ово било тачно, морали бисмо да проширимо наш стандардни модел честица да бисмо укључили додатну честицу, хипердимензионалну честицу гравитације, специјални гравитон који живи у додатним просторним димензијама.

Видим вам изразе лица. Требало би да ме питате: „Како ћемо, забога, тестирати ову луду научно-фантастичну идеју,када смо заглављени, као што јесмо, у три димензије?“ На начин на који то увек радимо, сударањем два протона –

(Смех)

довољно јако да судар одјекне у било којој додатној просторној димензији која постоји, моментално стварајући овај хипердимензионални гравитон који се онда брзо врати у три димензије сударача и избаци два фотона, две честице светлости. Овај хипотетички гравитон из додатне димензије једина је могућа хипотетичка нова честица која има специјална квантна својства која би могла изродити избочину од два фотона.

Дакле, могућност да се објасне мистерије гравитације и откривање додатне просторне димензије – можда сада почињете да схватате зашто је хиљаде штреберских физичара колективно изгубило главу због наше мале избочине од два фотона. Овакво откриће би исписало нове уџбенике. Ипак, сетите се, порука нас експериментатора који смо заправо радили на овоме у то време била је јасна: треба нам још података. Са више података, мала избочина ће се или претворити у фину, свежу Нобелову награду –

(Смех)

или ће додатни подаци попунити простор око избочине и претворити је у фину, глатку линију.

Тако, узели смо још података и уз пет пута више података неколико месеци касније, наша мала избочина претворила се у глатку линију. Новине су извештавале о „огромном разочарењу“, „пропалим надама“ и о томе да су физичари који се баве честицама тужни. Судећи по тону насловница, помислили бисте да смо одлучили да искључимо сударач и одемо кући.

(Смех)

Међутим, то није оно што смо учинили. Ипак, зашто нисмо? Мислим, ако нисам открио честицу, а нисам, ако нисам открио честицу, зашто сам овде и причам са вама? Зашто нисам само постиђено погнуо главу и отишао кући?

Физичари који се баве честицама су истраживачи, а велики део нашег рада је картографија. Да то овако формулишем – заборавите сударач на тренутак. Замислите да сте истраживач свемира који стиже на удаљену планету, у потрази за ванземаљцима. Шта је ваш први задатак? Да истог тренутка направите круг око планете, приземите се, баците поглед да видите упечатљиве, очигледне знаке живота и да известите натраг у базу. То је фаза у којој смо сада. Бацили смо први поглед на сударач да бисмо уочили нове, упечатљиве, лако приметне честице и можемо да кажемо да их нема. Видели смо чудну, страну избочину на удаљеној планини, али када смо се приближили, видели смо да је камен.

Онда, шта ћемо следеће урадити? Да ли ћемо само одустати и отићи? Сигурно је да нећемо; били бисмо грозни научници да то учинимо. Не, провешћемо неколико деценија у истраживању, у мапирању територије, просејавајући песак помоћу финог инструмента, загледајући испод сваког камена, бушећи испод површине. Нове честице се могу појавити одмах као велике, очигледне избочине или их можемо открити након година прикупљања података.

Човечанство је тек сад почело истраживање у сударачу помоћу велике енергије и чека нас много истраживања.Међутим, шта ако чак и после 10 или 20 година не нађемо нове честице? Изградићемо веће машине.

(Смех)

Тражићемо уз већу енергију. Тражићемо уз већу енергију. Планирање тунела од 100 километара се већ дешава, а у њему ће се сударати честице уз 10 пута већу енергију у сударачу. Не одлучујемо где ће природа сместити нове честице. Ми једино одлучујемо да наставимо да истражујемо. Шта ако и након изградње сударача од 100 километара, 500 километара или сударача од 10 000 километара који лебди у свемиру између Земље и Месеца и даље не нађемо нове честице? Онда можда погрешно приступамо физици честица.

(Смех)

Можда треба поново да размотримо ствари. Можда нам је потребно више ресурса, технологије, стручног кадра од онога што тренутно имамо. Већ користимо вештачку интелигенцију и технике учења помоћу машина у деловима сударача, али замислите стварање експеримента у физици честица који користи толико софистициране алгоритмеда сам може да открије хипердимензионални гравитон.

Шта би било кад би било? То је најзначајније питање. Шта ако чак и вештачка интелигенција не може помоћи да одговоримо на питања? Шта ако је суђено да ова вековима отворена питања остану без одговора у догледној будућности? Шта ако је стварима које ме муче откако сам био дете суђено да остану без одговора у току мог животног века? Онда ће то… бити још фасцинантније.

Бићемо приморани да размишљамо на потпуно нове начине. Мораћемо да се вратимо на наше претпоставке и одлучимо да ли негде постоји пропуст. Мораћемо и да охрабримо више људи да се прикључе научном раду јер нам треба нова перспектива за ове проблеме старе један век. Немам одговоре и још увек трагам за њима. Ипак, неко – можда је тренутно у школи, можда још увек није рођена – на крају би могла да нас наведе да видимо физику на потпуно нови начин и да укаже на то да можда само постављамо погрешна питања, што не би био крај физике, већ нови почетак.

Хвала вам.

