Tag Archives: heisenbergov princip neodređenosti

Atomska fizika, fenomeni u fizici, Konceptualno razumijevanje fizike, Misterije u fizici, Pojavni fenomeni, Sva Fizika

Ako su atomi uglavnom prazan prostor, zašto predmeti izgledaju čvrsti?

March 28, 2018 admin Leave a comment

Hemičar Džon Dalton predložio je teoriju da su sva materija i predmeti sastavljeni od čestica zvanih atomima, a ovo je i dalje prihvaćeno od strane naučne zajednice, skoro dva vijeka kasnije. Svaki od ovih atoma je sastavljen od neverovatno male jezgre, pa čak i manjih elektrona, koji se kreću prilično daleko od centra.

Ako zamislite stol koji je milijarde puta veći, njegovi atomi bi bili veličine lubenice. Ali i pored toga, jezgro u centru bi i dalje bilo premalo da bi se vidjelo, a elektroni bi i dalje plesali oko njega. Pa zašto naši prsti jednostavno ne prolaze kroz atome, i zašto svjetlost ne prolazi kroz praznine?

Da objasnim zašto bi trebali pogledati elektrone. Nažalost, mnogo toga što smo učili u školi je pojednostavljeno – elektroni ne kruže oko centra atoma kao planete oko Sunca, kao što ste mogli i naučiti. Umesto toga, mislite na elektrone poput roda pčela ili ptica, gdje su pojedinačni pokreti suviše brzi za praćenje, ali i dalje vidite oblik ukupnog rojka.

Elektronski ‘ples’

U stvari, elektronski ples – ne postoji bolji izraz za to. Ali to nije slučajan ples – to je više kao ples, gdje se kreću u setu obrazaca, sljedeći korake koje propisuje matematička formulacija nazvana po jednadžbi od Erwina Schrödingera.

Slika: Elektroni su kao jato ptica

Ti šabloni mogu varirati – neki su spori i nježni, kao valcer, neki su brzi i energični, poput Charlestona. Svaki elektron drži isti obrazac, ali jednom za neko vrijeme može se promjeniti na drugi, sve dok nijedan drugi elektron ne radi više taj obrazac. Nema dva elektrona u atomu istog koraka: ovo pravilo se zove Princip isključenja.

Iako se elektroni nikad ne umaraju, doći do bržeg koraka, uzima energiju. A kada se elektron spušta u sporiji uzorak gubi energiju. Dakle, kada energija u obliku svjetlosti padne na elektron, može apsorbovati neku energiju i pomjeriti se na viši, brži “plesni” uzorak. Svjetlosna zraka neće proći kroz naš sto, pošto su elektroni u svim atomima željni da privuku neku energiju iz svjetlosti.

Poslije veoma kratkog vremenskog perioda oni bi izgubili ovu energiju, možda ponovo kao svjetlost. Promjene u obrascima apsorbcije i emitovanja svjetlosti daje refleksiju i boje – tako da vidimo sto kao čvrst.

Otpor kada se dodirne

Slika: Otpor stola je jak

Ako dodirnete sto, onda se elektroni iz atoma u prstima približavaju elektronima u atomima stola. Pošto se elektroni u jednom atomu približavaju jezgru drugog, promjene u njihovim plesovima se mijenjaju. Ovo je zbog toga što elektron u niskom energetskom nivou oko jedne jezgre ne može učiniti isto oko druge – taj prorez već uzima jedan od sopstvenih elektrona. Novajlija mora stupiti u nenaseljenu, energetskiju ulogu. Ta energija mora biti isporučena, a ne od svjetla ovog puta, već od sile koju dobije od vaših prstiju.

Tako gurati dva atoma blizu jedan drugom uzima energiju, jer svi njihovi elektroni treba da idu u prazno visoko energetsko stanje. Pokušavati da gurate sve atome stola i atome prstiju zajedno zahtijeva jako puno energije – više nego što mogu isporučiti mišićeđi. Osjećate to kao otpor na vašim prstima, zbog čega se i stolica osjeća čvrstom na vaš dodir.

Izvor: www.theconversation.com

Kvantna elektrodinamika, kvantna fizika, Kvantna fizika čvrstog stanja, Kvantna mehanika, Kvantna statistička fizika

Šta je to Heisenbergovo načelo neodređenosti?

