Logaritam je možda jedini najkorisniji aritmetički koncept u svim naukama; i njegovo razumjevanje je neophodno za razumjevanje mnogih naučnih ideja. Logaritmi se mogu definirati i uvesti na nekoliko različitih načina. Ali za naše potrebe, usvojimo jednostavan pristup. Ovaj pristup je izvorno nastao iz želje da se pojednostavi množenje i djeljenje na nivo zbrajanja i oduzimanja. Naravno, u ovoj eri jeftinog kalkulatora, ovo više nije potrebno, ali još uvijek služi kao koristan način za uvođenje logaritama. Pitanje je, dakle:
Postoji li neka operacija u matematici koja proizvodi množenje preko zbrajanja?
Bez previše razmišljanja, odgovor bi vam trebao doći.
Što je 2^3 x 2^4.
Odgovor je 2 ^ 7 koji se dobija dodavanjem stepena 3 i 4. To je tačno, naravno, pošto je 2^3 x 2^4 samo sedam 2s pomnoženo 7 puta zajedno. Imajte na umu da ovaj dodatak trik ne radi u slučaju 3^3 x 2^4. Bazni brojevi moraju biti isti, kao u prvom slučaju, gdje smo koristili 2.
U principu, ovaj dodatak se može napisati kao p^a x p^b = p^(a + b). Ovaj izraz će raditi naš posao umnožavanja bilo koja dva broja, recimo 1^3 i 6^9, ako možemo samo izraziti 1.3 kao p^a i 6.9 kao p^b.
Koji broj ćemo koristiti za osnovni p? Bilo koji broj će biti ok, ali tradicionalno, samo dva su u zajedničkoj upotrebi:
Deset (10) za log i transcendentalni broj e (= 2.71828 …) za ln.
Prvo ćemo govoriti o logaritmima za bazu 10. Stoga odaberemo da naš broj 1^3 bude jednak 10^a.
1.3 = 10^a
`a ‘se zove” logaritam od 1.3 “. Koliko je velik ‘a’? Pa, to nije 0 jer je 10^0 = 1 i manje je od 1 jer ne 10^1 = 10. Dakle, vidimo da svi brojevi između 1 i 10 imaju logaritme između 0 i 1.
U lošim starim danima prije kalkulatora, morali bi da naučite da koristite skup logaritamskih tabela da biste pronašli logaritam našeg broja, 1.3, koji smo ranije tražili. Ali danas ga možete dobiti pritiskom na dugme na kalkulatoru.
Problem pronalaženja broja kada znate njegov logaritam naziva se pronalaženje “antilogaritma” ili ponekad “eksponenciranje”. To se radi što stepenujete i lijevu i desnu stranu jednačine sa logaritmom na bazu koja odgovara onom logaritmu o kojem je riječ. Ako imamo npr. log100=x (za oznaku log baza je 10!), odatle će slijediti da je 10^x=100, a 100 možemo napisati kao 10^2, pa ćemo imati 10^x=10^2, pa dobijemo da je x=2!
Logaritamske i eksponencijalne funkcije su veoma važne jer se preko njih mogu opisati mnogi fizički i biološki procesi.
Na primjer, pretpostavimo da imate određeni broj radioaktivnih atoma u trenutku t = 0. Neka ovaj broj bude N0. Radioaktivnost se ponaša na takav način da broj N radioaktivnih atoma koji ostaje u kasnijem vremenu t daje linearnu varijaciju logaritma N sa t.
To jest, graf ln N vs t je ravna linija. Znate da je jednadžba takve ravne linije data y = mx + b gdje je m nagib, a b je presjek y. Dakle, jednadžba radioaktivnosti je ln N = -kt + ln N0 gdje je ln N0 y presjek i nagib linije -k
Pogledajmo sada jednadžbu koju smo dobili za radioaktivnost, ln N = ln N0 -kt. Ovdje je važno biti u stanju napraviti algebru s logaritmima.Prebacujemo logaritme na jednu stranu tako da dobijemo
ln N – ln N0 = -kt.
Ali znamo da je razlika logaritama logaritam kvocijenta tako da lijeva strana postaje ln (N / N0). Sada uzmimo antigaritme. Antilogaritam bilo koje količine je broj e na snagu te količine tako da desna strana postane e^kt. Lijeva strana je anti ln i tako postaje N podeljena sa N0. Konačno, možemo preurediti da se zadnja jednadžba stavi u formu
N = N0 e^-kt
što se naziva jednadžba “eksponencijalnog raspada”, tako da možete vidjeti zašto se uzimanje antilogaritma često naziva “eksponenciranjem”.
Reference: