Category Archives: Učenje matematike

Šta su to slobodni, vezani i klizni vektori?

Slobodni, vezani i klizni vektori su tri vrste vektora koje se razlikuju po tome kako se mogu pomaknuti u prostoru bez da promijene svoju veličinu i smjer.

Slobodni vektori su oni koji se mogu pomaknuti bilo gdje u prostoru, a da ne promijene svoju veličinu i smjer. To znači da su svi slobodni vektori jednaki ako imaju isti iznos i smjer, bez obzira na njihov položaj. Primjeri slobodnih vektora su brzina, sila, ubrzanje, itd.

Vezani vektori su oni koji moraju imati istu početnu točku, koja se zove hvatište. To znači da se vezani vektori ne mogu pomaknuti u prostoru, a da ne promijene svoj učinak. Primjeri vezanih vektora su sila koja djeluje na deformabilno tijelo, moment sile, itd.

Klizni vektori su oni koji se mogu pomaknuti samo duž pravca na kojem leže, a da ne promijene svoju veličinu i smjer. To znači da su klizni vektori jednaki ako imaju isti iznos i smjer, i ako leže na istom ili paralelnom pravcu. Primjeri kliznih vektora su električni i magnetski tok, itd.

Za više informacija o vektorima, možete pogledati sljedeće izvore:

Quelle: Unterhaltung mit Bing, 9.11.2023
(1) Vektor – Wikipedija. https://hr.wikipedia.org/wiki/Vektor.
(2) AB = a A B – halapa. https://www.halapa.com/odmor/pravipdf/vektori.pdf.
(3) VEKTORI – imft.ftn.uns.ac.rs. http://imft.ftn.uns.ac.rs/math/uploads/Courses/3_vektori.pdf.
(4) en.wikipedia.org. https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_vector.

Zašto je mnogim đacima matematika bauk?

“Apsolutno je da je do obrazovnog sistema i općeg odnosa prema matematici i kvantitativnim stvarima. Matematika se mora staviti u kontekst – objasniti koja je njena svrha u životu. Kada se to uvede u kurikulum, onda su stvari puno lakše.

Ovdje se još uvijek funkcioniše po starom sistemu kojem je glavna stvar memorizacija i ponavljanje stvari, bez razumijevanja. Dijete dobije zadaću s 50 zadataka, bez ikakvog konteksta. Naravno da će to biti bauk.

S druge strane, ne može se bez matematike. Sve je manje moguće biti kvantitativno nepismen, jer živimo u vremenu tehnologije i podataka. Ako se kontekst uvede u učionice i objasni da ono što se uči zaista ima neku primjenu, stvari bi bile puno bolje. Pedagogija se generalno treba promijeniti, što bi utjecalo na matematiku.

U svijetu se djeca više ne uče tako da ona sjede u klupama, da im se nešto predaje, da šute, da “naštrebaju”, ponove to što su naučila i da se to ocjeni. Pedagogija se razvija u smjeru saradnje s djecom, saradnje između djece, interakcije između djece i predavača. Djeca se navode i sama otkrivaju. Ako se tako nešto uradi, učinak je puno veći.

Informacija se mnogo bolje pamti kada se stavi u kontekst. Potrebno je uvesti projekte koji nisu samo misaoni. Djeci se treba omogućiti da nešto rade kako bi shvatili koristi matematike. To se ne odnosi samo na matematiku, već na većinu onoga što se izučava u školi.

Pedagogija mora biti okrenuta prema djetetu, a ne da bude kakva je bila dok sam se ja školovao, kada nije bila za dijete. Nije imala dijete u vidu, nije razumjela kako dijete uči, nego su neke čike napisale kako treba da se uči, bez da se razumjelo kako funkcioniše dječiji mozak.”, Ismar Volić

Izvor: https://www.klix.ba/scitech/nauka/profesor-ismar-volic-naravno-da-ce-matematika-biti-bauk-ako-se-ne-objasni-njena-prakticna-primjena/230908078

Djeci moramo dati funkcionalno znanje? Sve ostalo radit će roboti?

