“Apsolutno je da je do obrazovnog sistema i općeg odnosa prema matematici i kvantitativnim stvarima. Matematika se mora staviti u kontekst – objasniti koja je njena svrha u životu. Kada se to uvede u kurikulum, onda su stvari puno lakše.
Ovdje se još uvijek funkcioniše po starom sistemu kojem je glavna stvar memorizacija i ponavljanje stvari, bez razumijevanja. Dijete dobije zadaću s 50 zadataka, bez ikakvog konteksta. Naravno da će to biti bauk.
S druge strane, ne može se bez matematike. Sve je manje moguće biti kvantitativno nepismen, jer živimo u vremenu tehnologije i podataka. Ako se kontekst uvede u učionice i objasni da ono što se uči zaista ima neku primjenu, stvari bi bile puno bolje. Pedagogija se generalno treba promijeniti, što bi utjecalo na matematiku.
U svijetu se djeca više ne uče tako da ona sjede u klupama, da im se nešto predaje, da šute, da “naštrebaju”, ponove to što su naučila i da se to ocjeni. Pedagogija se razvija u smjeru saradnje s djecom, saradnje između djece, interakcije između djece i predavača. Djeca se navode i sama otkrivaju. Ako se tako nešto uradi, učinak je puno veći.
Informacija se mnogo bolje pamti kada se stavi u kontekst. Potrebno je uvesti projekte koji nisu samo misaoni. Djeci se treba omogućiti da nešto rade kako bi shvatili koristi matematike. To se ne odnosi samo na matematiku, već na većinu onoga što se izučava u školi.
Pedagogija mora biti okrenuta prema djetetu, a ne da bude kakva je bila dok sam se ja školovao, kada nije bila za dijete. Nije imala dijete u vidu, nije razumjela kako dijete uči, nego su neke čike napisale kako treba da se uči, bez da se razumjelo kako funkcioniše dječiji mozak.”, Ismar Volić
Objašnjenje možete potražiti u udžbenicima iz matematike ili na internetu.
Šta ako ne razumijete objašnjenje?
Dva su moguća razloga:
Nedostaju vam neki preduslovi za razumjevanje ovog dijela matematike. To znači da se morate vratiti i ponovo proći kroz to. Ako se čini da je “sve otišlo prebrzo” ili da ne znate šta nastavnik radi, možda ćete morati da se vratite nekoliko lekcija unazad i bolje ih naučiti prije nego što nastavite.
Pokušavate previše da pokrijete bez odlaska na vježbanje. Dobar obrazac je da gledate dio objašnjenja i potom probae sami. Ako samo gledate, ali nikada ne praktikujete, to je nešto poput da gledate video snimak o skijanju i nikada ne odete na skijanje. Na kraju će objašnjenja prestati da imaju smisla zato što vam nedostaje iskustvo iz prve ruke.
Drugi korak: Rješavajte praktične probleme
Matematika nije nešto što gledate i zapamtite, već nešto što radite.
Ako provodite svo vrijeme gledajući video zapise, a zatim dođete do skupa problema, možda će vam biti teško primijeniti svoje znanje o matematici. Ovo može dovesti do osjećaja da ste “loši u matematici”, iako je problem samo što koristite loš način da je naučite.
To možete rješiti tako što ćete vježbati rješavanje probleme što prije. Dobar problem bi se trebao osjetiti izazovnim, ali ne i nemogućim. Ako vidite rješenje i čak ni ne razumijete kako ste ga dobili, šanse su da prelazite brzo – treba da se vratite i naučite neke od osnova prije nego što nastavite.
Šta ako nemam problema da rješim?
Ako vam nedostaju problemi, možete napraviti nekoliko stvari:
Radite kroz probleme u objašnjenju, ali ne gledajući odgovor.
Napravite svoje probleme i pokušajte da ih rješite.
Pokušajte da dokažete koncepte. Ovo je napredna tehnika, ali je od suštinskog značaja za stvarno shvatanje komplikovanije matematike.
Isprobajte ovo: Poslje posmatranja vašeg objašnjenja, uradite dovoljno problema da biste se osjećali ugodno da razumijete proceduru.
Treći korak: Znajte zašto matematika radi
Imatu intuitivno razumjevanje je vrlo važno za matematiku na način da nije za druge predmete. Iako imati intuiciju za riječi na stranom jeziku može biti korisno, one se i dalje moraju upamtiti. Međutim, memorisanje matematike može biti opasno ako to izazove da ju naučite bez razumjevanja.
Sljedeći korak je da se uvjerite da znate zašto matematička djela funkcionišu. Jedna od boljih tehnika je Feynman tehnika. U ovoj tehnici na vrhu papira napišite pojam koji ne razumijete i probate si ga objasniti kao da nekog drugog podučavate. Isto kad god nešto ne razumijete probajte koristiti jednostavnije riječi ili analogije.
Četvrti korak: Igrajte se s matematikom
Vježba je dobra, razumjevanje je bolje, ali igranje sa matematikom je najbolje.
Jednom kada ste rješili neka pitanja koja ste dobili i ubjedili sebe da ih razumijete, prirodno je produžiti ovo da pokušate da se igrate sa matematikom koju ste dobili. Kako se stvari mjenjaju kada pokušate da promjenite brojeve ili da ih primjenite na različite probleme?
Recimo, recimo da ste nedavno naučili kako izračunati složene kamate. Možete jednostavno izvršiti jednostavne kamatne račune i shvatate zašto oni rade. Kako bi mogli da se poigrate sa ovom matematikom?