April 22, 2017 admin 3 Comments

Heisenbergov princip neodređenosti za srednjoškolski nivo

U kvantnoj mehanici, Heisenbergovo načelo neodređenosti govori kako je načelno nemoguće istovremeno odrediti tačan položaj i brzinu neke čestice. Da bismo posmatranjem odredili položaj nekog tijela, moramo ga osvijetliti i primiti svjetlost koja se od njega reflektira. Međutim, zbog difrakcije svjetlosti položaj tijela možemo odrediti najpreciznije na talasnu dužinu svjetlosti pa tako možemo pisati da je neodređenost položaja tijela jednaka talasnoj dužini svjetlosti (Δx≈λ). Smanjenjem talasne dužine korištene svjetlosti možemo sve preciznije odrediti položaj tražene čestice, ali u tom slučaju povećavamo energiju zračenja (E=hf=hc/λ), odnosno čestične osobine svjetlosti (elektromagnetskog talasa) čiji foton u tom slučaju ima veću količinu kretanja (p=h/λ) pa tako u “sudaru” s posmatranom česticom više mijenja njenu količinu kretanja (u odnosu na početnu) tako da je i nju nemoguće sasvim tačno odrediti. Povećanjem čestičnih osobina svjetlosti kojom osvjetljavamo (smanjenje talasne dužine) gubi se na preciznosti mjerenja brzine (količine kretanja), a povećanjem talasne dužine gubi se na preciznosti određivanja položaja. Ovo nije posljedica nesavršenosti mjernih instrumenata, nego je kvantno svojstvo samog posmatranog sistema i nemoguće ga je izbjeći i upotrebom usavršenih mjernih instrumenata. Što preciznije mjerimo položaj, manje precizno mjerimo brzinu i obrnuto. Ovo svojstvo otkrio je 1927. godine njemački fizičar Werner Heisenberg a obično se formulira ovako:

Δp·Δx≥ħ/2

gdje je Δp neodređenost količine kretanja, Δx neodređenost položaja, a ħ je reducirana Planckova konstanta (ħ=h/2π) h=6,626·10⁻³⁴ Js

ili drukčije formulirano:

ΔE·Δt≥ħ/2

gdje je ΔE neodređenost energije, a Δt neodređenost mjerenja vremenskog intervala.

Ove relacije vrijede i u makrosvijetu (svijetu klasične mehanike), ali tamo su neprimjetljive jer je neodređenost položaja zanemariva u odnosu na dimenzije tijela, a neodređenost količine kretanja u odnosu na ukupnu količinu kretanja tijela.

Heisenbergovo načelo neodređenosti izazvalo je brojne kritike u svijetu fizike 20. vijeka (najpoznatije od Alberta Einsteina) jer je utjelovljenje kontrarnosti(?) determinističkim principima dotadašnje fizike, otpočelo je eru probabilističkog pristupa kvantnoj fizici i postavilo bitnu granicu preciznosti eksperimenta.

Heisenbergovo načelo neodređenosti za fakultetski nivo

Werner Karl Heisenberg, formulirao je 1927. princip neodređenosti

Heisenbergovo načelo neodređenosti ili relacije neodređenosti su bilo koja inačica nejednakosti koja govori o fundamentalnom ograničenju spoznaje vrijednosti komplementarnih fizikalnih veličina.

Prvi takav princip uvedeo je 1927. godine njemački fizičar Werner Heisenberg, a formuliran je za fizikalne veličine položaja i količine gibanja: što točnije poznajemo položaj, manje točno možemo poznavati količinu gibanja – i obrnuto. Heisenberg je izvorno svoje relacije izrazio preko matrične mehanike (koju je osmislio kao dvadesetdvogodišnjak, za potrebe kvantne mehanike, 1925. godine kada se povukao na otok Helgoland da bi izbjegao jake alergijske napade od kojih je patio ), tj. preko komutacijskih relacija:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42dbbd0db710385288536bcf4f4a1b7cceb75d9a" alt="{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }" width="4402" height="1223.9">

Gdje se $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18d95a7845e4e16ffb7e18ab37a208d0ab18e0e0" alt="{\displaystyle {\hat {x}}}" width="572.5" height="936.9">$ i $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bd4c026f1b3413adc58b9b65e89e62bce92c85a" alt="{\displaystyle {\hat {p}}}" width="623.8" height="1080.4">$ operatori položaja i količine gibanja, a $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de68de3a92517953436c93b5a76461d49160cc41" alt="{\displaystyle \hbar }" width="562.5" height="936.9">$ reducirana Planckova konstanta.

Kada se nejednakost izrazi preko standardne devijacije, kao što su to napravili Earle Hesse Kennard i Hermann Weyl, postaje jasnije da je riječ o organičavanju znanja o položaju i količini gibanja:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa9d9f8633ac3a229161d96ae52aef18d80a6a80" alt="{\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}~~}" width="4860.4" height="2300.3">

Gdje su $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebf4ab08fe163a6c495cad6f4d67653287c4044c" alt="{\displaystyle \sigma _{x}}" width="1076.3" height="865.1">$ i $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd141c4b4b162275b62a7b903a1a065271fae3cb" alt="{\displaystyle \sigma _{p}}" width="1027.5" height="1008.6">$ standardne devijacije položaja i količine gibanja, definirane kao: $^{2}}}}<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb2f8b00d0a80409413ea7591c2a4d6afcb5f0f0" alt="{\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\langle {\hat {x}}^{2}\rangle -\langle {\hat {x}}\rangle ^{2}}}}" width="8244.6" height="2085">$ i $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f734a04ab5323ebefafbef5d797d35afc2773fab" alt="{\displaystyle \sigma _{p}={\sqrt {\langle {\hat {p}}^{2}\rangle -\langle {\hat {p}}\rangle ^{2}}}.}" width="8499.9" height="2085">$

Formulacije

Valno-mehanička formulacija

Ilustrativni prikaz superpozicije nekoliko ravnih valova koji formiraju valni paket. Vidimo da valni paket postaje sve više lokaliziran, dodavanjem novih ravnih valova.