“Učenje lekcija, pjesmica, unaprijed zadanih odgovora napamet je reproduktivno znanje od kojeg nema koristi. To je stav koji su podijelili učesnici predavanja na Filozofskom fakultetu u Tuzli među kojima su bili učitelji, nastavnici, profesori i roditelji. Nasuprot reproduktivnom, zalažu se za funkcionalno znanje koje može imati primjenu u stvarnom životu. Da doznaju više o metodologiji ovakve vrste učenja u nastavi pozvali su stručnjaka, doktora Ranka Rajovića.




Učitelji postepeno shvataju da nešto ne štima u ustaljenom sistemu učenja i žele mijenati način na koji njihovi učenici u okviru obrazovnog sistema stiču znanje.

– U našim školama je evidentno da još njegujemo to ponavljanje činjenica bez posebne primjene i svrhe i upućivanja koja bi to primjena tog znanja bila. Tako da to zaista jeste problem, naročito na časovima koje i ja posjećujem i imam priliku da vidim da čujem, zaista se toga mnogo javlja bez konkretnog cilja da razvijamo ličnost koja će se moći snaći kad počnu da nešto rade. To su uglavnom činjenice koje smo i mi učili kad smo bili mali. Ostaje zanemarena kategorija funkcije, a to je kako ćemo koristiti to što znamo – zašto nam treba to što znamo, kaže za RTVTK Selma Teparić, predsjednica Društva pedagoga i psihologa TK.

Da bi znanje bilo funkcionalno ono mora biti potaknuto razmišljanjem, još od najranijeg doba, kaže profesor Ranko Rajović, autor NTC sistema učenja, nazvanog tako prema programu Centra Nikola Tesla čiji je on osnivač. O tome je govorio na predavanju roditeljima i prosvjetnim radnicima koji su se oko ove teme okupili na Filozofskom fakultetu Univerziteta u Tuzli.

– Nama je izuzetna čast i zadovoljstvo na ovaj način otvoriti Filozofski fakultet zajednici. U osnovi mi zajednici i trebamo služiti. Ovo je jedno od nastojanja Filozofskog fakulteta posebno u posljednje dvije godine, da prepoznamo društvene probleme i veliko nam je zadovoljstvo ugostiti dr. Rajovića, roditelje i brojne kolege jer se na taj način vidi zdrav interes društva za one koji jesu najveće bogatstvo našeg društva, a to su djeca. NTC program pokušava razviti sve potencijala djece, u svim područjima razvoja na naročiti u kongitivnim, a pojačan interes svih naših saradnika, među njima i naših bivših studenata  govori o tome koleko mi lutamo u radu sa djecom. Roditeljima treba pomoć. Odgajateljima, nastavnicima treba pomoć, pa onda i svaki vid edukacije koji se bavi pospješivanjem razvoja djece je itekako značajan, pojašnjava dr. sc. Ljubica Tomić Selimović, profesorica Filozofskog fakulteta Univerziteta u Tuzli.

Funkcionalno znanje je važno za budućnost kaže ovaj ljekar i profesor čiji se koncept učenja izučava u 17 zemalja svijeta. U Sloveniji su se prije drugih zemalja okruženja, među kojima su Srbija, Hrvatska, Crna Gora, Makedonija i Bosna i Hercegovina odlučili uvesti medicinu u ustanove da poboljšaju efekte predškolskog odgoja. Profesor Rajović tamo vodi univerzitetsku katedru za neuronauku. Kaže da se i druge zemlje postepeno počinju zanimati za promjenu načina primjene naučenog u praksi kad su u pitanju školska djeca. Vrijeme učenja napamet i pukog ponavljanja lekcija zapisanih u udžbenicima mora proći, kaže on.

– Samo je pitanje kada ćemo shvatiti da mozak tako ne radi, da reproduktivno učenje za mozak ne postoji. Evo jedan primjer – od 10 najtraženijih zanimanja u svijetu, ako gledamo danas, 9 nije postojalo prije 10 godina. To znači da mi spremamo djecu za zanimanja koja još ne postoje i to je osnovno pitanje. Čekajte šta je funkcija škole – da ih učimo da misle ili da znaju napamet? Naravno da ih učimo da misle. A onda drugo pitanje – kad dijete počinje da misli u školi ili prije škole? Naravno prije škole. Mi moramo da krenemo još od vrtića, roditelji kod kuće, da povezuju, da s djecom misle. Jedno tipično pitanje za djecu kad moraju da misle je: Preko koje životinje pređe najveći broj pješaka? Oni se malo zamisle, zbune, pa kažu zebra. A šta je klasično pitanje reproduktivno – kako se zovu crno bijele životinje koje žive u Africi, liče na konja – dijete onda odgovori zebra. Tu razmišljanja nema. A šta je cilj – da ih učimo da misle. Zato mi moramo da koncipiramo pitanja tako da misle, kaže dr. sc. Ranko Rajović, autor NTC sistema učenja.