Mogli ste da vidite šta se dešava s povećanjem stope
Šta bi se desilo ako bi interes bio negativan?
Možete pokušati da izračunate sopstvenu uštedu ako ste ih uložili u različite stope.
Pokušajte da zamislite koliko hipoteke plaćate u interesu, nasuprot direktoru.
Excel je dobar način da se igrate sa matematikom, jer možete formulirati formule direktno, bez potrebe da uradite što više algebre ili ponovite kalkulacije.
Probajte ovo: Uzmite temu iz matematike koju ste nedavno naučili i pogledajte kako možete promjeniti varijable, primijeniti je na različite stvari i modificirati formule.
korak: Primijenite matematiku izvan učionice
Na kraju, cilj za učenje matematike treba biti da se koristi, a ne samo da prođe test. Međutim, da biste to uradili, morate razbiti svoje razumjevanje bez primjera iz udžbenika i primijeniti ga u realnim situacijama.
Ovo je teže nego samo rješavanje problema. Kada rješite problem, započeti ćete memorisati obrazac rješenja. Ovo često omogućava da rješite probleme bez stvarnog razumijevanja načela kako oni funkcionišu.
Primjena matematike u stvarnom životu, za razliku od toga, zahtjeva prepoznavanje situacije, prevođenje u matematiku i rješavanje problema koji ste napravili. Ovo je striktno teže nego rješavanje problema, tako da ako želite da zapravo koristite ono što naučite, potrebno je da to praktikujete.
Pokušajte ovo: Uzmite temu koju ste nedavno naučili u matematici i pokušajte da pronađete stvarnu situaciju u kojoj biste mogli da ju primjenite, koristeći sopstvene brojeve ili procjene ako one nisu dostupne.
Ovo sve zvuči kao previše posla!
Obavljanje svih ovih pet koraka na svakoj stvari koje učite u matematici će trajati puno vremena. To je u redu, ne morate da radite ovo za svaku malu stvar koju morate naučiti.
Umjesto toga, razmislite o ovome kao o stepenicama napretka. Svaki matematički koncept koji naučite može da ide od koraka jedan do pet, produbljuje svoje znanje i povećava korisnost matematike svaki put. Neki koncepti će biti dovoljno važni da ćete ih htjeti temeljito primijeniti. Drugi će biti dovoljno rjetki da samo posmatranje objašnjenja će biti dovoljno.
Konkretno, trebalo bi da pokušate da se usredsredite na najvažnije koncepte za svaku ideju. Matematika teži da bude duboka, ali sa samo nekoliko stvarno velikih ideja, dok su sve druge ideje jednostavno različite manifestacije tog osnovnog koncepta.
Kada je riječ o opisu fizičkog svijeta, to možemo uraditi anekdotno, kao što obično činimo, ili možemo koristiti nauku. To znači prikupljanje kvantitativnih podataka, pronalaženje korelacija između posmatrača, formulisanje fizičkih zakona i teorija i zapisivanje jednačina koje nam omogućavaju da predvidimo ishode različitih situacija. Što je naprednija fizička situacija koju opisujemo, apstraktnije i kompleksnije dobijaju se jednačine i teorijski okvir. Ali, u dijelu formulisanja teorije i pisanja jednačina koji opisuju šta će se desiti pod različitim uslovima, zar ne prelazimo u matematiku nego na fiziku? Gde je ta granica?
U svakoj tački duž putanje, saznavanje položaja i brzine čestice će vam omogućiti da dođete do rješenja kada i gdje će pogoditi zemlju. Ali matematički, dobićete dva rešenja; morate primjeniti fiziku da biste izabrali tačno.
Zamislite da učinite nešto jednostavno kao bacanje loptice. U bilo kom trenutku, ako mi kažete gdje se nalazi (njen položaj) i kako se kreće (njena brzina), mogu vam predvidjeti tačno gdje i kada će udariti u zemlju. Osim ako jednostavno napišete i rješite jednačine koje regulišu Njutnov zakon o kretanju, nećete dobiti ni jedan tačan odgovor. Umjesto toga, dobićete dva odgovora: onaj koji odgovara loptici koja se tiče kretanja u budućnosti, i onaj koji odgovara mjestu gdje bi lopta pogodila zemlju u prošlosti. Jednačina iz matematike vam ne govori koji je odgovor, pozitivan ili negativan, fizički ispravan. To je kao da postavljate pitanje o kvadratnom korjenu broja četiri: vaš nagon je da kažete “dva”, ali to bi lako moglo biti i negativno. Matematika, sama po sebi, nije uvijek deterministička.
Bacite pet štapića i vjerovatno ćete dobiti trougao. Ali, kao i u mnogim matematičkim problemima, vjerovatno ćete dobiti više od jednog trougla. Kada postoji više mogućih matematičkih rešenja, fizika će nam pokazati put.
U stvari, uopšte ne postoji univerzalno pravilo koje možete korsititi da biste saznali koji je odgovor koji tražite! To je upravo najveća razlika između matematike i fizike: matematika vam kaže koja su moguća rešenja, ali je fizika ono što vam omogućava da izaberete rješenje koje opisuje naš Univerzum.
Ovo je, naravno, veoma pojednostavljen primjer, i onaj na kome možemo primjeniti jednostavno pravilo: izabrati rešenje koje je napred u vremenu i napred u svemiru. Ali to pravilo neće se primijeniti u kontekstu svake teorije, poput relativiteta i kvantne mehanike. Kada su jednačine manje fizički intuitivne, mnogo je teže znati koje je moguće rješenje fizički značajno.