Prema de Broglievoj hipotezi, svaka čestica ima ujedno i valna svojstva. Informacije o položaju čestice, u kvantnoj mehanici, dobiva se iz valne funkcije $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f78f255e641e6cd2cd4bcb63183af3a47d84808e" alt="{\displaystyle \Psi (x,t)}" width="2936.7" height="1223.9">$ . Vremenski neovisna valna funkcija za jednostavni ravni valnog broja k₀ i količine gibanjap₀ je

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28e16662c2e82f9f0d05d896c70f224b6a4f4d73" alt="{\displaystyle \psi (x)\propto e^{ik_{0}x}=e^{ip_{0}x/\hbar }~.}" width="9823.4" height="1439.2">

Vjerojatnost nalaženja čestice između a i b je, po Bornovom pravilu, definirana kao

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8852ff1f2e7c518fce8dfbb77f8e8a7920c63f3" alt="{\displaystyle \operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} x~.}" width="13521.6" height="2730.8">

Očito je da je u slučaju ravnoga valna $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99516be05fd9132a16e5f2dcd0cb03bd632eab12" alt="{\displaystyle |\psi (x)|^{2}}" width="3013.9" height="1439.2">$ funkcija konstanta, odnosno, čestica može biti bilo gdje, u promatranom prostoru, sa jednakom vjerojatnosti. Drugim riječima, položaj čestice je maksimalno neodređen. Ako promatramo valnu funkciju koja je superpozicija više valova (kao na animaciji desno):

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95db00b9b9c4b8e1cc44f06f79a4fb41b2068e0f" alt="{\displaystyle \psi (x)\propto \sum _{n}A_{n}e^{ip_{n}x/\hbar }~,}" width="9490.6" height="2372">

gdje A _n predstavlja koeficijent, odnosno doprinos vala količine gibanja p_n rezultantnom valu. Prijeđemo li sa sume po diskretnim valovima na kontinuirani slučaj, rezultantna valna funkcija biti će integral preko svih mogućih valova

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2ce20623d54c0a5ac8dc4445cecfc69430ea7dc" alt="{\displaystyle \psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\phi (p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp~,}" width="15062.2" height="2730.8">

gdje $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/772d7fe1c5a3439845a87f55d45af038956b3f12" alt="{\displaystyle \phi (p)}" width="1879" height="1223.9">$ predstavlja amplitudu koja je Fourierov transform od $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a596a1fb4130a47f6b88c66150497338bd6cbccc" alt="{\displaystyle \psi (x)}" width="2003" height="1223.9">$ . Sa ovom funkcijom, pozicija je postala preciznije definirana, ali je sada količina gibanja slabije definirana pošto je rezultantni val superpozicija valova sa raznim količinama gibanja. Točnije, smanjili smo standardnu devijaciju pozicije σ_x na račun povećavanja standardne devijacije količine gibanja σ_p.

Stoga, ukoliko povećamo σ_x, smanjiti će se σ_p i obrnuto. Zaključujemo da je odnos σ_x i σ_p obrnuto proporcionalan, što je upravo ono što govore Heisenbergove relacije neodređenosti. Može se pokazati da umnožak σ_x i σ_p daje upravo vrijednost $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4f8178c614e701fae52026f2299b0adcc367dd3" alt="{\displaystyle {\frac {\hbar }{2}}}" width="922.5" height="2300.3">$ .

Matrična formulacija

U matričnoj mehanici, izvornom načinu na kojem je Heisenberg došao do svojih relacija, opservable poput položaja i količine gibanja samoadjungirani operatori. Za početak, definirajmo komutacijske relacije između dva operatora kao

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3133da214f8f0fcf1ba11e907cfd121a2179b1b4" alt="{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}.}" width="8409.7" height="1439.2">

U slučaju operatora položaja i količine gibanja, imamo

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fee0861ae7784cb51a1b43f6c51735c22c23274e" alt="{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar .}" width="4680.5" height="1223.9">

Neka je $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc27f1893b769a08cd6b296e115a29e61cab675e" alt="{\displaystyle |\psi \rangle }" width="1319.5" height="1223.9">$ vlastita funkcija operatora položaja sa konstantnom vlastitom vrijednosti x₀, što per definitionem znači da je $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99974c4e6ad4d675c7552a4228f51c68b184349a" alt="{\displaystyle {\hat {x}}|\psi \rangle =x_{0}|\psi \rangle .}" width="5850.5" height="1223.9">$ . Primijenimo spomenuti komutator na $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc27f1893b769a08cd6b296e115a29e61cab675e" alt="{\displaystyle |\psi \rangle }" width="1319.5" height="1223.9">$ i dobit ćemo:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8255257353e4743e966c106dea5674689ed04690" alt="{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =({\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}})|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle ,}" width="21952.1" height="1439.2">

gdje je Î operator identiteta.

