Maxwellove jednadžbe

Maxwellove jednadžbe opisuju ovisnost električnog i magnetskog polja o nabojima i strujama, a također i njihovo međudjelovanje do kojeg dolazi kada se polja mijenjaju u vremenu. One su temelj klasične elektrodinamike i teorijske elektrotehnike, a razvio ih je James Clerk Maxwell između 1861. i 1864. godine. Koristeći u to doba poznate zakone (Ampèreov zakon, Faradayev zakon indukcije i Gaussov zakon) te postavivši hipotezu o struji pomaka, Maxwell ih je sve skupa ujedinio u skladu sa jednadžbom kontinuiteta.

Prikaz jednadžbi

Za razumijevanje slijedećih jednažbi potrebno je poznavati osnove vektorske analize. Maxwellove se jednadžbe mogu prikazati u diferencijalnom i integralnom obliku. Ekvivalencija između ovih oblika zasniva se na Stokesovom i teoremu Gauss-Ostrogradski. Također postoji i četverodimenzionalni oblik koji se koristi u teoriji relativnosti i kvantnoj elektrodinamici.

Univerzalni oblik Maxwellovih jednadžbi opisuje elektromagnetske fenomene u vakuumu, a u diferencijalnoj formi (u SI sustavu) glasi:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/236aa8aa43020f96f249f765c8b983c3b02dfe2a" alt="{displaystyle nabla cdot mathbf {E} ={frac {rho }{epsilon _{0}}}}" width="4867.4" height="2228.5">

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16ee950683349dacdd9e9c262ff6133812747edd" alt="{displaystyle nabla cdot mathbf {B} =0}" width="4209.5" height="936.9">

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eb118e22c941e34f5537dbbdcaa3d7ba23603e0" alt="{displaystyle nabla times mathbf {E} =-{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}}" width="6671.5" height="2372">

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57134e48b06ebc527fd19cd5e96f3f5d12ccddde" alt="{displaystyle nabla times mathbf {B} =mu _{0}mathbf {J} +mu _{0}epsilon _{0}{frac {partial mathbf {E} }{partial t}}}" width="10685.7" height="2372">

Gdje je:

ρ  <img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3ebd6a737acd6be86d8aa1eeb671550885db7b0" alt="{displaystyle rho }" width="767.5" height="936.9">

gustoća električnog naboja, količina električnog naboja po jedinici volumena

J   <img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76df31fb967fa6338b8b307d3a5c2c757b520c6a" alt="{displaystyle mathbf {J} }" width="844.5" height="936.9">

gustoća električne struje, tok električnog naboja po jedinici površine u jedinici vremena

ϵ 0   <img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c9bab93876d670d667d85ad2919a73b161dd8bb" alt="{displaystyle epsilon _{0} }" width="1110.4" height="865.1">

dielektrična konstanta vakuuma (permitivnost)

μ 0 <img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe2fd9b8decb38a3cd158e7b6c0c6e2d987fefcc" alt="{displaystyle mu _{0}}" width="1057.4" height="936.9">

permeabilnost vakuuma, a jednaka je:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25413ecf0494311f50a8d89272a678de5f6d2bdb" alt="{displaystyle mu _{0}={frac {1}{c^{2}epsilon _{0}}}}" width="4499.3" height="2515.6">

gdje je

c   <img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49f9a167e19842144aec62aaf47069e6a7a0ebda" alt="{displaystyle c }" width="683.5" height="721.6">

brzina svjetlosti.

U Maxwellovim jednadžbama implicitno se pretpostavlja da vrijedi jednadžba kontinuiteta:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7a33810ff4d4bf01e0c9bf9a35f78a11fe0d2af" alt="{displaystyle {partial {rho } over partial t}+nabla cdot mathbf {J} =0}" width="6653.4" height="2443.8">

Ovo je zapravo zakon očuvanja naboja. Za svaku zatvorenu plohu u prostoru vrijedi da je tok struje koja prolazi kroz tu zatvorenu plohu jednak negativnoj promjeni količine naboja u tom prostoru.