Matematika koja reguliše opću relativnost je prilično komplikovana, a opća relativnost nudi mnoga moguća rešenja za njene jednačine. Ali samo kroz preciziranje uslova koji opisuju naš Univerzum i upoređivanje teorijskih predviđanja sa našim mjerenjima i zapažanjima, možemo doći do fizičke teorije.
Šta onda treba da uradite kada matematika postane apstraktnija? Šta radite kada dođete do Opšte relativnosti ili do kvantne teorije polja, ili još daleko u spekulativne svrhe kosmičke inflacije, dodatnih dimenzija, velike jedinstvene teorije ili teorije struna? Matematičke strukture koje gradite da bi opisale ove mogućnosti jednostavno su one koje same po sebi neće vam ponuditi nikakve fizičke uvide. Ali ako možete izvući ili posmatrane količine, ili veze sa fizički posmatranim količinama, tada počinjete prelaziti na nešto što možete testirati i posmatrati.
Kvantne fluktuacije koje se javljaju tokom inflacije zaista su rastegnute kroz Univerzum, ali one takođe uzrokuju fluktuacije u ukupnoj gustini energije, ostavljajući nas sa nekom nultom količinom prostorne zakrivljenosti koja ostaje u Univerzumu danas. Ove fluktuacije polja uzrokuju nedostatke gustine u ranom Univerzumu, što dovodi do fluktuacija temperature u kosmičkoj mikrotalasnoj pozadini.
U inflatornoj kosmologiji, na primjer, postoje sve složene jednačine koje regulišu šta se dešava. Zvuči slično kao matematika, a u mnogim diskusijama zvuči vrlo malo kao fizika. Ali ključ je povezivanje onoga što ove matematičke jednačine predviđaju s fizičkim posmatračima. Na primjer, na osnovu činjenice da imate kvantne fluktuacije u samom tkivu prostora, ali se prostor za vrijeme inflacije prostire i ekspandira na eksponencijalnoj stopi, očekujete da će se pojaviti valjci i nesavršenosti u vrijednosti kvantnog polja koje uzrokuje inflaciju širom univerzuma. Kada se inflacija završi, te fluktuacije postaju fluktuacije gustine, koje možemo onda potražiti kao temperaturne fluktuacije u odsustvu snopa Big Banga. Ova predviđanja 1980-ih godina verifikovali su sateliti poput COBE, WMAP i Planck mnogo godina kasnije.
Kvantne fluktuacije koje se javljaju tokom inflacije prolaze kroz čitav Univerzum, a kada se inflacija završi, postaju fluktuacije gustine. Ovo s vremena na vreme vodi ka velikoj strukturi u Univerzumu, kao i na fluktuacije temperature koje se primećuju u CMB-u.
Teorema Noether-a je zanimljiv primjer matematičke teoreme koja je sama po sebi moćna u matematici, ali ima vrlo posebnu primjenu u fizici. Generalno, teorema vam govori da ako imate sistem koji uzima integral Lagrangijana, a taj sistem ima simetriju, onda mora biti konzervirana količina koja je povezana s tom simetrijom. U fizici integral lagranžijske funkcije odgovara onome što mi fizički nazivamo “akcijom”, pa tako i svaki sistem koji se može modelirati samo sa Lagranžijanom, ukoliko sadrži tu simetriju, iz njega možete izvući zakon o konzervaciji. U fizici to nam omogućava da izvučemo stvari poput očuvanja energije, očuvanja zagona i očuvanja električnog naboja, između ostalog.
Različiti referentni okviri, uključujući različite pozicije i pokrete, bi videli različite zakone fizike ako je očuvanje impulsa nevažeće. Činjenica da imamo simetriju pod “povećanjem” ili brzom transformacijom, govori nam da imamo konzerviranu količinu: linearni moment.
Ono što je zanimljivo je to što ako ne možemo opisati Univerzum sa ovim matematičkim jednačinama koje su sadržavale ove simetrije, ne bi bilo razloga za očekivati da se ove količine konzerviraju. Ovo zagovara mnogo ljudi, onda, kada saznaju da u opštoj relativnosti nema univerzalne vremenske prevodilačke simetrije, što znači da nema očuvanja energetskog zakona za sveobuhvatni univerzum u kojem živimo! Pojedinačna interakcija u kvantnoj teoriji polja služi simetriji, tako da oni štede energiju. Ali na skali čitavog Univerzuma? Energija nije čak definirana, što znači da ne znamo da li je konzervisana ili ne.
2-D projekcija kolektora Calabi-Yau, jedan popularan metod kompaktiranja dodatnih, neželjenih dimenzija teorije gudača. Pretpostavka Maldacene kaže da je prostor anti-de Sitter matematički dvostruki za konformne teorije polja u jednoj manjoj dimenziji.
Pretpostavka Maldacene postaje još komplikovanija. Takođe poznat kao korespondencija AdS / CFT-a, to pokazuje da postoji matematička dualnost – što znači da iste jednačine upravljaju oba sistema – između teorije konformalnog polja (poput sile u kvantnoj mehanici) i teorije nizova u prostoru protiv de De Sittera, sa jedna dodatna dimenzija. Ako su dva sistema regulisana istim jednačinama, to znači da njihova fizika mora biti ista. Dakle, u principu bi trebalo da budemo u mogućnosti opisati aspekte našeg četvorodimenzionalnog (tri prostorne i jedna vremenska dimenzija) Univerzuma tako što ćemo otići na petodimenzionalni Spacetime Anti-de Sitter i odabrati prave parametre. To je najbliži primjer koji smo ikada našli na primjeni holografskog principa, jer se odnosi na naš Univerzum.