Pretpostavimo, radi reductio ad absurdum, da je ${\displaystyle |\psi \rangle }<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc27f1893b769a08cd6b296e115a29e61cab675e" alt="{\displaystyle |\psi \rangle }" width="1319.5" height="1223.9">$ ujedno i vlastita funkcija operatora količine gibanja, sa vlastitom vrijednosti p₀; tada bismo imali

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49ffc3dad1441f176ffe0df7d6d3001872c9d497" alt="{\displaystyle ({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =(x_{0}{\hat {I}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =0.}" width="25616.7" height="1439.2">

Međutim, takav rezultat je upravo u kontradikciji sa Heisenbergovim relacijama neodređenosti koje zahtijevaju

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04d341bbd1c29d8f96a5ce5ad6e2cf856d1b1f40" alt="{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle \neq 0.}" width="9154.1" height="1223.9">

Što implicira da kvantna stanja ne mogu biti istovremeno vlastita funkcija položaja i količine gibanja. Drugim riječima: mjerenjem položaja, količina gibanja će biti neodređena, i obrnuto.

Važne relacije neodređenosti

Osim spomenutih relacija neodređenosti između položaja i količine gibanja, u kvantnoj mehanici često se koriste i relacije neodređenosti za: komponente kutne količine gibanja, komponente spina čestice i relacije između energije i vremena.

Za kutnu količinu gibanja vrijedi

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d32a97397e35b96330795406f1a55f6c5acfef2d" alt="{\displaystyle [{L_{x}},{L_{y}}]=i\hbar \epsilon _{xyz}{L_{z}}.}" width="8549.5" height="1295.7">

Gdje je $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21525193117bdfc0f3ac71b8ec46e3b6d0637daf" alt="{\displaystyle \varepsilon _{ijk}}" width="1471.2" height="1008.6">$ Levi-Civita simbol. Što znači da nije moguće istovremeno poznavati vrijednosti dviju komponenta kutne količine gibanja.

Za komponente spina vrijedne analogne relacije kao kod kutne količine gibanja, odnosno

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4dedf5de9d2b4259facf15dd9c85a31ecbab75e" alt="{\displaystyle [S_{i},S_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}S_{k}.}" width="8039.2" height="1295.7">

Što znači da nije moguće istovremeno poznavati vrijednosti dviju komponenta spina.

Pošto vrijeme u nerelativističkoj kvantnoj mehanici nije opservabla, umjesto vremena koristi se životni vijek stanja $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e5789e5d9c8f7c79744f43ecaaf8ba42a8553a" alt="{\displaystyle \psi }" width="651.5" height="1080.4">$ u odnosu na opservablu B, pa relacije imaju oblik

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7aef18f93d0ae0050e97df1f5b24e26df14a9f9" alt="{\displaystyle \sigma _{E}~{\frac {\sigma _{B}}{\left|{\frac {\mathrm {d} \langle {\hat {B}}\rangle }{\mathrm {d} t}}\right|}}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}" width="6755.5" height="3807.2">

gdje je σ_E standardna devijacija Hamiltonijana (operatora energije) u stanju ${\displaystyle \psi }<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e5789e5d9c8f7c79744f43ecaaf8ba42a8553a" alt="{\displaystyle \psi }" width="651.5" height="1080.4">$ , a σ_B standardna devijacija nekog operatora B. , gdje je ${\displaystyle a\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39662bfe49531f7333e721d3a3a83143f16ec13b" alt="{\displaystyle a\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}" width="4921.5" height="1223.9">$

Heisenbergov mikroskop

Relacije neodređenosti izmeđ položaj i brzinu neke čestice možemo predočiti slikovitim teorijskim primjerom Heisenbergova mikroskopa:

Heisenbergov gamma-zrake mikroskop za detekciju pozicije elektrona (obojan plavo).Nadolazeća gamma zraka (obojana zeleno) raspršuje se na elektronu i pada na mikroskop pod kutom θ. Odbijena gamma zraka obojana je crveno.

Da bismo promatranjem odredili položaj nekog tijela, moramo ga osvijetliti i primiti svjetlost koja se od njega reflektira. Međutim, zbog ogiba svjetlosti položaj tijela možemo odrediti najpreciznije na valnu duljinu svjetlosti pa tako možemo pisati da je neodređenost položaja tijela jednaka valnoj duljini svjetlosti (Δx≈λ). Smanjenjem valne duljine korištene svjetlosti možemo sve preciznije odrediti položaj tražene čestice, ali u tom slučaju povećavamo energiju zračenja (E=hf=hc/λ), odnosno čestična svojstva svjetlosti (elektromagnetskog vala) čiji foton u tom slučaju ima veću količinu gibanja (p=h/λ) pa tako u “sudaru” s promatranom česticom više mijenja njenu količinu gibanja (u odnosu na početnu) tako da je i nju nemoguće sasvim točno odrediti. Povećanjem čestičnih svojstava svjetlosti kojom osvjetljavamo (smanjenje valne duljine) gubi se na preciznosti mjerenja brzine (količine gibanja), a povećanjem valnih (povećanje valne duljine) gubi se na preciznosti određivanja položaja.