(Аплауз)

Извор: https://www.ted.com/talks/james_beacham_how_we_explore_unanswered_questions_in_physics/transcript

Kvantna elektrodinamika, kvantna fizika, Kvantna fizika čvrstog stanja, Kvantna mehanika, Kvantna statistička fizika

Šta je to Heisenbergovo načelo neodređenosti?

April 22, 2017 admin 3 Comments

Heisenbergov princip neodređenosti za srednjoškolski nivo

U kvantnoj mehanici, Heisenbergovo načelo neodređenosti govori kako je načelno nemoguće istovremeno odrediti tačan položaj i brzinu neke čestice. Da bismo posmatranjem odredili položaj nekog tijela, moramo ga osvijetliti i primiti svjetlost koja se od njega reflektira. Međutim, zbog difrakcije svjetlosti položaj tijela možemo odrediti najpreciznije na talasnu dužinu svjetlosti pa tako možemo pisati da je neodređenost položaja tijela jednaka talasnoj dužini svjetlosti (Δx≈λ). Smanjenjem talasne dužine korištene svjetlosti možemo sve preciznije odrediti položaj tražene čestice, ali u tom slučaju povećavamo energiju zračenja (E=hf=hc/λ), odnosno čestične osobine svjetlosti (elektromagnetskog talasa) čiji foton u tom slučaju ima veću količinu kretanja (p=h/λ) pa tako u “sudaru” s posmatranom česticom više mijenja njenu količinu kretanja (u odnosu na početnu) tako da je i nju nemoguće sasvim tačno odrediti. Povećanjem čestičnih osobina svjetlosti kojom osvjetljavamo (smanjenje talasne dužine) gubi se na preciznosti mjerenja brzine (količine kretanja), a povećanjem talasne dužine gubi se na preciznosti određivanja položaja. Ovo nije posljedica nesavršenosti mjernih instrumenata, nego je kvantno svojstvo samog posmatranog sistema i nemoguće ga je izbjeći i upotrebom usavršenih mjernih instrumenata. Što preciznije mjerimo položaj, manje precizno mjerimo brzinu i obrnuto. Ovo svojstvo otkrio je 1927. godine njemački fizičar Werner Heisenberg a obično se formulira ovako:

Δp·Δx≥ħ/2

gdje je Δp neodređenost količine kretanja, Δx neodređenost položaja, a ħ je reducirana Planckova konstanta (ħ=h/2π) h=6,626·10⁻³⁴ Js

ili drukčije formulirano:

ΔE·Δt≥ħ/2

gdje je ΔE neodređenost energije, a Δt neodređenost mjerenja vremenskog intervala.

Ove relacije vrijede i u makrosvijetu (svijetu klasične mehanike), ali tamo su neprimjetljive jer je neodređenost položaja zanemariva u odnosu na dimenzije tijela, a neodređenost količine kretanja u odnosu na ukupnu količinu kretanja tijela.

Heisenbergovo načelo neodređenosti izazvalo je brojne kritike u svijetu fizike 20. vijeka (najpoznatije od Alberta Einsteina) jer je utjelovljenje kontrarnosti(?) determinističkim principima dotadašnje fizike, otpočelo je eru probabilističkog pristupa kvantnoj fizici i postavilo bitnu granicu preciznosti eksperimenta.

Heisenbergovo načelo neodređenosti za fakultetski nivo

Werner Karl Heisenberg, formulirao je 1927. princip neodređenosti

Heisenbergovo načelo neodređenosti ili relacije neodređenosti su bilo koja inačica nejednakosti koja govori o fundamentalnom ograničenju spoznaje vrijednosti komplementarnih fizikalnih veličina.

Prvi takav princip uvedeo je 1927. godine njemački fizičar Werner Heisenberg, a formuliran je za fizikalne veličine položaja i količine gibanja: što točnije poznajemo položaj, manje točno možemo poznavati količinu gibanja – i obrnuto. Heisenberg je izvorno svoje relacije izrazio preko matrične mehanike (koju je osmislio kao dvadesetdvogodišnjak, za potrebe kvantne mehanike, 1925. godine kada se povukao na otok Helgoland da bi izbjegao jake alergijske napade od kojih je patio ), tj. preko komutacijskih relacija:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42dbbd0db710385288536bcf4f4a1b7cceb75d9a" alt="{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }" width="4402" height="1223.9">

Gdje se $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18d95a7845e4e16ffb7e18ab37a208d0ab18e0e0" alt="{\displaystyle {\hat {x}}}" width="572.5" height="936.9">$ i $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bd4c026f1b3413adc58b9b65e89e62bce92c85a" alt="{\displaystyle {\hat {p}}}" width="623.8" height="1080.4">$ operatori položaja i količine gibanja, a $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de68de3a92517953436c93b5a76461d49160cc41" alt="{\displaystyle \hbar }" width="562.5" height="936.9">$ reducirana Planckova konstanta.