Sada, teorija struna (ili, tačnije, teorije nizova) imaju svoja vlastita ograničenja koja ih upravljaju, kao i sile u našem Univerzumu, tako da nije jasno da postoji korespondencija jedan-na-jedan između našeg četvorodimenzionalnog Univerzuma sa gravitacijom, elektromagnetizmom i nuklearnim snagama i bilo kojom verzijom teorije žica. To je interesantna pretpostavka, i našla je neke aplikacije u stvarnom svjetu: u proučavanju kvark-gluon plazme. U tom smislu, to je više od matematike: to je fizika. Ali, gde se od fizike odbija u čistu matematiku, još uvjek nije u potpunosti određeno.
Standardni model Lagrangian je jedna jednačina koja inkapsulira čestice i interakcije standardnog modela. Ima pet nezavisnih dijelova: gluone (1), slabe bozone (2), kako materija stupa u kontakt sa slabom silom i Higgsovim poljem (3), čestice duhova koje oduzimaju Higgsovu redundantnost (4), a Fadeev-Popov duhovi, koji utiču na smanjenje smanjivanja interakcije (5). Neutrino mase nisu uključene. Takođe, ovo je samo ono što znamo do sada; to možda nije puni Lagrangijan koji opisuje 3 od 4 osnovne sile.
Ono čemu se sve ovo čini jeste generalno pitanje: zašto i kada, možemo li koristiti matematiku da naučimo nešto o našem fizičkom Univerzumu? Ne znamo odgovor na zašto, ali mi znamo odgovor na to kada: kada se slaže sa našim eksperimentima i zapažanjima. Sve dok zakoni fizike ostanu zakonima fizike i ne mogu da se krenu ili nestanu ili da se razlikuju na neki loše definisan način, znamo da ih možemo matematički opisati, barem u principu. Matematika je, onda, alatka koju koristimo za opis funkcionisanja Univerzuma. To su sirovine: ploče, čekići i testeri. Fizika je kako primijenite tu matematiku. Fizika je kako sve to zajedno stavite na smisao za svoje materijale i napravite kuću, na primjer, umjesto sakupljanja dijelova koji se u principu mogu koristiti za izgradnju nešto sasvim drugačijeg.
Moguće je napisati niz raznih jednačina, kao što su Maxwellove jednačine, koje opisuju Univerzum. Možemo ih zapisati na različite načine, ali samo upoređivanjem njihovih predviđanja sa fizičkim zapažanjima možemo da izvučemo bilo kakav zaključak o njihovoj valjanosti. Zbog toga verzija Maxwellovih jednačina sa magnetnim monopolama ne odgovara stvarnosti, dok one bez toga odgovaraju.
Ako tačno opisujete Univerzum i možete napraviti kvantitativna predviđanja o njemu, vi ste fizika. Ako se ta predviđanja ispostavljaju tačna i reflektiraju stvarnost, tada ste fizika tačna i korisna. Ako su ta predviđanja očigledno pogrešna, vi ste fizika koja ne opisuje naš univerzum: vi ste neuspješni pokušaj fizičke teorije. Ali ako vaše jednačine nemaju nikakvu vezu sa fizičkim Univerzumom i ne mogu biti vezane za sve što se ikada može nadati da će jednog dana posmatrati ili mjeriti, čvrsto ste u matematičkom području; onda će vaš razvod od fizike biti konačan. Matematika je jezik koji koristimo za opis fizike, ali nije sve što je matematičko značajno u fizici. Gdje postoji veza, a gdje ne, može se odrediti samo gledajući u sam Univerzum.
“Matematika koristi izmišljena pravila za stvaranje modela i odnosa. Kad učim, pitam:
Kakav odnos predstavlja ovaj model? Koje stvari u stvarnom svijetu dijele taj odnos? Ima li taj odnos smisla za mene? To su jednostavna pitanja, ali mi pomažu razumjeti nove teme.
Udžbenici se rijetko usredotočuju na razumijevanje; uglavnom se rješavaju problemi s “plug and chug” formulama. To mi je tužno da lijepe ideje dobivaju takav tretman:
Pitagorina teorema nije samo o trokutima. Riječ je o odnosu između sličnih oblika, udaljenosti između bilo kojeg skupa brojeva i još mnogo toga. e nije samo broj. Riječ je o temeljnim odnosima između svih stopa rasta. Prirodni logaritam nije samo inverzna funkcija. Riječ je o vremenu koje stvari trebaju da bi rasle. Elegantna, “a – ha!” opažanja trebaju našu pažnju, ali ostavljamo to učenicima da nasumice sami skuže. Doživio sam taj “a – ha” trenutak nakon paklene sesije na koledžu; od tada želim pronaći i dijeliti te spoznaje kako bi druge poštedio iste boli.
Ali to radi obostrano – želim da i vi podijelite uvide sa mnom, također. Postoji više razumijevanja, manje boli, a svi dobivaju.
Matematika se razvija tijekom vremena
Smatram matematiku načinom razmišljanja, i važno je vidjeti kako se to razmišljanje razvilo umjesto da se samo prikazuju rezultati. Pokušajmo primjer.