Ovo nije posljedica nesavršenosti mjernih instrumenata, nego je kvantno svojstvo samog promatranog sustava i nemoguće ga je izbjeći i uporabom savršenih mjernih instrumenata. Što preciznije mjerimo položaj, manje precizno mjerimo brzinu i obrnuto. Ovo svojstvo otkrio je 1927. godine njemački fizičar Werner Heisenberg a obično se formulira ovako:

Δp·Δx≥ħ/2

gdje je Δp neodređenost količine gibanja, Δx neodređenost položaja, a ħ je reducirana Planckova konstanta (ħ=h/2π) h=6,626·10^-34 Js

ili drukčije formulirano:

ΔE·Δt≥ħ/2

gdje je ΔE neodređenost energije, a Δt neodređenost mjerenja vremenskog intervala.

Ove relacije vrijede i u makrosvijetu (svijetu klasične mehanike), ali tamo su neprimjetljive jer je neodređenost položaja zanemariva u odnosu na dimenzije tijela, a neodređenost količine gibanja u odnosu na ukupnu količinu gibanja tijela.

Heisenbergovo načelo neodređenosti izazvalo je brojne kritike u svijetu fizike 20. stoljeća (najpoznatije od Alberta Einsteina) jer je utjelovljenje kontrarnosti determinističkim principima dotadašnje fizike, otpočelo je eru probabilističkog pristupa kvantnoj fizici i postavilo bitnu granicu preciznosti eksperimenta.

Primjeri

Čestica u kutiji

Barijere van kutije imaju beskonačno velik potencijal, dok unutar kutuje čestica ima potencijal nula.

Najjednostavniji kvantnomehanički sustav je primjer slobodne čestice u kutiji. Takva čestica se može gibati samo u jednoj dimenziji (lijevo-desno) i ograničena je u beskonačoj potencijalnoj jami (zidovi označavaju barijere u kojima je potencijalna energija beskonačna), dok je potencijalna energija unutar kutije jednaka nuli. Stoga, čestica ima samo kinetičku energiju:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/131d72b87b6e2acbdfa80847a58546a10582e065" alt="{\displaystyle V(x)={\begin{cases}0,&amp;x_{c}-{\tfrac {L}{2}}&lt;x&lt;x_{c}+{\tfrac {L}{2}},\\\infty ,&{\text{za ostalo,}}\end{cases}},}" width="16693.5" height="2802.6">

Rješavanjem Schrödingerove jednadžbe za takvu česticu, lako je naći da vlastite funkcije u koordinatnoj i impulsnoj reprezentaciji definirana kao

$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f2a3f75a6683b797bf32332366f8af0f2a300e1" alt="{\displaystyle \psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin(k_{n}x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{n}t},&0<x<L,\\0,&{\text{za ostalo,}}\end{cases}}}" width="18669.4" height="2659.1">$ i

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d389b52a1b147363a00ddc6d73b01cd6840c4f72" alt="{\displaystyle \phi _{n}(p,t)={\sqrt {\frac {\pi L}{\hbar }}}\,\,{\frac {n\left(1-(-1)^{n}e^{-ikL}\right)e^{-i\omega _{n}t}}{\pi ^{2}n^{2}-k^{2}L^{2}}}}" width="18694.5" height="2874.4">

gdje je ${\displaystyle \omega _{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar n^{2}}{8L^{2}m}}}<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ce781ba66f6a7a882b41b7814f3c36d452dbc" alt="{\displaystyle \omega _{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar n^{2}}{8L^{2}m}}}" width="5486.4" height="2587.3">$ . Varijanca (koja je korijen standardne devijacije) pozicije i količine gibanja računa se:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd6a2e8bfd65babe2bea2ea66906856f1ca26db7" alt="{\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {L^{2}}{12}}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}" width="9711.7" height="2730.8">

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/845d4699e5984ce2debebba5ac669d24abbb7298" alt="{\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}}" width="6385" height="2802.6">

Vidimo da je umnožak standardnih devijacija:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b7051cdf63a3e433817b98489d4c5333bbc19a4" alt="{\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}.}" width="9805.6" height="2659.1">

S obzirom da je najmanja moguća vrijednost vrijable $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" alt="{\displaystyle n}" width="600.5" height="721.6">$ upravo $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ec7e1edc2e6d98f5aec2a39ae5f1c99d1e1425" alt="{\displaystyle n=1}" width="2435.1" height="936.9">$ , nalazimo da je najmanji mogući umnožak standardnih devijacija količine gibanja i pozicije jednak

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c76e7dae230d9d8b09fd370c3c84fbe3bd98e7e8" alt="{\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{3}}-2}}\approx 0.568\hbar &gt;{\frac {\hbar }{2}}}" width="14906.3" height="2659.1">

S time pokazujemo da Heisenbergove relacije neodređenosti vrijede za česticu u kutiji. Do današnjeg dana nije pronađeno niti jedno odstupanje od Heisenbergovih relacija neodređenosti.

