Često se može čuti da neko kaže da je sve povezano, ali se povezanost može osjetiti i nekad na nepredvidive načine. Ponekad nešto malo u daljini uzrokuje velike promjene negdje blizu nas. Kod corona virusa nešto malo je izazvalo svjetsku pandemiju i od čovjeka do čovjeka virus se raširio po cijelom svijetu. Puno je takvih primjera gdje se uočavaju veze.
Međutim, šta ako je neki sistem izolovan i po definciji nije povezan sa vanjskim svijetom? U tom slučaju stvarno bi mogli reći da taj sistem, odnosno ono u sistemu, nije povezano sa vanjskim svijetom. Međutim, uvijek postoji neka veza. Npr. samo zato što je neka zgrada izolovana od vanjskog svijeta ne znači da ju zemljotres ne može razvaliti, pa zbog toga vidimo da ni jedna izolacija nije savršena i uvijek postoji neka veza. Može se između redova u ovome svemu pročitati da zaista izgleda kao da je sve nekako povezano, ali te sve veze nisu iste, neke su direktne, neke indirektne, neke jake, neke slabe, neke vidljive, neke nevidljive.
S aspekta fizike u prirodi je sve povezano sa 4 fundamentalne interakacije: jakom, slabom, elektromagnetnom i gravitacijskom, ali se pretpostavlja da bi se sve ove 4 sile mogle svesti na jednu fundamentalnu vezu među svime.
Teorija koja bi objasnila na koji način je sve povezano se zove teorija svega. Ta teorija se intenzivno razvija, ali je pitanje da li će se ikada u potpunosti razviti, a do tada naša standardna fizika je početna verzija teorije svega prema kojoj je zaista sve povezano sa 4 fundamentalne sile i sve se dešava preko njih.
Istraživači su predvidjeli ishod nakon simulacije čitavog fudbalskog turnira 100.000 puta.
Svjetsko prvenstvo u fudbalu 2018. godine je počelo u Rusiji u četvrtak i vjerovatno će biti jedan od najgledanijih sportskih događaja u historiji, što je popularnije čak i od Olimpijade. Dakle, potencijalni pobjednici su od velikog značaja.
Jedan od načina za procjenu vjerovatnih ishoda je gledati kladionice. Ove kompanije koriste profesionalne statistike da analiziraju obimne baze podataka o rezultatima na način koji kvantifikuje vjerovatnoću različitih ishoda bilo koje moguće utakmice. Na ovaj način, kladionice mogu ponuditi kvote na svim igrama koje će početi u narednih nekoliko nedelja, kao i kvote potencijalnih pobednika.
Još bolja procjena dolazi od kombinovanja kvota od puno različitih kladionica. Ovakav pristup predlaže da bi Brazil trebao biti najvjerojatniji pobjednik Svjetskog prvenstva 2018. godine, sa vjerovatnoćom od 16,6 odsto, a zatim slede Nemačka (12,8 odsto) i Španija (12,5 odsto).
Ali posljednjih godina, istraživači su razvili tehnike mašinskog učenja koje imaju potencijal da prevazilaze konvencionalne statističke pristupe. Šta ove nove tehnike predviđaju kao vjerovatni ishod Svjetskog prvenstva u 2018?
Odgovor dolazi od rada Andreasa Grolla na Tehničkom univerzitetu u Dortmundu u Nemačkoj i nekoliko kolega. Ovi momci koriste kombinaciju mašinskog učenja i konvencionalnih statistika, metod nazvanog slučajnog pristupa, da bi se identifikovao drugačiji najvjerovatniji pobjednik.
Prvo malo pozadine. Tehnika nasumičnog šuma pojavila se u posljednjih nekoliko godina kao moćan način za analizu velikih skupova podataka uz izbjegavanje nekih zamki drugih metoda rukovanja podacima. Zasniva se na ideji da se neki budući događaj može odrediti u stablu odlučivanja u kojem se ishod izračunava u svakoj grani, pozivajući se na skup podataka u obuci.
Međutim, stablo odluke pati od poznatog problema. U drugoj fazi procesa razgranavanja, odluke mogu biti ozbiljno iskrivljene pomoću podataka o obuci koji su rijetki i skloni velikim varijacijama u ovoj vrsti rezolucije, problemu koji se naziva prefitovanje.
Pristup nasumičnih šuma je drugačiji. Umjesto izračunavanja ishoda u svakoj grani, proces izračunava je ishod slučajnih grana. I ovo radi mnogo puta, svaki put sa različitim skupom slučajno odabranih grana. Konačni rezultat je prosjek svih ovih nasumično konstruisanih stabala odlučivanja.
Ovaj pristup ima značajne prednosti. Prvo, ne pati od istog problema sa prevelikim prestankom koji je uobičajen za drveće. Takođe otkriva koji su faktori najvažniji u određivanju ishoda.