Zamislite da ste špiljski čovjek koji se bavi matematikom. Jedan od prvih problema će biti kako računati stvari. Nekoliko se sustava razvilo tijekom vremena:
Nijedan sustav nije u pravu, a svaki ima prednosti:
Unarni sustav: crtanje linija u pijesku – jednostavno. Izvrstan za računanje rezultata u igrama; možete dodati broj bez brisanja i ponovnog pisanja. Rimski brojevi: Napredniji jednodijelni, s prečacima za velike brojeve. Decimalni: Velika realizacija da brojevi mogu koristiti “pozicijski” sustav s mjestom i nula. Binarni: Najjednostavniji položajni sustav (dvije znamenke, on vs off) tako da je super za mehaničke uređaje. Znanstvena notacija: Izuzetno kompaktna, može lako odrediti brojčanu veličinu i preciznost (1E3 vs 1.000E3). Misliš da smo gotovi? Nema šanse. Za 1000 godina imat ćemo sustav koji čini decimalne brojeve tako čudima kao rimski brojevi.
Negativni brojevi nisu točni
Razmislimo o brojevima malo više. Gornji primjer pokazuje da je naš brojevni sustav jedan od mnogih načina rješavanja problema “brojanja”.
Rimljani bi smatrali da su nula i frakcije čudni, ali to ne znači da “nula” i “dio cjeline” nisu korisni pojmovi. Ali pogledajte kako je svaki sustav ugradio nove ideje.
Frakcije (1/3), decimale (.234) i kompleksni brojevi (3 + 4i) su načini za izražavanje novih odnosa. Oni možda nemaju smisla upravo sada, baš kao što nula nije imala “smisla” Rimljanima. Trebamo nove odnose u stvarnom svijetu (poput duga) za njih da bi ih razumjeli.
Čak i tada, negativni brojevi možda ne postoje u načinu na koji razmišljamo, kao što me uvjeravate ovdje:
Vi: Negativni brojevi su izvrsna ideja, ali ne postoje sami. To je oznaka koju primjenjujemo na koncept.
Me: Naravno da postoje.
Vi: Ok, pokaži mi -3 krave.
Ja: Dobro, pretpostavimo da si poljoprivrednik i izgubio si 3 krave.
Vi: Ok, imaš 0 krava.
Ja: Ne, mislim, dali ste 3 krave prijatelju.
Ti: U redu, on ima 3 krave i vi imate nulu krava.
Ja: Ne, mislim, vratit će ih jednog dana. On vam duguje.
Ti: Ah. Stvarni broj (-3 ili 0) ovisi o tome da li će mi vratiti krave natrag. U mom svijetu nisam cijelo vrijeme imao nula krava.
Ja: uzdah. To nije tako. Kad vam vrati krave, idete od -3 do 3.
Vi: Ok, pa on vraća 3 krave i skok 6, od -3 do 3? Bilo koja druga aritmetika koje bi trebao biti svjestan? Kako izgleda sqrt (-17) krava?
Ja: Izlazi. Negativni brojevi mogu izraziti odnos:
Pozitivni brojevi predstavljaju višak krava. Nula ne predstavlja krave. Negativni brojevi predstavljaju deficit krava za koje se pretpostavlja da se vraćaju natrag. Ali negativni broj “zapravo nije tamo” – postoje samo odnosi koje predstavljaju (višak / manjak krava). Izradili smo model “negativnog broja” koji će vam pomoći u vođenju knjige, iako ne možete držati -3 krave u ruci. (Namjerno sam koristio drugačije tumačenje onoga što “negativno” znači: to je drugačiji sustav brojenja, baš kao i rimski brojevi i desetke su različiti sustavi brojenja.)
Usput, negativni brojevi nisu prihvaćeni od strane mnogih ljudi, uključujući zapadne matematičare do 1700-ih. Ideja negativnosti smatrale se “apsurdnom”.