Ne moramo čekati da nam razvijene zemlje koje se mogu pohvaliti svojim obrazovanjem poput Finske i Engleske nametnu nove metode za učenje. Generacije koje su sada u vrtićima i školama trebaju novu metodologiju i zato je potrebna dodatna edukacija nastavnika, slažu se i u Međunarodnoj organizaciji Interektivne otvorene škole koja je bila posrednik u prganizaciji ovog predavanja na Filozofskom fakultetu Univerziteta u Tuzli.

– Mi u međunarodnom udruženju MIOS podržavamo  škole koje kod djece razvijaju funkcionalno znanje, a kad govorimo o funkcionalnom znanju, a to je znanje koje konkretno mogu primijeniti u dobu dok su djeca, a naravno taj transfer treba da bude na tržištu rada. U traganju da imamo konkretne vještine došli smo NTC sistema obrazovanja i profesora Rajovića. Tokom našeg rada sa školama konstantno čujemo rečenice da djeca nemaju znanje, da ne mogu da koriste neko osnovno znanje kako bi poboljšali kvalitet života. Nedavno je izašlo istraživanje s rezultatom da naša djeca tek imaju 60 odsto mogućnosti da ostvare svoj obrazovni potencijal, što govori u prilog da se nešto u obrazovanju treba mijenjati i mi vidimo rješenje u tim metodama kako. Toplo smo podržali ovu inicijativu da ovaj sistem predstavimo roditeljima, a onda i prosvjetnim radnicima i djelatnicima ministarstva obrazovanja, kaže za RTVTK Edina Malkić, direktorica MIOS-a.

Roditelji, pedagozii i prosvjetni radnici iz TK, iz RS-a i drugih kantona Federacije koji su se organizirali da učestvuju na ovom predavanju svjesni su kažu da nedostatak funkcionalnog učenja, dovodi do činjenice da se velikom broj učenika još u početnim razredima osnovne škole dijagnosticraju razvojne smetnje. Više od polovine učenika, što je alarmantno, kažu oni  ne mogu mirno da sjede, da pišu, nemaju koncentraciju. Dijagnosticira im se disleksija, disgrafija i drugi poremaćaji, svjedoče nastavnici. Djecu još od najranijeg doba treba usmjeravati da ono što nauče znaju i koristiti. Tako se razvija funkcionalno znanje na osnovu kojeg će kasnije graditi svoja interesovanja i zanimanja za koja se obrazuju.

– Amerikanci su radili istraživanja o tome da nestaju zanimanja gdje nema šta da se misli. Ta zanimanja će mijenjati roboti. Mi moramo spremati djecu za budućnost da uče da misle. A s druge strane to što su radili Amerikanci – zanimanja gdje mora da se misli su u porastu. Za 20, za 30 godina roboti preuzimaju ta zanimanja. Mi sa robotima ne možemo da se borimo. Oni će tu pobijediti. Šta mi moramo. Da spemamo djecu tamo gdje roboti ne mogu. Da povezuju da stvaraju nešto novo. To su vrijednosti koje će sutra odvojiti našu djecu od robota. To je za budućnost. Ako to ne uradimo padamo na ispitu, kaže profesor Rajović.

Nastavnici će se truditi da u školskom sistemu ponude djeci takvu vrstu učenja na osnovu kojeg će oni moći povezivati znanje. To je proces, koji se stalno može unapređivati, ali od velikog je značaja i priprema djece za školu što je zadatak za roditelje. Stručnjaci roditeljima preporučuju: Neka dijete bude spretno i okretno, pričajte mu priče, čitajte knjige, provodite puno vremena u prirodi. Neka hodaju bosi kad god to mogu, neka nauče neke vještine, na primjer da sade cvijeće, da ušiju dugme na košulji, da pecaju, da znaju da zakrpe gumu na biciklu i stalno i u svakoj situaciji postavljajte im pitanja za razmišljanje, na koja nasuprot njima roboti nikad neće moći da odgovore.