Dakle, ako određeno drvo odluke sadrži puno parametara, postaje lako vidjeti koji je najveći utjecaj na ishod i koji ne. Ovi manje važni faktori se u budućnosti mogu ignorisati.
Groll i suradnici koriste upravo ovaj pristup za model Svjetskog prvenstva u 2018. godini. Modeliraju ishod svake igre koju će timovi vjerovatno igrati i koriste rezultate za izgradnju najvjerovatnijeg kursa turnira.
Groll i suradnici počinju sa širokim spektrom potencijalnih faktora koji mogu utvrditi ishod. Ovo uključuje ekonomske faktore kao što su BDP i populaciju zemlje, rangiranje nacionalnih timova FIFE i osobine samih timova, kao što je njihova prosječna starost, broj igrača u Ligi šampiona, imaju li prednost u domaćinstvu i tako dalje.
Zanimljivo je da pristup slučajne šume omogućava Grollu i suradnicima da uključe druge pokušaje rangiranja, kao što je rangiranje koje koriste kladionice.
Priključivanje svega toga u model pruža neke zanimljive uvide. Na primjer, najutjecajniji faktori se ispostavljaju kao rangiranje tima kreiranih drugim metodama, uključujući i one iz knjižara, FIFA i druge.
Drugi važni faktori uključuju BDP i broj igrača Lige šampiona u timu. Nenavadni faktori uključuju populaciju zemlje, nacionalnost trenera i tako dalje.
Predviđanja koja su stigla kroz ovaj proces razlikuju se od drugih na neke bitne načine. Za početak, metod slučajnih šuma odabira Španiju kao najverovatnijeg dobitnika, sa vjerovatnoćom od 17,8 odsto.
Međutim, veliki faktor u ovom predviđanju je struktura samog turnira. Ako Njemačka razjasni grupnu fazu takmičenja, verovatnije će se suočiti sa snažnim protivljenjem u fazi 16-tima. Zbog toga, metod slučajnih šuma izračunava šanse Njemačke da postignu četvrtfinale kao 58 procenata. Za razliku od toga, malo je vjerovatno da će se Španija suočiti s jakom opozicijom u finalu 16 i ima šansu od 73 odsto da dostigne četvrtfinale.
Ako oba igraju četvrtfinale, oni imaju manje ili više jednake šanse da pobjede. “Španija je blago favorizirana nad Njemačkom”, kaže Groll i co.
Ali postoji dodatni preokret. Proces nasumičnog drveta omogućava simuliranje čitavog turnira, i to stvara drugačiji rezultat.
Groll i ekipa su simulirali cijeli turnir 100.000 puta. “Prema najverovatnijem turnirskom kursu, umesto Španaca Nemački tim bi osvojio Svjetsko prvenstvo”, kažu.
Naravno, zbog velikog broja permutacija igara, ovaj kurs i dalje je izuzetno malo verovatan. Groll i Co su stavili kvote na oko 1 na 100.000.
Dakle, na početku turnira, Španija ima najbolje šanse za pobjedu, kaže Groll i co. Ali ako Njemačka dođe do četvrtfinala, onda postaje favorit.
U matematici, matrica je pravokutna tablica brojeva, ili općenito, tablica koja se sastoji od apstraktnih objekata koji se mogu zbrajati i množiti.
Matrice se koriste za opisivanje linearnih jednadžbi, za praćenje koeficijenata linearnih transformacija, kao i za čuvanje podataka koji ovise od dva parametra. Matrice se mogu zbrajati, množiti i razlagati na razne načine, što ih čini ključnim konceptom u linearnoj algebri i teoriji matrica.
Organizacija matrice
Definicije i notacije
Horizontalne se linije u matrici zovu retcima, a vertikalne stupcima matrice. Matrica sa m redaka i n stupaca se naziva m-sa-n matricom (kaže se i zapisuje da je formatam×n) a m i n su dimenzije matrice.
Član matrice A koji se nalazi u i-tom retku i j-tom stupcu se naziva (i,j)-ti član matrice A. Ovo se zapisuje kao ai,j ili A[i,j]. Uvijek se prvo naznačuje redak, pa stupac.
Često se piše kako bi se definirala m × n matrica A čiji su članovi ai,j za sve 1 ≤ i ≤ m i 1 ≤ j ≤ n. Međutim, konvencija da i i j počinju od 1 nije univerzalna: neki programski jezici započinju od nule, u kom slučaju imamo 0 ≤ i ≤ m − 1 i 0 ≤ j ≤ n − 1.
Matricu čija je jedna od dimenzija jednaka jedinici često nazivamo vektorom, i interpretiramo je kao element realnog koordinatnog prostora. 1 × n matrica (jedan redak i n stupaca) se naziva vektor redak, a m × 1 matrica (jedan stupac i m redaka) se naziva vektor stupac.