Kvantni harmonički oscilator

Gustoća vjerojatnosti kod kvantnog harmoničkog oscilatora.

Jednodimenzionalni kvantni harmonički oscilator je kvantnomehanička varijantna klasičnoga harmoničkoga oscilatora. U tom slučaju, operatore količine gibanja i pozicije moguće je izraziti preko operatora podizanja i spuštanja:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0df220fd111fa795fe792be841d09d13b3d1370" alt="{\displaystyle {\hat {x}}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}(a+a^{\dagger })}" width="8743.8" height="2659.1">

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4f1a279847912c0b3fce6e3ea167e0fdf2c8af6" alt="{\displaystyle a^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle }" width="9695.8" height="1367.4">

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9988ea633fb1529f1592c4133272da364cc2f4c4" alt="{\displaystyle a|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle ~}" width="7808" height="1295.7">

trivijalno je odrediti varijancu,

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb151dac9eee44a14bf6c8a5783049312f85b075" alt="{\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {\hbar }{m\omega }}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}" width="8595" height="2659.1">

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1b6facd1a9fb3fe1799fb946d8791f04959b7b2" alt="{\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\hbar m\omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\,.}" width="9360.5" height="2659.1">

Iz toga slijedi da je produkt standardnih devijacija količine gibanja i pozicije:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2826b52afe988b79570d538ba6be527a44db9707" alt="{\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}=\hbar \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\geq {\frac {\hbar }{2}}.~}" width="11275.7" height="2659.1">

Što, kao što vidimo, zadovoljava Heisenbergove relacije neodređenosti.

Von Neumannov izvod Heisenbergovih relacija

Neka je:

$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ef4c7b923a5125ac91aa491838a95ee15b804f" alt="{\displaystyle {\mathcal {H}}}" width="845.5" height="936.9">$ Hilbertov prostor,zajedno sa skalarnim produktom $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a50080b735975d8001c9552ac2134b49ad534c0" alt="{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }" width="1781.2" height="1223.9">$ i normom $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e20c2c7fb1073047e5284a79f5d685074c17e01" alt="{\displaystyle \|\cdot \|={\langle \cdot ,\cdot \rangle }^{\frac {1}{2}}}" width="5586.5" height="1726.2">$ , te sa $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f890b5c7cc24dabd1ccc7ce2ee5a0d2dc0337736" alt="{\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {H}}}" width="1273.4" height="1080.4">$ kao operatorom identiteta u $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06e7b08d32d5cce25aec2c25642c9d8e13718a29" alt="{\displaystyle {\mathcal {H}}\;}" width="1123.3" height="936.9">$ ;
$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e142925de4b554ba8ba50d038010903f9d0fe04" alt="{\displaystyle {\hat {A}}\colon {\mathcal {H}}\supset D({\hat {A}})\to {\mathcal {H}}}" width="8162.8" height="1439.2">$ i $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b68bc6cd148273df2284cc28ec4098b224d4745d" alt="{\displaystyle {\hat {B}}\colon {\mathcal {H}}\supset D({\hat {B}})\to {\mathcal {H}}}" width="8152.8" height="1439.2">$ samoadjungirani operatori u $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ef4c7b923a5125ac91aa491838a95ee15b804f" alt="{\displaystyle {\mathcal {H}}}" width="845.5" height="936.9">$ i $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b006c358f05b75b50a1be7a59660b5d4a2232ef" alt="{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=a\mathbf {1} _{\mathcal {H}}}" width="5663.1" height="1439.2">$ , gdje je $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39662bfe49531f7333e721d3a3a83143f16ec13b" alt="{\displaystyle a\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}" width="4921.5" height="1223.9">$ ;
Te $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbf87d27c1745ca3827dbc1d97d80ade34565202" alt="{\displaystyle \psi \in {\;{\bigl (}D({\hat {A}})\cap D({\hat {B}})\cap {\hat {A}}^{-1}(D({\hat {B}}))\cap {\hat {B}}^{-1}(D({\hat {A}})){\bigr )}\;}\subseteq {\mathcal {H}}}" width="23431.3" height="1726.2">$ sa normom $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/376796190f2a450e2fb67ae9ef1896dd9d90720e" alt="{\displaystyle \|\psi \|=1}" width="3487.1" height="1223.9">$ .