Kada se nejednakost izrazi preko standardne devijacije, kao što su to napravili Earle Hesse Kennard i Hermann Weyl, postaje jasnije da je riječ o organičavanju znanja o položaju i količini gibanja:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa9d9f8633ac3a229161d96ae52aef18d80a6a80" alt="{\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}~~}" width="4860.4" height="2300.3">

Gdje su $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebf4ab08fe163a6c495cad6f4d67653287c4044c" alt="{\displaystyle \sigma _{x}}" width="1076.3" height="865.1">$ i $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd141c4b4b162275b62a7b903a1a065271fae3cb" alt="{\displaystyle \sigma _{p}}" width="1027.5" height="1008.6">$ standardne devijacije položaja i količine gibanja, definirane kao: $^{2}}}}<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb2f8b00d0a80409413ea7591c2a4d6afcb5f0f0" alt="{\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\langle {\hat {x}}^{2}\rangle -\langle {\hat {x}}\rangle ^{2}}}}" width="8244.6" height="2085">$ i $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f734a04ab5323ebefafbef5d797d35afc2773fab" alt="{\displaystyle \sigma _{p}={\sqrt {\langle {\hat {p}}^{2}\rangle -\langle {\hat {p}}\rangle ^{2}}}.}" width="8499.9" height="2085">$

Formulacije

Valno-mehanička formulacija

Ilustrativni prikaz superpozicije nekoliko ravnih valova koji formiraju valni paket. Vidimo da valni paket postaje sve više lokaliziran, dodavanjem novih ravnih valova.

Prema de Broglievoj hipotezi, svaka čestica ima ujedno i valna svojstva. Informacije o položaju čestice, u kvantnoj mehanici, dobiva se iz valne funkcije $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f78f255e641e6cd2cd4bcb63183af3a47d84808e" alt="{\displaystyle \Psi (x,t)}" width="2936.7" height="1223.9">$ . Vremenski neovisna valna funkcija za jednostavni ravni valnog broja k₀ i količine gibanjap₀ je

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28e16662c2e82f9f0d05d896c70f224b6a4f4d73" alt="{\displaystyle \psi (x)\propto e^{ik_{0}x}=e^{ip_{0}x/\hbar }~.}" width="9823.4" height="1439.2">

Vjerojatnost nalaženja čestice između a i b je, po Bornovom pravilu, definirana kao

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8852ff1f2e7c518fce8dfbb77f8e8a7920c63f3" alt="{\displaystyle \operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} x~.}" width="13521.6" height="2730.8">

Očito je da je u slučaju ravnoga valna $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99516be05fd9132a16e5f2dcd0cb03bd632eab12" alt="{\displaystyle |\psi (x)|^{2}}" width="3013.9" height="1439.2">$ funkcija konstanta, odnosno, čestica može biti bilo gdje, u promatranom prostoru, sa jednakom vjerojatnosti. Drugim riječima, položaj čestice je maksimalno neodređen. Ako promatramo valnu funkciju koja je superpozicija više valova (kao na animaciji desno):

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95db00b9b9c4b8e1cc44f06f79a4fb41b2068e0f" alt="{\displaystyle \psi (x)\propto \sum _{n}A_{n}e^{ip_{n}x/\hbar }~,}" width="9490.6" height="2372">

gdje A _n predstavlja koeficijent, odnosno doprinos vala količine gibanja p_n rezultantnom valu. Prijeđemo li sa sume po diskretnim valovima na kontinuirani slučaj, rezultantna valna funkcija biti će integral preko svih mogućih valova

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2ce20623d54c0a5ac8dc4445cecfc69430ea7dc" alt="{\displaystyle \psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\phi (p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp~,}" width="15062.2" height="2730.8">

gdje $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/772d7fe1c5a3439845a87f55d45af038956b3f12" alt="{\displaystyle \phi (p)}" width="1879" height="1223.9">$ predstavlja amplitudu koja je Fourierov transform od $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a596a1fb4130a47f6b88c66150497338bd6cbccc" alt="{\displaystyle \psi (x)}" width="2003" height="1223.9">$ . Sa ovom funkcijom, pozicija je postala preciznije definirana, ali je sada količina gibanja slabije definirana pošto je rezultantni val superpozicija valova sa raznim količinama gibanja. Točnije, smanjili smo standardnu devijaciju pozicije σ_x na račun povećavanja standardne devijacije količine gibanja σ_p.

Stoga, ukoliko povećamo σ_x, smanjiti će se σ_p i obrnuto. Zaključujemo da je odnos σ_x i σ_p obrnuto proporcionalan, što je upravo ono što govore Heisenbergove relacije neodređenosti. Može se pokazati da umnožak σ_x i σ_p daje upravo vrijednost $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4f8178c614e701fae52026f2299b0adcc367dd3" alt="{\displaystyle {\frac {\hbar }{2}}}" width="922.5" height="2300.3">$ .