Za potpuni opis elektromagnetskih fenomena pored Maxwell-ovih jednadžbi nužna je i jednadžba za Lorentzovu silu, kako bi se iz polja mogla odrediti sila:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3dd99e3bd55cbeff1cd2506d944405f3efa9e0c" alt="{displaystyle mathbf {F} =q(mathbf {E} +mathbf {v} times mathbf {B} )}" width="7926.4" height="1223.9">

**Sažeti prikaz Maxwell-ovi jednadžbi u SI jedinicama**
diferencijalni oblik	povezujući teorem	integralni oblik
Gaussov zakon: Izvor električnog polja je električni naboj.	Gaussov	Električni tok kroz zatvorenu plohu jednak je ukupnom električnom naboju u njezinoj unutrašnjosti.
$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/236aa8aa43020f96f249f765c8b983c3b02dfe2a" alt="{displaystyle nabla cdot mathbf {E} ={frac {rho }{epsilon _{0}}}}" width="4867.4" height="2228.5">$	$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64812e13399c20cf3ce94e049d3bb2d85f26abcf" alt="{displaystyle Leftrightarrow }" width="1000.5" height="793.3">$	$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea6f67c9f87dae6cf3fb1aaf785728746ab07e34" alt="{displaystyle oint _{partial V}mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {A} =int _{V}{frac {rho }{epsilon _{0}}}mathrm {d} V}" width="9921.8" height="2443.8">$
Magnetsko polje nema izvora (ne postoje magnetski monopoli).	Gaussov	Magnetski tok kroz bilo koju zatvorenu plohu jednak je nuli.
$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16ee950683349dacdd9e9c262ff6133812747edd" alt="{displaystyle nabla cdot mathbf {B} =0}" width="4209.5" height="936.9">$	$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64812e13399c20cf3ce94e049d3bb2d85f26abcf" alt="{displaystyle Leftrightarrow }" width="1000.5" height="793.3">$	$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7360a079d3c05430e1caeaef1188b652be27f5d7" alt="{displaystyle oint _{partial V}mathbf {B} cdot mathrm {d} mathbf {A} =0}" width="6570.6" height="2443.8">$
Faradayev zakon indukcije: Svaka promjena magnetskog polja stvara električno polje.	Stokesov	Integral vektora električnog polja po zatvorenoj krivulji jednak je negativnoj promjeni po vremenu magnetskog toka obuhvaćenog tom krivuljom.
$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eb118e22c941e34f5537dbbdcaa3d7ba23603e0" alt="{displaystyle nabla times mathbf {E} =-{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}}" width="6671.5" height="2372">$	$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64812e13399c20cf3ce94e049d3bb2d85f26abcf" alt="{displaystyle Leftrightarrow }" width="1000.5" height="793.3">$	$∮<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d10357d6b8e368cb3441a7a29c93602c4b58a89" alt="{displaystyle oint _{partial A}mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {s} =-{frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}int _{A}mathbf {B} cdot mathrm {d} mathbf {A} }" width="12124.1" height="2515.6">$
Prošireni Ampèreov zakon: Oko vodiča kojim teče struja inducira se magnetsko polje, ali i svako promjenjivo električno polje inducirati će magnetsko polje.	Stokesov	Integral vektora jakosti magnetskog polja po zatvorenoj krivulji jednak je zbroju struje i vremenske promjene električnog toka obuhvaćenih tom krivuljom.
$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57134e48b06ebc527fd19cd5e96f3f5d12ccddde" alt="{displaystyle nabla times mathbf {B} =mu _{0}mathbf {J} +mu _{0}epsilon _{0}{frac {partial mathbf {E} }{partial t}}}" width="10685.7" height="2372">$	$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64812e13399c20cf3ce94e049d3bb2d85f26abcf" alt="{displaystyle Leftrightarrow }" width="1000.5" height="793.3">$	$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/839835d5c833241728a1b3719169df0f2a2f74e3" alt="{displaystyle oint _{partial A}mathbf {B} cdot mathrm {d} mathbf {s} =int _{A}mu _{0}mathbf {J} cdot mathrm {d} mathbf {A} +{frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}int _{A}mu _{0}epsilon _{0}mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {A} }" width="19641.1" height="2515.6">$