Čini se da su negativni brojevi čudni ako ne možete vidjeti kako oni predstavljaju složene odnose u stvarnom svijetu, kao što je dug. Zašto sva ta filozofija? Shvatio sam da je moje razmišljanja ključno za učenje. ** To mi je pomoglo da dođem do dubokih uvida, konkretno: Faktualno znanje nije razumijevanje. Poznavanje da se “čekićem može zakucati ekser” nije isto što i uvid da se svakim tvrdim predmetom (stijenom, ključe) može zakucati ekser. Imajte otvoren um. Razvijte svoju intuiciju dopuštajući vam da ponovno budete početnik. Sveučilišni profesor otišao je posjetiti poznatog Zen majstora. Dok je majstor tiho služio čaj, profesor je razgovarao o Zenu. Majstor je ulijevao čašicu posjetitelja do vrha, a zatim je nastavio natočiti. Profesor je gledao prelijevajuću čašu sve dok se više nije mogao suzdržavati. “Prepuna je! Ne može više u nju stati!” profesor je mrmljao. “Ti si poput ove šalice”, majstor je odgovorio: “Kako vam mogu pokazati Zen ako prvo ne ispraznite šalicu?” Budite kreativni. Potražite čudne odnose. Koristite dijagrame. Koristite humor. Koristite analogije. Koristite mnemoniku. Koristite sve što čini ideje živahnijima. Analogije nisu savršene, ali pomažu u borbi s općom idejom. Zahvaljujući tome možete naučiti. Očekujemo od djece da uče algebru i trigonometriju koji bi zaprepastili drevne Grke. A trebali bi: trebali bismo znati toliko, ako je ispravno objašnjeno. Nemojte se zaustavljati sve dok ne bude imalo smisla, ili će vas taj matematički jaz uloviti. Želim podijeliti ono što sam otkrio, nadajući se da vam pomaže u učenju matematike: Matematika stvara modele koji imaju određene odnose. Pokušavamo pronaći pojave u stvarnom svijetu koji imaju isti odnos. Naši modeli uvijek se poboljšavaju. Moguće je da novi model objašnjava taj odnos (rimski brojevi na decimalni sustav). Sigurno, čini se da neki modeli nemaju koristi: “Koliko su korisni imaginarni brojevi?”, pitaju mnogi studenti. To je važno pitanje s intuitivnim odgovorom. Korištenje imaginarnih brojeva ograničeno je našom maštom i razumijevanjem – baš kao što su negativni brojevi “beskorisni”, osim ako nemate ideju o dugovima, imaginarni brojevi mogu biti zbunjujući ne razumijemo odnos koji predstavljaju. Matematika pruža modele; trebamo razumjeti njihove odnose i primijeniti ih na stvarne objekte u svijetu. Razvijanje intuicije čini učenje zabavnim – čak računovodstvo nije loše kada razumijete probleme koje rješava. Želim pokriti složene brojeve, kalkulacije i druge nedostižne teme usredotočujući se na odnose, a ne na dokaze i mehaniku. Ali ovo je moje iskustvo – kako vi učite najbolje?”, (1)
“Kada posmatramo realnost kroz jednadžbe fizike, uviđamo da one opisuju obrasce i regularnosti. Ali za mene je matematika više od prozora u spoljni svijet: tvrdim da naš fizički svet ne samo da je opisan matematikom, već da je matematika: matematička struktura, da budem precizan.”, Max Tegmark
Koji je odgovor na krajnje pitanje života, univerzuma i svega? U Douglas Adamsovom naučno-fantastičnoj knjizi “Štoperski Vodič za Galaksiju”, odgovor je pronađen da je 42; Najteži deo je ispao da je pronaći pravo pitanje. Smatram da je veoma prikladno da se Douglas Adams šalio oko 42, jer je matematika odigrala upečatljivu ulogu u našem rastućem razumevanju našeg Univerzuma.
Higgs Boson je predviđen sa istim alatom kao planeta Neptun i radio talasi: sa matematikom. Galileo je slavno izjavio da je naš Univerzum “velika knjiga” napisana na maternjem jeziku matematike. Pa zašto naš univerzum izgleda tako matematički, i šta to znači? U svojoj novoj knjizi “Naš matematički univerzum” tvrdim da to znači da naš univerzum nije samo opisan matematikom, već da je matematika u smislu da smo svi dijelovi džinovskog matematičkog objekta, što je ustvari dio multisvemira – toliko ogromnog da čini druge priče o multisvemiru iz posljednjih nekoliko godina da izgledaju sitno u poređenju.
Matematika, matematika svuda!
Ali gde je sva ova matematike o kojoj nagađamo? Zar matematika nije sve samo u vezi brojeva? Ako sada pogledate okolo, verovatno ćete uočiti nekoliko brojeva ovde i tamo, na primjer brojeve stranica u vašoj najnovijoj kopiji Scientific American, ali to su samo simboli koji su izmišljeni i odštampani od ljudi, tako da se teško može reći da odražavaju da je naš Univerzum matematički na bilo koji dubok način.
Zbog našeg obrazovnog sistema, mnogi ljudi izjednačavaju matematiku sa aritmetikom. Ipak, matematičari proučavaju apstraktne strukture daleko više različite od brojeva, uključujući i geometrijske oblike. Da li vidite geometrijske obrasce ili oblike oko sebe? Ovde ponovo, dizajnirani ljudski dizajn, poput pravougaonog oblika ove knjige, ne računaju se. Ali pokušajte baciti kamenčić i gledati predivan oblik koji priroda čini za njegovu putanju! Trajektori svega što bacate imaju isti oblik, koji se naziva parabola naopačke. Kada posmatramo kako se stvari kreću u orbiti u prostoru, otkrivamo još jedan ponovljeni oblik: elipse. Štaviše, ova dva oblika su povezana: vrh vrlo izdužene elipse oblikovan je skoro baš kao parabola, tako da su u stvari sve ove trajektorije jednostavno dijelovi elipsi.
Mi ljudi smo postepeno otkrili mnoge dodatne ponavljajuće oblike i obrasce u prirodi, uključujući ne samo kretanje i gravitaciju, već i područja koja su različita kao električna energija, magnetizam, svetlost, toplota, hemija, radioaktivnost i subatomske čestice. Ovi obrasci su rezimirani onim što nazivamo našim fizičkim zakonima. Kao što je oblik elipse, svi ovi zakoni se mogu opisati pomoću matematičkih jednačina.
Jednačine nisu jedini pojmovi matematike koji su ugrađeni u prirodu: tu su i brojevi.
Za razliku od ljudskih kreacija kao što su brojevi stranica u ovoj knjizi, sada govorim o brojevima koji su osnovna svojstva naše fizičke realnosti. Na primjer, koliko olovaka možete urediti tako da su sve okomite (na 90 stepeni) jedni prema drugima? 3 – stavljajući ih duž 3 ivice koja potiču iz ugla vaše sobe, recimo. Odakle je došao taj broj 3? Ovaj broj naziva se dimenzionalnost našeg prostora, ali zašto postoje 3 dimenzije, a ne 4 ili 2 ili 42? A zašto postoje, koliko možemo da kažemo, tačno 6 vrsta kvarkova u našem Univerzumu? Postoje i brojevi kodirani u prirodi koji zahtevaju decimale da se napišu – na primer, proton je oko 1836,15267 puta teži od elektrona. Iz samo 32 takva broja, mi fizičari u principu možemo izračunati svaku drugu fizičku konstantu koja je ikada izmjerena.