Matrična formulacija

U matričnoj mehanici, izvornom načinu na kojem je Heisenberg došao do svojih relacija, opservable poput položaja i količine gibanja samoadjungirani operatori. Za početak, definirajmo komutacijske relacije između dva operatora kao

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3133da214f8f0fcf1ba11e907cfd121a2179b1b4" alt="{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}.}" width="8409.7" height="1439.2">

U slučaju operatora položaja i količine gibanja, imamo

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fee0861ae7784cb51a1b43f6c51735c22c23274e" alt="{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar .}" width="4680.5" height="1223.9">

Neka je $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc27f1893b769a08cd6b296e115a29e61cab675e" alt="{\displaystyle |\psi \rangle }" width="1319.5" height="1223.9">$ vlastita funkcija operatora položaja sa konstantnom vlastitom vrijednosti x₀, što per definitionem znači da je $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99974c4e6ad4d675c7552a4228f51c68b184349a" alt="{\displaystyle {\hat {x}}|\psi \rangle =x_{0}|\psi \rangle .}" width="5850.5" height="1223.9">$ . Primijenimo spomenuti komutator na $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc27f1893b769a08cd6b296e115a29e61cab675e" alt="{\displaystyle |\psi \rangle }" width="1319.5" height="1223.9">$ i dobit ćemo:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8255257353e4743e966c106dea5674689ed04690" alt="{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =({\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}})|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle ,}" width="21952.1" height="1439.2">

gdje je Î operator identiteta.

Pretpostavimo, radi reductio ad absurdum, da je ${\displaystyle |\psi \rangle }<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc27f1893b769a08cd6b296e115a29e61cab675e" alt="{\displaystyle |\psi \rangle }" width="1319.5" height="1223.9">$ ujedno i vlastita funkcija operatora količine gibanja, sa vlastitom vrijednosti p₀; tada bismo imali

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49ffc3dad1441f176ffe0df7d6d3001872c9d497" alt="{\displaystyle ({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =(x_{0}{\hat {I}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =0.}" width="25616.7" height="1439.2">

Međutim, takav rezultat je upravo u kontradikciji sa Heisenbergovim relacijama neodređenosti koje zahtijevaju

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04d341bbd1c29d8f96a5ce5ad6e2cf856d1b1f40" alt="{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle \neq 0.}" width="9154.1" height="1223.9">

Što implicira da kvantna stanja ne mogu biti istovremeno vlastita funkcija položaja i količine gibanja. Drugim riječima: mjerenjem položaja, količina gibanja će biti neodređena, i obrnuto.

Važne relacije neodređenosti

Osim spomenutih relacija neodređenosti između položaja i količine gibanja, u kvantnoj mehanici često se koriste i relacije neodređenosti za: komponente kutne količine gibanja, komponente spina čestice i relacije između energije i vremena.

Za kutnu količinu gibanja vrijedi

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d32a97397e35b96330795406f1a55f6c5acfef2d" alt="{\displaystyle [{L_{x}},{L_{y}}]=i\hbar \epsilon _{xyz}{L_{z}}.}" width="8549.5" height="1295.7">

Gdje je $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21525193117bdfc0f3ac71b8ec46e3b6d0637daf" alt="{\displaystyle \varepsilon _{ijk}}" width="1471.2" height="1008.6">$ Levi-Civita simbol. Što znači da nije moguće istovremeno poznavati vrijednosti dviju komponenta kutne količine gibanja.

Za komponente spina vrijedne analogne relacije kao kod kutne količine gibanja, odnosno

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4dedf5de9d2b4259facf15dd9c85a31ecbab75e" alt="{\displaystyle [S_{i},S_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}S_{k}.}" width="8039.2" height="1295.7">

Što znači da nije moguće istovremeno poznavati vrijednosti dviju komponenta spina.

Pošto vrijeme u nerelativističkoj kvantnoj mehanici nije opservabla, umjesto vremena koristi se životni vijek stanja $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e5789e5d9c8f7c79744f43ecaaf8ba42a8553a" alt="{\displaystyle \psi }" width="651.5" height="1080.4">$ u odnosu na opservablu B, pa relacije imaju oblik

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7aef18f93d0ae0050e97df1f5b24e26df14a9f9" alt="{\displaystyle \sigma _{E}~{\frac {\sigma _{B}}{\left|{\frac {\mathrm {d} \langle {\hat {B}}\rangle }{\mathrm {d} t}}\right|}}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}" width="6755.5" height="3807.2">

gdje je σ_E standardna devijacija Hamiltonijana (operatora energije) u stanju ${\displaystyle \psi }<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e5789e5d9c8f7c79744f43ecaaf8ba42a8553a" alt="{\displaystyle \psi }" width="651.5" height="1080.4">$ , a σ_B standardna devijacija nekog operatora B. , gdje je ${\displaystyle a\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39662bfe49531f7333e721d3a3a83143f16ec13b" alt="{\displaystyle a\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}" width="4921.5" height="1223.9">$

Heisenbergov mikroskop

Relacije neodređenosti izmeđ položaj i brzinu neke čestice možemo predočiti slikovitim teorijskim primjerom Heisenbergova mikroskopa:

Heisenbergov gamma-zrake mikroskop za detekciju pozicije elektrona (obojan plavo).Nadolazeća gamma zraka (obojana zeleno) raspršuje se na elektronu i pada na mikroskop pod kutom θ. Odbijena gamma zraka obojana je crveno.