Interpretacija Maxwellovih jednadžbi

Prva jednadžba govori da je električni naboj izvor (ili ponor) električnog polja. Ukupni električni tok kroz zatvorenu plohu proporcionalan je količini električnog naboja koji se nalazi unutar volumena te plohe. Ako unutar te zatvorene plohe nema električnog naboja (ili je količina pozitivnog jednaka količini negativnog električnog naboja), ukupni električni tok kroz tu zatvorenu plohu je nula. No, to ne znači da u tom volumenu uopće nema električnog polja, već samo da ukupni tok iščezava. Dakle, ako nema električnog naboja u tom promatranom volumenu, koliko silnica električnog polja ulazi kroz plohu koja opisuje volumen, toliko silnica negdje i izlazi iz te iste zatvorene plohe.

Druga Maxwell-ova jednadžba slična je prvoj (u situaciji u kojoj ne postoji naboj), ali opisuje magnetsko polje. Ova jednadžba izriče da ne postoji “magnetski naboj” (magnetski monopol), tj. ne postoji izvor magnetskog polja, iz kojega bi proizlazio magnetski tok različit od nule. U svakoj točki prostora, količina silnica magnetskog polja koja ulazi u tu točku jednaka je količini silnica koje izlaze iz te točke, silnice magnetskog polja nemaju izvora (ili ponora). Stoga ukupni magnetski tok kroz zatvorenu plohu uvijek iščezava. To vrijedi i za izvore magnetskog polja, stoga je svaki izvor magnetskog polja barem dipol.

Maxwellove jednadžbe u makroskopskom mediju (sredstvu)

Maxwellove jednadžbe opisuju ponašanje električnog i magnetskog polja svugdje u prostoru, ako su poznati svi izvori tj. naboji i struje. U opisu makroskopskih objekata takav pristup nije moguć iz dva razloga. Prvo, broj nabijenih čestica u atomima i nuklearnim jezgrama vrlo je velik. Drugi je razlog da sa makroskopske točke gledanja, svi detalji u ponašanju polja i naboja na atomskim i molekularnim dimenzijama nisu relevantni. Ono što je bitno, to je prosječna vrijednost polja i izvora u volumenu koji je velik u usporedbi sa jednim atomom ili molekulom. Ovakve prosječne vrijednost nazivaju se makroskopska polja i makroskopski izvori. U ovom slučaju Maxwellove jedandžbe poprimaju oblik:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5396e359b8ae227d38470990e0d38b53d02d649" alt="{displaystyle nabla cdot mathbf {D} ={rho _{slob.}}}" width="5777.5" height="1152.1">

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16ee950683349dacdd9e9c262ff6133812747edd" alt="{displaystyle nabla cdot mathbf {B} =0}" width="4209.5" height="936.9">

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a97e472b4667fece6609572cec2864256999676" alt="{displaystyle nabla times mathbf {E} +{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}=0}" width="7616.4" height="2372">

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b0487eaef19bb40ef8e1e155911c203d1339d8b" alt="{displaystyle nabla times mathbf {H} -{frac {partial mathbf {D} }{partial t}}={mathbf {J} _{slob.}}}" width="9405.4" height="2372">

Gdje je:

D  <img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da81171125cf16ef04b883a085dffd5188c16e8" alt="{displaystyle mathbf {D} }" width="1132.5" height="936.9">

polje električnog pomaka

H   <img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/247f0ddbc5f93bfefc776e12efa8f300770def67" alt="{displaystyle mathbf {H} }" width="1150.5" height="936.9">

magnetizirajuće polje

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ebdb7a76f7d6d9d571809f8799fb841c5430481" alt="{displaystyle {rho _{slob.}} }" width="2254.5" height="936.9">

gustoća slobodnog električnog naboja (ukupna gustoća električnog naboja minus gustoća vezanih električnih naboja)

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7ce85cebb51e9c277265373fe6f3c032a4ef695" alt="{displaystyle {mathbf {J} _{slob.}} }" width="2331.5" height="1080.4">

gustoća slobodne električne struje (ukupna gustoća električne struje minus gustoća vezanih električnih struja)