Primjer
Matrica
je 4×3 matrica. Element A[2,3] ili a2,3 je 7.
Matrica
je 1×9 matrica, ili vektor redak sa 9 elemenata.
Zbrajanje i množenje matrica
Zbrajanje
Zbrajanje matrica je definirano samo za matrice istih dimenzija. Ako su dane matrice A i B, dimenzija m-sa-n, njihov zbrojA + B je m-sa-n matrica, izračunata zbrajanjem odgovarajućih elemenata (t.j. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Na primjer:
Množenje skalarom
Ako uzmemo matricu A i broj c, skalarni produktcA se računa množenjem skalarom c svakog elementa A (t.j. (cA)[i, j] = cA[i, j] ). Na primjer:
Operacije zbrajanja i množenja skalarom pretvaraju skup M(m, n, R) svih m-sa-n matrica sa realnim elementima u realni vektorski prostor dimenzije mn.
Množenje matrica
Množenje dvije matrice je dobro definirano samo ako je broj stupaca lijeve matrice jednak broju redaka desne matrice. Za takve dvije matrice se kaže da su ulančanih dimenzija. Ako je A matrica dimenzija m-sa-n, a B je matrica dimenzija n-sa-p, tada je njihov umnožakAB matrica dimenzija m-sa-p (m redaka, p stupaca) dan formulom:
za svaki par i i j.
Na primjer:
Množenje matrica ima sljedeća svojstva:
(AB)C = A(BC) za sve k-sa-m matrice A, m-sa-n matrice B i n-sa-p matrice C (asocijativnost).
(A + B)C = AC + BC za sve m-sa-n matrice A i B i n-sa-k matrice C (desna distributivnost).
C(A + B) = CA + CB za sve m-sa-n matrice A i B i k-sa-m matrice C (lijeva distributivnost).
Valja znati da komutativnost ne vrijedi u općem slučaju; ako su dane matrice A i B, čak i ako su oba umnoška definirana, u općem slučaju je AB ≠ BA.
Posebno, skup M(n, R) svih kvadratnih matrica reda n je realna asocijativna algebra sa jedinicom, koja je nekomutativna za n ≥ 2.
Matrice mogu na zgodan način predstaviti linearne transformacije jer množenje matrica odgovara slaganju preslikavanja, kao što će dalje biti opisano. Upravo ovo svojstvo matrice čini moćnom strukturom podataka u višim programskim jezicima.
Ovdje i u nastavku, promatramo Rn kao skup stupaca ili n-sa-1 matrica. Za svako linearno preslikavanje f : Rn → Rm postoji jedinstvena m-sa-n matrica A, takva da f(x) = Ax za svako x u Rn. Kažemo da matrica Apredstavlja linearno preslikavanje f. Ako k-sa-m matrica B predstavlja drugo linearno preslikavanje g : Rm → Rk, tada je njihova kompozicija g o f također linearno preslikavanje Rm → Rn, i predstavljeno je upravo matricom BA.
Općenito, linearno preslikavanje iz n-dimenzionog vektorskog prostora u m-dimenzioni vektorski prostor je predstavljeno m-sa-n matricom, ako su izabrane baze za svaki.
Rang matrice A je dimenzija slike linearnog preslikavanja predstavljenog sa A; ona je ista kao dimenzija prostora generiranog retcima A, i također je iste dimenzije kao prostor generiran stupcima A.
Transponirana matrica, matrice m-sa-n, A je n-sa-m matrica Atr (nekad se zapisuje i kao AT ili tA), koja nastaje pretvaranjem stupaca u retke i redaka u stupce, to jest Atr[i, j] = A[j, i] za svaki i i j. Ako A predstavlja linearno preslikavanje u odnosu na dvije baze, tada matrica Atr predstavlja linearno preslikavanje u odnosu na dualne baze (vidi dualni prostor).
U matematici, matrica je pravokutna tablica brojeva, ili općenito, tablica koja se sastoji od apstraktnih objekata koji se mogu zbrajati i množiti.
Matrice se koriste za opisivanje linearnih jednadžbi, za praćenje koeficijenata linearnih transformacija, kao i za čuvanje podataka koji ovise od dva parametra. Matrice se mogu zbrajati, množiti i razlagati na razne načine, što ih čini ključnim konceptom u linearnoj algebri i teoriji matrica.
Organizacija matrice
Definicije i notacije
Horizontalne se linije u matrici zovu retcima, a vertikalne stupcima matrice. Matrica sa m redaka i n stupaca se naziva m-sa-n matricom (kaže se i zapisuje da je formatam×n) a m i n su dimenzije matrice.
Član matrice A koji se nalazi u i-tom retku i j-tom stupcu se naziva (i,j)-ti član matrice A. Ovo se zapisuje kao ai,j ili A[i,j]. Uvijek se prvo naznačuje redak, pa stupac.