Postoji nešto vrlo matematičko o našem Univerzumu, a što pažljivije gledamo, to je više matematike koju možemo da nađemo. Pa šta ćemo napraviti od svih ovih nagoveštaja matematike u našem fizičkom svetu? Većina mojih kolega iz fizike ih smatra da to znači da je priroda iz nekog razloga opisana matematikom, barem približno, i ostaje na tome. Ali ubeđen sam da je matematika više od toga, i da vidimo da li vama ovo ima više smisla nego onom profesoru koji je rekao da će to upropastiti moju karijeru.
Hipoteza matematičkog univerzuma
Bio sam sasvim očaran svim ovim matematičkim tragovima na prvim godinama studija. Jedne večeri u Berkeley 1990. godine, dok smo se moj prijatelj Bill Poirier i ja raspravljali oko konačne prirode stvarnosti, iznenada sam imao ideju o tome šta sve to znači: da naša realnost nije samo opisana matematikom – nego da je matematika, u vrlo specifičnom smislu. Ne samo njeni aspekte, već i sve to, uključujući i vas.
Moja početna pretpostavka, hipoteza spoljne stvarnosti, navodi da postoji spoljna fizička realnost potpuno nezavisna od nas ljudi. Kad izvodimo posledice teorije, uvodimo nove koncepte i reči za njih, kao što su “protoni”, “atomi”, “molekuli”, “ćelije” i “zvezde”, jer su pogodni. Važno je zapamtiti, međutim, da smo mi ljudi oni koji stvaraju ove koncepte; U principu, sve se može izračunati bez ovog prtljaga.
Ali ako pretpostavimo da stvarnost postoji nezavisno od ljudi, onda da bi opis bio potpun, on mora biti dobro definisan prema neljudskim entitetima – vanzemaljcima ili superkompjuteri, recimo – koji nemaju razumijevanje ljudskih koncepata. To nas dovodi do hipoteze o matematičkom univerzumu, u kojem se kaže da je naša spoljna fizička realnost matematička struktura.
Na primer, pretpostavimo da je košarkaška trajektorija šuta s kojim ste pobdjedili u vašoj posljednjoj igri prekrasna, a kasnije želite opisati kako je izgledala vašem prijatelju. Pošto je loptica napravljena od elementarnih čestica (kvarkova i elektrona), u principu možete opisati svoj pokret bez ikakvog upućivanja na košarku:
Čestica 1 se kreće u paraboli. Čestica 2 se kreće u paraboli. … Čestica 138,314,159,265,358,979,323,846,264 pomera se u paraboli.
Međutim, to bi bilo nezgodno, jer će vam trebati više vremena od vremena našeg Univerzuma. Takođe bi bilo redundantno, pošto su sve čestice zaglavljene zajedno i pomeraju se kao jedinstvena jedinica. Zbog toga smo ljudi pronalazili reč “lopta” da bi se odnosili na celu jedinicu, što nam omogućava da uštedimo vreme jednostavno opisujući kretanje cele jedinice jednom za svagda. Lopta je dizajnirana od strane ljudi, ali sasvim je analogna za kompozitne predmete koji nisu izrađeni od čoveka, kao što su molekuli, stene i zvezde: izmišljanje reči za njih je pogodno kako za uštedu vremena, tako i za pružanje koncepata u smislu kojih razumijete svet intuitivno. Iako korisne, takve riječi su opcioni prtljag.
Sve ovo postavlja pitanje: da li je u stvari moguće pronaći takav opis spoljne stvarnosti koja ne uključuje prtljag? Ako je tako, ovakvi opisi predmeta u ovoj vanjskoj realnosti i odnosi između njih morali bi biti potpuno apstraktni, prisiljavajući bilo koje riječi ili simbole da budu samo oznake bez ikakvog predočenog značenja. Umjesto toga, jedina svojstva ovih entiteta bile bi one koje su utjelovljene odnosima između njih.
Da bi odgovorili na ovo pitanje, moramo detaljnije pogledati matematiku. Za savremenog logičara, matematička struktura je upravo to: skup apstraktnih entiteta sa odnosima između njih. Ovo je u potpunom kontrastu sa načinom na koji većina nas prvi put primećuje matematiku – bilo kao sadističku formu kazne ili kao vreću trikova za manipulaciju brojevima.
Savremena matematika je formalno proučavanje struktura koje se mogu definisati na čisto apstraktan način, bez ljudskog prtljaga. Razmislite o matematičkim simbolima kao običnim etiketama bez ikakvog značenja. Nije važno da li pišete “dva plus dva su jednaka četiri”, “2 + 2 = 4” ili “dos mas do igual cuatro”. Notacija koja označava entitete i odnose je irelevantna; Jedina svojstva celih brojeva su ona oličena odnosima između njih. To jest, mi ne izumljamo matematičke strukture – otkrivamo ih i izmišljamo samo zapis za opisivanje.