Tada Heisenbergove relacije možemo izvesti u četiri koraka:

Korak 1:

Neka je

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3721c5c2a38d084be130e32474fc3796734b0b7" alt="{\displaystyle \operatorname {Im} {\langle {\hat {A}}\psi ,{\hat {B}}\psi \rangle }={\frac {\langle {\hat {A}}\psi ,{\hat {B}}\psi \rangle -\langle {\hat {B}}\psi ,{\hat {A}}\psi \rangle }{2\mathrm {i} }}}" width="16432.2" height="2659.1">

Stoga:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d4204172871710c80f94b906ce70a5784c2afcf" alt="{\displaystyle 2\cdot \operatorname {Im} {\langle {\hat {A}}\psi ,{\hat {B}}\psi \rangle }=-\mathrm {i} \cdot (\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi ,\psi \rangle -\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi ,\psi \rangle )=-\mathrm {i} \cdot \langle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi -{\hat {A}}{\hat {B}}\psi ,\psi \rangle }" width="30418.2" height="1439.2">

$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c183cb95396f0dce9e540a1d25aec3c96773e73d" alt="{\displaystyle =\mathrm {i} \cdot \langle ({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}})\psi ,\psi \rangle =\mathrm {i} \cdot \langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\psi ,\psi \rangle =\mathrm {i} \cdot \langle a\mathbf {1} _{\mathcal {H}}\psi ,\psi \rangle }" width="23689.2" height="1439.2">$ $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb2b1494f996d690b1f394bd7f427d04c292cb1e" alt="{\displaystyle =\mathrm {i} \cdot a\cdot \langle \psi ,\psi \rangle }" width="5837.3" height="1223.9">$ $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8739101f50d2cbff95146b56e273576c76466bb" alt="{\displaystyle =\mathrm {i} \cdot a\cdot {\|\psi \|}^{2}}" width="5416.6" height="1439.2">$

Što znači:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd8b301627c82b7037fabfd3c1990c1bc59b5977" alt="{\displaystyle {\|\psi \|}^{2}=-{\frac {2\mathrm {i} }{a}}\cdot \operatorname {Im} {\langle {\hat {A}}\psi ,{\hat {B}}\psi \rangle }\leq {\frac {2}{|a|}}\cdot |\langle {\hat {A}}\psi ,{\hat {B}}\psi \rangle |}" width="19605.4" height="2587.3">

Pa iz Cauchy-Schwarzove nejednakosti slijedi:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d630fa07418c245e5846d311980794cd9b91c31" alt="{\displaystyle {\|\psi \|}^{2}\leq {\frac {2}{|a|}}\cdot \|{\hat {A}}\psi \|\cdot \|{\hat {B}}\psi \|}" width="11161.9" height="2587.3">

Korak 2:

Neka su $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9a89ebdf27d625a7b214cc04cfbe673f5cbddcf" alt="{\displaystyle r,s\in \mathbb {R} }" width="3311.7" height="1080.4">$ dva prozivoljna skalara, te definirajmo $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b243b5829467441e91a1e4a5b5f8d8793bff458" alt="{\displaystyle {\hat {A}}_{r}={\hat {A}}-r\mathbf {1} _{\mathcal {H}}}" width="6230.1" height="1367.4">$ i $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58365c8b44a7c7df3566f3cfa9c4c2838419e266" alt="{\displaystyle {\hat {B}}_{s}={\hat {B}}-s\mathbf {1} _{\mathcal {H}}}" width="6250.8" height="1367.4">$ . Stoga, općenito možemo zaključiti da vrijedi:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91cffcff63b491b9ed26a401dee265cc3c5a183f" alt="{\displaystyle {\|\psi \|}^{2}\leq {\frac {2}{|a|}}\cdot \|{\hat {A}}_{r}\psi \|\cdot \|{\hat {B}}_{s}\psi \|={\frac {2}{|a|}}\cdot \|{\hat {A}}\psi -r\psi \|\cdot \|{\hat {B}}\psi -s\psi \|}" width="25738.4" height="2587.3">

Korak 3:

Kao rezultat drugoga koraka, uz $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/376796190f2a450e2fb67ae9ef1896dd9d90720e" alt="{\displaystyle \|\psi \|=1}" width="3487.1" height="1223.9">$ , $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a6e7ddcd5e03139005bbf64af2b4cc6677e2ba4" alt="{\displaystyle r=\langle {\hat {A}}\psi ,\psi \rangle }" width="5077.2" height="1439.2">$ i $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/060d5ca68d44e635a3f85216410007474c42afef" alt="{\displaystyle s=\langle {\hat {B}}\psi ,\psi \rangle }" width="5090.2" height="1439.2">$ , imamo:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d770b2e644745ee85002bd13857e1c516aa1b95" alt="{\displaystyle \|{\hat {A}}\psi -\langle {\hat {A}}\psi ,\psi \rangle \psi \|\cdot \|{\hat {B}}\psi -\langle {\hat {B}}\psi ,\psi \rangle \psi \|\geq {\frac {|a|}{2}}\cdot }" width="18938.2" height="2443.8">

Korak 4:

Za slučaj kada je $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d58d4a8a3deca6f1c151d7dce27b0c0f3042affe" alt="{\displaystyle a={\frac {h}{2\pi \mathrm {i} }}}" width="3576.1" height="2300.3">$ , dobivamo rezultat važan za kvantnu mehaniku, odnosno Heisenbergove relacije neodređenosti:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4105cb94e3dbdfdad3f338264b3340adc931c85f" alt="{\displaystyle \|{\hat {A}}\psi -\langle {\hat {A}}\psi ,\psi \rangle \psi \|\cdot \|{\hat {B}}\psi -\langle {\hat {B}}\psi ,\psi \rangle \psi \|\geq {\frac {h}{4\pi }}\cdot }" width="18925.7" height="2300.3">