Da bismo promatranjem odredili položaj nekog tijela, moramo ga osvijetliti i primiti svjetlost koja se od njega reflektira. Međutim, zbog ogiba svjetlosti položaj tijela možemo odrediti najpreciznije na valnu duljinu svjetlosti pa tako možemo pisati da je neodređenost položaja tijela jednaka valnoj duljini svjetlosti (Δx≈λ). Smanjenjem valne duljine korištene svjetlosti možemo sve preciznije odrediti položaj tražene čestice, ali u tom slučaju povećavamo energiju zračenja (E=hf=hc/λ), odnosno čestična svojstva svjetlosti (elektromagnetskog vala) čiji foton u tom slučaju ima veću količinu gibanja (p=h/λ) pa tako u “sudaru” s promatranom česticom više mijenja njenu količinu gibanja (u odnosu na početnu) tako da je i nju nemoguće sasvim točno odrediti. Povećanjem čestičnih svojstava svjetlosti kojom osvjetljavamo (smanjenje valne duljine) gubi se na preciznosti mjerenja brzine (količine gibanja), a povećanjem valnih (povećanje valne duljine) gubi se na preciznosti određivanja položaja.

Ovo nije posljedica nesavršenosti mjernih instrumenata, nego je kvantno svojstvo samog promatranog sustava i nemoguće ga je izbjeći i uporabom savršenih mjernih instrumenata. Što preciznije mjerimo položaj, manje precizno mjerimo brzinu i obrnuto. Ovo svojstvo otkrio je 1927. godine njemački fizičar Werner Heisenberg a obično se formulira ovako:

Δp·Δx≥ħ/2

gdje je Δp neodređenost količine gibanja, Δx neodređenost položaja, a ħ je reducirana Planckova konstanta (ħ=h/2π) h=6,626·10^-34 Js

ili drukčije formulirano:

ΔE·Δt≥ħ/2

gdje je ΔE neodređenost energije, a Δt neodređenost mjerenja vremenskog intervala.

Ove relacije vrijede i u makrosvijetu (svijetu klasične mehanike), ali tamo su neprimjetljive jer je neodređenost položaja zanemariva u odnosu na dimenzije tijela, a neodređenost količine gibanja u odnosu na ukupnu količinu gibanja tijela.

Heisenbergovo načelo neodređenosti izazvalo je brojne kritike u svijetu fizike 20. stoljeća (najpoznatije od Alberta Einsteina) jer je utjelovljenje kontrarnosti determinističkim principima dotadašnje fizike, otpočelo je eru probabilističkog pristupa kvantnoj fizici i postavilo bitnu granicu preciznosti eksperimenta.

Primjeri

Čestica u kutiji

Barijere van kutije imaju beskonačno velik potencijal, dok unutar kutuje čestica ima potencijal nula.

Najjednostavniji kvantnomehanički sustav je primjer slobodne čestice u kutiji. Takva čestica se može gibati samo u jednoj dimenziji (lijevo-desno) i ograničena je u beskonačoj potencijalnoj jami (zidovi označavaju barijere u kojima je potencijalna energija beskonačna), dok je potencijalna energija unutar kutije jednaka nuli. Stoga, čestica ima samo kinetičku energiju:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/131d72b87b6e2acbdfa80847a58546a10582e065" alt="{\displaystyle V(x)={\begin{cases}0,&amp;x_{c}-{\tfrac {L}{2}}&lt;x&lt;x_{c}+{\tfrac {L}{2}},\\\infty ,&{\text{za ostalo,}}\end{cases}},}" width="16693.5" height="2802.6">

Rješavanjem Schrödingerove jednadžbe za takvu česticu, lako je naći da vlastite funkcije u koordinatnoj i impulsnoj reprezentaciji definirana kao

$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f2a3f75a6683b797bf32332366f8af0f2a300e1" alt="{\displaystyle \psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin(k_{n}x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{n}t},&0<x<L,\\0,&{\text{za ostalo,}}\end{cases}}}" width="18669.4" height="2659.1">$ i

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d389b52a1b147363a00ddc6d73b01cd6840c4f72" alt="{\displaystyle \phi _{n}(p,t)={\sqrt {\frac {\pi L}{\hbar }}}\,\,{\frac {n\left(1-(-1)^{n}e^{-ikL}\right)e^{-i\omega _{n}t}}{\pi ^{2}n^{2}-k^{2}L^{2}}}}" width="18694.5" height="2874.4">

gdje je ${\displaystyle \omega _{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar n^{2}}{8L^{2}m}}}<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ce781ba66f6a7a882b41b7814f3c36d452dbc" alt="{\displaystyle \omega _{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar n^{2}}{8L^{2}m}}}" width="5486.4" height="2587.3">$ . Varijanca (koja je korijen standardne devijacije) pozicije i količine gibanja računa se:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd6a2e8bfd65babe2bea2ea66906856f1ca26db7" alt="{\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {L^{2}}{12}}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}" width="9711.7" height="2730.8">

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/845d4699e5984ce2debebba5ac669d24abbb7298" alt="{\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}}" width="6385" height="2802.6">

Vidimo da je umnožak standardnih devijacija:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b7051cdf63a3e433817b98489d4c5333bbc19a4" alt="{\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}.}" width="9805.6" height="2659.1">

S obzirom da je najmanja moguća vrijednost vrijable $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" alt="{\displaystyle n}" width="600.5" height="721.6">$ upravo $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ec7e1edc2e6d98f5aec2a39ae5f1c99d1e1425" alt="{\displaystyle n=1}" width="2435.1" height="936.9">$ , nalazimo da je najmanji mogući umnožak standardnih devijacija količine gibanja i pozicije jednak

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c76e7dae230d9d8b09fd370c3c84fbe3bd98e7e8" alt="{\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{3}}-2}}\approx 0.568\hbar &gt;{\frac {\hbar }{2}}}" width="14906.3" height="2659.1">

S time pokazujemo da Heisenbergove relacije neodređenosti vrijede za česticu u kutiji. Do današnjeg dana nije pronađeno niti jedno odstupanje od Heisenbergovih relacija neodređenosti.