Često se piše kako bi se definirala m × n matrica A čiji su članovi ai,j za sve 1 ≤ i ≤ m i 1 ≤ j ≤ n. Međutim, konvencija da i i j počinju od 1 nije univerzalna: neki programski jezici započinju od nule, u kom slučaju imamo 0 ≤ i ≤ m − 1 i 0 ≤ j ≤ n − 1.
Matricu čija je jedna od dimenzija jednaka jedinici često nazivamo vektorom, i interpretiramo je kao element realnog koordinatnog prostora. 1 × n matrica (jedan redak i n stupaca) se naziva vektor redak, a m × 1 matrica (jedan stupac i m redaka) se naziva vektor stupac.
Primjer
Matrica
je 4×3 matrica. Element A[2,3] ili a2,3 je 7.
Matrica
je 1×9 matrica, ili vektor redak sa 9 elemenata.
Zbrajanje i množenje matrica
Zbrajanje
Zbrajanje matrica je definirano samo za matrice istih dimenzija. Ako su dane matrice A i B, dimenzija m-sa-n, njihov zbrojA + B je m-sa-n matrica, izračunata zbrajanjem odgovarajućih elemenata (t.j. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Na primjer:
Množenje skalarom
Ako uzmemo matricu A i broj c, skalarni produktcA se računa množenjem skalarom c svakog elementa A (t.j. (cA)[i, j] = cA[i, j] ). Na primjer:
Operacije zbrajanja i množenja skalarom pretvaraju skup M(m, n, R) svih m-sa-n matrica sa realnim elementima u realni vektorski prostor dimenzije mn.
Množenje matrica
Množenje dvije matrice je dobro definirano samo ako je broj stupaca lijeve matrice jednak broju redaka desne matrice. Za takve dvije matrice se kaže da su ulančanih dimenzija. Ako je A matrica dimenzija m-sa-n, a B je matrica dimenzija n-sa-p, tada je njihov umnožakAB matrica dimenzija m-sa-p (m redaka, p stupaca) dan formulom:
za svaki par i i j.
Na primjer:
Množenje matrica ima sljedeća svojstva:
(AB)C = A(BC) za sve k-sa-m matrice A, m-sa-n matrice B i n-sa-p matrice C (asocijativnost).
(A + B)C = AC + BC za sve m-sa-n matrice A i B i n-sa-k matrice C (desna distributivnost).
C(A + B) = CA + CB za sve m-sa-n matrice A i B i k-sa-m matrice C (lijeva distributivnost).
Valja znati da komutativnost ne vrijedi u općem slučaju; ako su dane matrice A i B, čak i ako su oba umnoška definirana, u općem slučaju je AB ≠ BA.
Posebno, skup M(n, R) svih kvadratnih matrica reda n je realna asocijativna algebra sa jedinicom, koja je nekomutativna za n ≥ 2.
Matrice mogu na zgodan način predstaviti linearne transformacije jer množenje matrica odgovara slaganju preslikavanja, kao što će dalje biti opisano. Upravo ovo svojstvo matrice čini moćnom strukturom podataka u višim programskim jezicima.
Ovdje i u nastavku, promatramo Rn kao skup stupaca ili n-sa-1 matrica. Za svako linearno preslikavanje f : Rn → Rm postoji jedinstvena m-sa-n matrica A, takva da f(x) = Ax za svako x u Rn. Kažemo da matrica Apredstavlja linearno preslikavanje f. Ako k-sa-m matrica B predstavlja drugo linearno preslikavanje g : Rm → Rk, tada je njihova kompozicija g o f također linearno preslikavanje Rm → Rn, i predstavljeno je upravo matricom BA.
Općenito, linearno preslikavanje iz n-dimenzionog vektorskog prostora u m-dimenzioni vektorski prostor je predstavljeno m-sa-n matricom, ako su izabrane baze za svaki.
Rang matrice A je dimenzija slike linearnog preslikavanja predstavljenog sa A; ona je ista kao dimenzija prostora generiranog retcima A, i također je iste dimenzije kao prostor generiran stupcima A.
Transponirana matrica, matrice m-sa-n, A je n-sa-m matrica Atr (nekad se zapisuje i kao AT ili tA), koja nastaje pretvaranjem stupaca u retke i redaka u stupce, to jest Atr[i, j] = A[j, i] za svaki i i j. Ako A predstavlja linearno preslikavanje u odnosu na dvije baze, tada matrica Atr predstavlja linearno preslikavanje u odnosu na dualne baze (vidi dualni prostor).
![{\displaystyle \,\!(AB)[i,j]=A[i,1]B[1,j]+A[i,2]B[2,j]+...+A[i,n]B[n,j]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25bb62c920ab50e23d2616eb39bcbe3ab341e92c)