Veličine $D <img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da81171125cf16ef04b883a085dffd5188c16e8" alt="{displaystyle mathbf {D} }" width="1132.5" height="936.9">$ i $H <img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/247f0ddbc5f93bfefc776e12efa8f300770def67" alt="{displaystyle mathbf {H} }" width="1150.5" height="936.9">$ nije jednostavno odrediti, jer je u njima sadržana cjelokupna kompleksnost interakcije polja i sredstva (medija, tj. materijala u kojem se polje nalazi). Moguće je da ove veličine ovise o prethodnom stanju sredstva (histereza), također moguće je da su nelinearne i prostorno anizotropne. Ove jednadžbe za polja u sredstvu nisu toliko univerzalne kao početno navedene jednadžbe. Ipak, J.C. Maxwell ih je na sličan način prvobitno formulirao. Veze između $E <img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a420e6c909beab84093b5cde9338e1023850dbb" alt="{displaystyle mathbf {E} }" width="1006.5" height="936.9">$ i $D <img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da81171125cf16ef04b883a085dffd5188c16e8" alt="{displaystyle mathbf {D} }" width="1132.5" height="936.9">$ te između $B <img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ef2208847cf23e423f669a2e3eabb7184021308" alt="{displaystyle mathbf {B} }" width="1068.5" height="936.9">$ $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/247f0ddbc5f93bfefc776e12efa8f300770def67" alt="{displaystyle mathbf {H} }" width="1150.5" height="936.9">$ zovu se konstitutivne relacije.

U najjednostavnijem slučaju pretpostavlja se, da su električna i magnetska svojstva sredstva homogena i izotropna, te da se polja ne mijenjaju intenzivno u vremenu. U stvarnosti to vrijedi za dielektrične i paramagnetske materijale. Tada vanjsko električno polje stvara polarizaciju $P <img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/172e428bfc100013a7f479d9920f74ed5f2df5e3" alt="{displaystyle mathbf {P} }" width="1036.5" height="936.9">$ , koja je linearno proporcionalna električnom polju, dok magnetsko polje stvara magnetizaciju $M <img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/233003851656f31969f3f79dcd88a5143f930148" alt="{displaystyle mathbf {M} }" width="1342.5" height="936.9">$ proporcionalnu magnetskom polju, te vrijedi:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0180c5b6c934eac6a069bdbe84042777e09d058a" alt="{displaystyle mathbf {P} =chi _{e}epsilon _{0}mathbf {E} }" width="5043.8" height="1080.4">

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b694e42ca496ba5bd22abfc47547024706d089e" alt="{displaystyle mathbf {M} =chi _{m}mathbf {H} }" width="4924.7" height="1080.4">

Tada je:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0520bdd1a544845096c6bf28b29a970f1f7fc246" alt="{displaystyle mathbf {D} =epsilon _{0}mathbf {E} +mathbf {P} =epsilon _{0}(1+chi _{e})mathbf {E} =epsilon mathbf {E} }" width="15099.7" height="1223.9">

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c626961366651418eb545cdea158360d58c907b4" alt="{displaystyle mathbf {B} =mu _{0}(mathbf {H} +mathbf {M} )=mu _{0}(1+chi _{m})mathbf {H} =mu mathbf {H} }" width="17185.1" height="1223.9">

Rješavanje Maxwellovih jednadžbi

Veza Maxwellovih jednadžbi i specijalne teorije relativnosti

Čista elektrostatika (samo Coulombov zakon) je nekonzistentna s Lorentzovim transformacijama koje predviđa specijalna teorija relativnosti, a isto tako su Maxwellove jednadžbe nekonzistentne s Galilejevim transformacijama, što je, povijesno gledajući i dovelo do otkrića specijalne teorije relativnosti. Može se pokazati da su Maxwellove jednadžbe relativistička generalizacija elektrostatike.

Izvor: Wikipedia

www.svafizika.org

Tag Archives: maxwellove jednačine

Šta su to Maxwellove jednadžbe? Koliko ih ima i koje su?