Kvantni harmonički oscilator

Gustoća vjerojatnosti kod kvantnog harmoničkog oscilatora.

Jednodimenzionalni kvantni harmonički oscilator je kvantnomehanička varijantna klasičnoga harmoničkoga oscilatora. U tom slučaju, operatore količine gibanja i pozicije moguće je izraziti preko operatora podizanja i spuštanja:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0df220fd111fa795fe792be841d09d13b3d1370" alt="{\displaystyle {\hat {x}}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}(a+a^{\dagger })}" width="8743.8" height="2659.1">

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4f1a279847912c0b3fce6e3ea167e0fdf2c8af6" alt="{\displaystyle a^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle }" width="9695.8" height="1367.4">

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9988ea633fb1529f1592c4133272da364cc2f4c4" alt="{\displaystyle a|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle ~}" width="7808" height="1295.7">

trivijalno je odrediti varijancu,

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb151dac9eee44a14bf6c8a5783049312f85b075" alt="{\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {\hbar }{m\omega }}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}" width="8595" height="2659.1">

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1b6facd1a9fb3fe1799fb946d8791f04959b7b2" alt="{\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\hbar m\omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\,.}" width="9360.5" height="2659.1">

Iz toga slijedi da je produkt standardnih devijacija količine gibanja i pozicije:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2826b52afe988b79570d538ba6be527a44db9707" alt="{\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}=\hbar \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\geq {\frac {\hbar }{2}}.~}" width="11275.7" height="2659.1">

Što, kao što vidimo, zadovoljava Heisenbergove relacije neodređenosti.

Von Neumannov izvod Heisenbergovih relacija

Neka je:

$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ef4c7b923a5125ac91aa491838a95ee15b804f" alt="{\displaystyle {\mathcal {H}}}" width="845.5" height="936.9">$ Hilbertov prostor,zajedno sa skalarnim produktom $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a50080b735975d8001c9552ac2134b49ad534c0" alt="{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }" width="1781.2" height="1223.9">$ i normom $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e20c2c7fb1073047e5284a79f5d685074c17e01" alt="{\displaystyle \|\cdot \|={\langle \cdot ,\cdot \rangle }^{\frac {1}{2}}}" width="5586.5" height="1726.2">$ , te sa $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f890b5c7cc24dabd1ccc7ce2ee5a0d2dc0337736" alt="{\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {H}}}" width="1273.4" height="1080.4">$ kao operatorom identiteta u $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06e7b08d32d5cce25aec2c25642c9d8e13718a29" alt="{\displaystyle {\mathcal {H}}\;}" width="1123.3" height="936.9">$ ;
$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e142925de4b554ba8ba50d038010903f9d0fe04" alt="{\displaystyle {\hat {A}}\colon {\mathcal {H}}\supset D({\hat {A}})\to {\mathcal {H}}}" width="8162.8" height="1439.2">$ i $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b68bc6cd148273df2284cc28ec4098b224d4745d" alt="{\displaystyle {\hat {B}}\colon {\mathcal {H}}\supset D({\hat {B}})\to {\mathcal {H}}}" width="8152.8" height="1439.2">$ samoadjungirani operatori u $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ef4c7b923a5125ac91aa491838a95ee15b804f" alt="{\displaystyle {\mathcal {H}}}" width="845.5" height="936.9">$ i $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b006c358f05b75b50a1be7a59660b5d4a2232ef" alt="{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=a\mathbf {1} _{\mathcal {H}}}" width="5663.1" height="1439.2">$ , gdje je $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39662bfe49531f7333e721d3a3a83143f16ec13b" alt="{\displaystyle a\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}" width="4921.5" height="1223.9">$ ;
Te $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbf87d27c1745ca3827dbc1d97d80ade34565202" alt="{\displaystyle \psi \in {\;{\bigl (}D({\hat {A}})\cap D({\hat {B}})\cap {\hat {A}}^{-1}(D({\hat {B}}))\cap {\hat {B}}^{-1}(D({\hat {A}})){\bigr )}\;}\subseteq {\mathcal {H}}}" width="23431.3" height="1726.2">$ sa normom $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/376796190f2a450e2fb67ae9ef1896dd9d90720e" alt="{\displaystyle \|\psi \|=1}" width="3487.1" height="1223.9">$ .