Interpretacija relacija neodređenosti

Interpretacija relacija neodređenosti bila je jedna od glavnih točaka prijepora između Bohra i Einsteina, naročito na petoj Solvayavoj konferenciji. Po Kopenhagenskoj kvantnoj mehanici, ukoliko dvije fizikalne veličine ne komutiraju, one nemaju istovremenu fizikalnu realnost. Što znači da ukoliko poznajemo poziciju, količina gibanja nema realnost (tj. ne postoji). Također, ukoliko čestici poznajemo komponentu spina u x-smjeru, to znači da čestica nema ostale komponente spina. S druge strane, Einstein je to vidio kao naznaku nepotpunosti teorije, a ne kao znak da neke fizikalne veličine ne postoje ukoliko znamo njihove konjugirane parove.

Izvori

Heisenberg, W. (21. ožujka 1927.). “Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik”. Zeitschrift für Physik 43 (3–4): 172–198.
Trabesinger, A.. “History of quantum mechanics: The path to agreement”. Nature Physics 4: 349.
↑ L.D. Landau, E.M. Lifshitz (1977). Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory, 3rd, Pergamon Press. ISBN 978-0-08-020940-1 Online copy.
Hilgevoord, Jan (1998). “The uncertainty principle for energy and time. II.”. American Journal of Physics 66 (5): 396–402.
Predložak:Literatur
Mehra, J. (1987.). “Niels Bohr’s discussions with Albert Einstein, Werner Heisenberg, and Erwin Schrödinger: The origins of the principles of uncertainty and complementarity”. Foundations of Physics 17 (5): 461–506.
Bohr N. Discussions with Einstein on Epistemological Problems in Atomic Physics. The Value of Knowledge: A Miniature Library of Philosophy. Marxists Internet Archive. pristupljeno 2016-01-09 From Albert Einstein: Philosopher-Scientist (1949), publ. Cambridge University Press, 1949. Niels Bohr’s report of conversations with Einstein.
Paul Arthur Schilpp. Albert Einstein: Philosopher Scientist, Tudor Publishing Company (1951), str. 672.

Glavni izvor:

Tekst je u cjelosti preuzet sa Wikipedije!

Kvantna elektrodinamika, kvantna fizika, Kvantna fizika čvrstog stanja, Kvantna mehanika, Kvantna statistička fizika

Šta je to Heisenbergovo načelo neodređenosti?

April 22, 2017 admin Leave a comment

Heisenbergov princip neodređenosti za srednjoškolski nivo

Δp·Δx≥ħ/2

gdje je Δp neodređenost količine kretanja, Δx neodređenost položaja, a ħ je reducirana Planckova konstanta (ħ=h/2π) h=6,626·10⁻³⁴ Js

ili drukčije formulirano:

ΔE·Δt≥ħ/2

gdje je ΔE neodređenost energije, a Δt neodređenost mjerenja vremenskog intervala.

Heisenbergovo načelo neodređenosti za fakultetski nivo

Werner Karl Heisenberg, formulirao je 1927. princip neodređenosti

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42dbbd0db710385288536bcf4f4a1b7cceb75d9a" alt="{displaystyle [{hat {x}},{hat {p}}]=ihbar }" width="4402" height="1223.9">

Gdje se $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18d95a7845e4e16ffb7e18ab37a208d0ab18e0e0" alt="{displaystyle {hat {x}}}" width="572.5" height="936.9">$ i $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bd4c026f1b3413adc58b9b65e89e62bce92c85a" alt="{displaystyle {hat {p}}}" width="623.8" height="1080.4">$ operatori položaja i količine gibanja, a $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de68de3a92517953436c93b5a76461d49160cc41" alt="{displaystyle hbar }" width="562.5" height="936.9">$ reducirana Planckova konstanta.

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa9d9f8633ac3a229161d96ae52aef18d80a6a80" alt="{displaystyle sigma _{x}sigma _{p}geq {frac {hbar }{2}}~~}" width="4860.4" height="2300.3">

Gdje su $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebf4ab08fe163a6c495cad6f4d67653287c4044c" alt="{displaystyle sigma _{x}}" width="1076.3" height="865.1">$ i $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd141c4b4b162275b62a7b903a1a065271fae3cb" alt="{displaystyle sigma _{p}}" width="1027.5" height="1008.6">$ standardne devijacije položaja i količine gibanja, definirane kao: $^{2}}}}<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb2f8b00d0a80409413ea7591c2a4d6afcb5f0f0" alt="{displaystyle sigma _{x}={sqrt {langle {hat {x}}^{2}rangle -langle {hat {x}}rangle ^{2}}}}" width="8244.6" height="2085">$ i $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f734a04ab5323ebefafbef5d797d35afc2773fab" alt="{displaystyle sigma _{p}={sqrt {langle {hat {p}}^{2}rangle -langle {hat {p}}rangle ^{2}}}.}" width="8499.9" height="2085">$