Ukratko, postoje dve ključne tačke: Hipoteza spoljne realnosti podrazumeva da “teorija svega” (potpuni opis naše spoljne fizičke stvarnosti) nema prtljag, a nešto što ima kompletan opis predmeta bez prtljaga je upravo Matematička struktura. Uzeto zajedno, to podrazumijeva Hipotezu Matematičkog svemira, tj. da je spoljna fizička stvarnost koja je opisana u teoriji svega matematička struktura. Dakle, krajnji je zaključak da ako verujete u spoljnu stvarnost nezavisno od ljudi, onda morate i verovati da je naša fizička realnost matematička struktura. Sve u našem svetu je čisto matematičko – uključujući i vas.
Apstraktna igra šaha je nezavisna od boja i oblika komada i od toga da li su njegovi potezi opisani na fizički postojećoj ploči, stilizovanim računarskim slikama ili takozvanim algebarskim šahovim notacijama – to je i dalje ista šahovska igra . Analogno, matematička struktura je nezavisna od simbola koji se koriste za opisivanje. Slika: Ljubaznošću Max Tegmarka
Život bez prtljaga
Iznad smo opisali kako mi ljudi dodajemo prtljag našim opisima. Pogledajmo sada suprotno: kako matematička apstrakcija može ukloniti prtljag i odvojiti stvari do njihove gole esencije. Razmislite o sekvenci šahovskih poteza koji su postali poznati kao “The Immortal Game”, gde beli spektakularno žrtvuje oba šatora, biskupa i kraljicu da bi ostavrio šahmat sa tri preostala pijuna. Kada šahovski ljubitelji ovo nazivaju prekrasnom igrom, besmrtnom igrom, oni ne misle na atraktivnost igrača, ploče ili komada, već na apstraktniji entitet, što možemo nazvati apstraktnom igricom ili nizom poteza.
Šah uključuje apstraktne entitete (različite šahovske komade, različite kvadrate na tabli itd.) i odnose između njih. Na primer, jedan odnos koji jedan deo može imati na kvadratu jeste to što je on prvi na tom drugom mestu. Još jedan odnos koji neki komad može imati na kvadratu je da je dozvoljeno da se kreće tamo. Postoji mnogo ekvivalentnih načina opisivanja ovih entiteta i odnosa, na primjer sa fizičkom pločom, putem verbalnih opisa na engleskom ili španskom jeziku, ili korištenjem tzv. algebarske šahovske notacije. Pa šta je ostalo kada odvojite ovaj prtljag? Šta je to opisano svim ovim ekvivalentnim opisima? Sama besmrtna igra, 100% čista, bez aditiva. Postoji samo jedna jedinstvena matematička struktura koja je opisana svim ovim ekvivalentnim opisima.
Hipoteza matematičkog univerzuma podrazumeva da živimo u relacijskoj realnosti, u smislu da osobine sveta oko nas ne proističu iz svojstava vrhunskih građevinskih blokova, već iz odnosa između ovih građevinskih blokova. Vanjska fizička realnost je stoga više od sume njenih dijelova, u smislu da može imati mnogo zanimljivih osobina, dok dijelovi uopšte nemaju nikakva posebna svojstva. Ovo moje ludo uvjerenje o tome da je naš fizički svijet ne samo nešto što opisuje matematika, nego da je to matematika, čini nas samo-svjesnim dijelovima džinovskog matematičkog objekta. Kao što sam opisao u knjizi, to u krajnjoj liniji uklanja poznate pojmove kao što su slučajnost, složenost i čak mijenja status iluzija; to podrazumeva i novu i konačnu zbirku paralelnih univerzuma, toliko ogromnih i egzotičnih, da sve gore pomenute bizarnosti padaju u poređenju, što nas tera da se odreknemo mnogih naših najdjelotvornijih ideja o stvarnosti.
Lako se osećati malim i nemoćnim kada se suočavamo sa ovom ogromnom stvarnošću. Zaista, mi ljudi smo imali ovo iskustvo pre, iznova i iznova otkrivajući da je ono što smo mislili da je sve bilo samo mali deo veće strukture: naše planete, našeg solarnog sistem, naše Galaksije, našeg univerzuma i možda hijerarhije paralelnih univerzuma , ugneženi kao ruske lutke. Međutim, ja takođe smatram ovo ohrabrujućim, jer smo više puta potcenjivali ne samo veličinu našeg kosmosa, već i moć našeg ljudskog uma da je razumemo. Naši preci iz kamenog doba su imali upravo toliko velike mozgove kao i mi, i pošto nisu proveli svoje večeri gledajući TV, siguran sam da su postavljali pitanja poput “Šta je sve to na nebu?” i “Odakle sve to dolazi? “. Rečeni su im prelepi mitovima i priče, ali malo ih je shvatilo da mogu sami stvarno naći odgovore na ova pitanja za sebe. I da tajna ne leži u učenju da kako da odle u svemir da ispitaju nebeske predmete, već da dopuste da njihov ljudski um poleti. Kada se naša ljudska mašta prvi out podigla sa zemlje i počela da dešifruje tajne svemira, učinjeno je to sa mentalnom snagom, a ne sa raketnom moći.
Nalazim ovu potragu za znanjem tako inspirativnom da sam odlučio da se pridružim i postanem fizičar, i napisao sam ovu knjigu zato što želim dijeliti ovo osnažujuće putovanje otkrića, posebno u ovom danu i dobi kada je tako lako osjetiti nemoć . Ako odlučite da je pročitate, to neće biti samo potraga mene i mojih drugova i drugarica fizičara, već naša potraga.