Tada Heisenbergove relacije možemo izvesti u četiri koraka:

Korak 1:

Neka je

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3721c5c2a38d084be130e32474fc3796734b0b7" alt="{\displaystyle \operatorname {Im} {\langle {\hat {A}}\psi ,{\hat {B}}\psi \rangle }={\frac {\langle {\hat {A}}\psi ,{\hat {B}}\psi \rangle -\langle {\hat {B}}\psi ,{\hat {A}}\psi \rangle }{2\mathrm {i} }}}" width="16432.2" height="2659.1">

Stoga:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d4204172871710c80f94b906ce70a5784c2afcf" alt="{\displaystyle 2\cdot \operatorname {Im} {\langle {\hat {A}}\psi ,{\hat {B}}\psi \rangle }=-\mathrm {i} \cdot (\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi ,\psi \rangle -\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi ,\psi \rangle )=-\mathrm {i} \cdot \langle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi -{\hat {A}}{\hat {B}}\psi ,\psi \rangle }" width="30418.2" height="1439.2">

$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c183cb95396f0dce9e540a1d25aec3c96773e73d" alt="{\displaystyle =\mathrm {i} \cdot \langle ({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}})\psi ,\psi \rangle =\mathrm {i} \cdot \langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\psi ,\psi \rangle =\mathrm {i} \cdot \langle a\mathbf {1} _{\mathcal {H}}\psi ,\psi \rangle }" width="23689.2" height="1439.2">$ $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb2b1494f996d690b1f394bd7f427d04c292cb1e" alt="{\displaystyle =\mathrm {i} \cdot a\cdot \langle \psi ,\psi \rangle }" width="5837.3" height="1223.9">$ $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8739101f50d2cbff95146b56e273576c76466bb" alt="{\displaystyle =\mathrm {i} \cdot a\cdot {\|\psi \|}^{2}}" width="5416.6" height="1439.2">$

Što znači:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd8b301627c82b7037fabfd3c1990c1bc59b5977" alt="{\displaystyle {\|\psi \|}^{2}=-{\frac {2\mathrm {i} }{a}}\cdot \operatorname {Im} {\langle {\hat {A}}\psi ,{\hat {B}}\psi \rangle }\leq {\frac {2}{|a|}}\cdot |\langle {\hat {A}}\psi ,{\hat {B}}\psi \rangle |}" width="19605.4" height="2587.3">

Pa iz Cauchy-Schwarzove nejednakosti slijedi:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d630fa07418c245e5846d311980794cd9b91c31" alt="{\displaystyle {\|\psi \|}^{2}\leq {\frac {2}{|a|}}\cdot \|{\hat {A}}\psi \|\cdot \|{\hat {B}}\psi \|}" width="11161.9" height="2587.3">

Korak 2:

Neka su $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9a89ebdf27d625a7b214cc04cfbe673f5cbddcf" alt="{\displaystyle r,s\in \mathbb {R} }" width="3311.7" height="1080.4">$ dva prozivoljna skalara, te definirajmo $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b243b5829467441e91a1e4a5b5f8d8793bff458" alt="{\displaystyle {\hat {A}}_{r}={\hat {A}}-r\mathbf {1} _{\mathcal {H}}}" width="6230.1" height="1367.4">$ i $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58365c8b44a7c7df3566f3cfa9c4c2838419e266" alt="{\displaystyle {\hat {B}}_{s}={\hat {B}}-s\mathbf {1} _{\mathcal {H}}}" width="6250.8" height="1367.4">$ . Stoga, općenito možemo zaključiti da vrijedi:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91cffcff63b491b9ed26a401dee265cc3c5a183f" alt="{\displaystyle {\|\psi \|}^{2}\leq {\frac {2}{|a|}}\cdot \|{\hat {A}}_{r}\psi \|\cdot \|{\hat {B}}_{s}\psi \|={\frac {2}{|a|}}\cdot \|{\hat {A}}\psi -r\psi \|\cdot \|{\hat {B}}\psi -s\psi \|}" width="25738.4" height="2587.3">

Korak 3:

Kao rezultat drugoga koraka, uz $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/376796190f2a450e2fb67ae9ef1896dd9d90720e" alt="{\displaystyle \|\psi \|=1}" width="3487.1" height="1223.9">$ , $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a6e7ddcd5e03139005bbf64af2b4cc6677e2ba4" alt="{\displaystyle r=\langle {\hat {A}}\psi ,\psi \rangle }" width="5077.2" height="1439.2">$ i $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/060d5ca68d44e635a3f85216410007474c42afef" alt="{\displaystyle s=\langle {\hat {B}}\psi ,\psi \rangle }" width="5090.2" height="1439.2">$ , imamo:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d770b2e644745ee85002bd13857e1c516aa1b95" alt="{\displaystyle \|{\hat {A}}\psi -\langle {\hat {A}}\psi ,\psi \rangle \psi \|\cdot \|{\hat {B}}\psi -\langle {\hat {B}}\psi ,\psi \rangle \psi \|\geq {\frac {|a|}{2}}\cdot }" width="18938.2" height="2443.8">

Korak 4:

Za slučaj kada je $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d58d4a8a3deca6f1c151d7dce27b0c0f3042affe" alt="{\displaystyle a={\frac {h}{2\pi \mathrm {i} }}}" width="3576.1" height="2300.3">$ , dobivamo rezultat važan za kvantnu mehaniku, odnosno Heisenbergove relacije neodređenosti:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4105cb94e3dbdfdad3f338264b3340adc931c85f" alt="{\displaystyle \|{\hat {A}}\psi -\langle {\hat {A}}\psi ,\psi \rangle \psi \|\cdot \|{\hat {B}}\psi -\langle {\hat {B}}\psi ,\psi \rangle \psi \|\geq {\frac {h}{4\pi }}\cdot }" width="18925.7" height="2300.3">