, novinar Azra Mešić

Tekst je u cjelosti preuzet sa: https://rtvtk.ba/djeci-moramo-dati-funkcionalno-znanje-sve-ostalo-radit-ce-roboti/

Mislite li da ste loši u matematici? Možda patite od “Matematičke traume”.

Matematički sindrom se manifestuje kao uznemirenost ili strah, izuzetan strah od greške. Ovaj strah ograničava pristup životnim stazama mnogih ljudi, uključujući i školu i karijeru.

Dok matematički sindrom ima višestruke izvore, neki roditelji i nastavnici imaju moć da utiču direktno: zastarjele ideje o tome šta znači biti dobar u matematici. To uključuje brzinu i tačnost, koja je bila važna u decenijama kada su ljudi bili stvarni računari.

Ali istraživanje je potvrdilo ono što mnogi ljudi zapažaju: Brzina povezivanja sa računanjem oslabljuje učenike. Ljudi koji se bore da završe vremenski test matematičkih činjenica često doživljavaju strah, što isključuje njihovu radnu memoriju. To čini nemogućim razmišljati i potkrepljuje ideju da osoba jednostavno ne može da radi matematiku – da nije matematička osoba.

Štaviše, studenti koji uspjevaju da polože test matematičkih činjenica mogu vjerovati da je biti dobar u matematici biti brz i precizan pri izračunavanju. Ovo uvjerenje može dovesti do krhkog matematičkog identiteta. Studenti se plaše otkrivanja da ne znaju nešto ili nisu tako brzi, pa se mogu udaljiti od izazova koji su još izazovniji.



Mit da je biti brz u prisjećanju na osnovne činjenice o matematici dobro za učenje ima duboke i pogubne korijene. Dolazi iz najboljih namjera – ko ne bi želio da mu djeca budu dobra u izračunavanju? Međutim, istraživanje pokazuje da je činjenično stanje – sposobnost da se lako podseti na činjenice, kao što je 3 x 5 = 15 – najbolje razvijeno od prvog osmišljavanja aritmetičkih operacija. Drugim rečima, prvi korak u izgradnji matematičke memorije je razumjevanje načina na koji ta matematika radi.

Preskakanje koraka razumjevanja stvara krhko razumjevanje i kognitivno skupo pamćenje. Kada neko zapamti, svaka nova činjenica je kao ostrvo za sebe, i lakše je zaboravljena. Nasuprot tome, razumjevanje uzoraka u činjenicama matematike komprimuje kognitivno opterećenje koje je neophodno za shvatanje srodnih činjenica. Senzualnost promoviše duboko, robusno i fleksibilno razumjevanje, omogućavajući ljudima da primjenjuju ono što znaju na nove probleme.



Pa šta možete uraditi?

Prvo, pronađite čudo i radost. Igre i zagonetke koje ljudi igraju sa brojevima, kao što su Sudoku, KenKen ili određene igre s kartama, stvaraju intelektualnu potrebu da koriste činjenice o matematici koje pomažu djeci da razumiju činjenicu. Tražeći od djecu da objasne svoje razmišljanje – koristeći riječi, slike ili predmete – potvrđuje važnost njihovih ideja.

Formulišite greške u kao istraživanja. Nemati tačan odgovor ne znači da su sva razmišljanja netačna. Pokušavajući objasniti razmišljanje, pomaže i u razumijevanju onoga što sada znate i šta ćete sljedeće naučiti. Pitanja o tome kako dobijate odgovor može vas navesti na to da razmiskite o tome šta ne funkcioniše i i da uradite reviziju. Kada postavljate ova pitanja, dobro je imati poker lice; ako emitujete da je odgovor pogrešan ili ispravan, može vam stvoriti uverenje da se samo tačan odgovor broji.

Ako prepoznajete da ste preživjeli traumu matematike znajte da niste sami, i postoje načini da se popravite. Počinje s razumjevanjem da je matematika široka i lijepa – većina nas je mnogo matematičnija nego što mislimo.

Izvor: THE CONVERSATION