Interpretacija relacija neodređenosti

Interpretacija relacija neodređenosti bila je jedna od glavnih točaka prijepora između Bohra i Einsteina, naročito na petoj Solvayavoj konferenciji. Po Kopenhagenskoj kvantnoj mehanici, ukoliko dvije fizikalne veličine ne komutiraju, one nemaju istovremenu fizikalnu realnost. Što znači da ukoliko poznajemo poziciju, količina gibanja nema realnost (tj. ne postoji). Također, ukoliko čestici poznajemo komponentu spina u x-smjeru, to znači da čestica nema ostale komponente spina. S druge strane, Einstein je to vidio kao naznaku nepotpunosti teorije, a ne kao znak da neke fizikalne veličine ne postoje ukoliko znamo njihove konjugirane parove.

Izvori

Heisenberg, W. (21. ožujka 1927.). “Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik”. Zeitschrift für Physik 43 (3–4): 172–198.
Trabesinger, A.. “History of quantum mechanics: The path to agreement”. Nature Physics 4: 349.
↑ L.D. Landau, E.M. Lifshitz (1977). Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory, 3rd, Pergamon Press. ISBN 978-0-08-020940-1 Online copy.
Hilgevoord, Jan (1998). “The uncertainty principle for energy and time. II.”. American Journal of Physics 66 (5): 396–402.
Predložak:Literatur
Mehra, J. (1987.). “Niels Bohr’s discussions with Albert Einstein, Werner Heisenberg, and Erwin Schrödinger: The origins of the principles of uncertainty and complementarity”. Foundations of Physics 17 (5): 461–506.
Bohr N. Discussions with Einstein on Epistemological Problems in Atomic Physics. The Value of Knowledge: A Miniature Library of Philosophy. Marxists Internet Archive. pristupljeno 2016-01-09 From Albert Einstein: Philosopher-Scientist (1949), publ. Cambridge University Press, 1949. Niels Bohr’s report of conversations with Einstein.
Paul Arthur Schilpp. Albert Einstein: Philosopher Scientist, Tudor Publishing Company (1951), str. 672.

Glavni izvor:

Tekst je u cjelosti preuzet sa Wikipedije!

Kvantna elektrodinamika, kvantna fizika, Kvantna fizika čvrstog stanja, Kvantna mehanika, Kvantna statistička fizika

Šta je to Heisenbergovo načelo neodređenosti?

April 22, 2017 admin Leave a comment

Heisenbergov princip neodređenosti za srednjoškolski nivo

Δp·Δx≥ħ/2

gdje je Δp neodređenost količine kretanja, Δx neodređenost položaja, a ħ je reducirana Planckova konstanta (ħ=h/2π) h=6,626·10⁻³⁴ Js

ili drukčije formulirano:

ΔE·Δt≥ħ/2

gdje je ΔE neodređenost energije, a Δt neodređenost mjerenja vremenskog intervala.

Heisenbergovo načelo neodređenosti za fakultetski nivo

Werner Karl Heisenberg, formulirao je 1927. princip neodređenosti

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42dbbd0db710385288536bcf4f4a1b7cceb75d9a" alt="{displaystyle [{hat {x}},{hat {p}}]=ihbar }" width="4402" height="1223.9">

Gdje se $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18d95a7845e4e16ffb7e18ab37a208d0ab18e0e0" alt="{displaystyle {hat {x}}}" width="572.5" height="936.9">$ i $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bd4c026f1b3413adc58b9b65e89e62bce92c85a" alt="{displaystyle {hat {p}}}" width="623.8" height="1080.4">$ operatori položaja i količine gibanja, a $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de68de3a92517953436c93b5a76461d49160cc41" alt="{displaystyle hbar }" width="562.5" height="936.9">$ reducirana Planckova konstanta.

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa9d9f8633ac3a229161d96ae52aef18d80a6a80" alt="{displaystyle sigma _{x}sigma _{p}geq {frac {hbar }{2}}~~}" width="4860.4" height="2300.3">

Gdje su $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebf4ab08fe163a6c495cad6f4d67653287c4044c" alt="{displaystyle sigma _{x}}" width="1076.3" height="865.1">$ i $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd141c4b4b162275b62a7b903a1a065271fae3cb" alt="{displaystyle sigma _{p}}" width="1027.5" height="1008.6">$ standardne devijacije položaja i količine gibanja, definirane kao: $^{2}}}}<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb2f8b00d0a80409413ea7591c2a4d6afcb5f0f0" alt="{displaystyle sigma _{x}={sqrt {langle {hat {x}}^{2}rangle -langle {hat {x}}rangle ^{2}}}}" width="8244.6" height="2085">$ i $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f734a04ab5323ebefafbef5d797d35afc2773fab" alt="{displaystyle sigma _{p}={sqrt {langle {hat {p}}^{2}rangle -langle {hat {p}}rangle ^{2}}}.}" width="8499.9" height="2085">$