Category Archives: Matematičke metode fizike

Šta su to slobodni, vezani i klizni vektori?

Slobodni, vezani i klizni vektori su tri vrste vektora koje se razlikuju po tome kako se mogu pomaknuti u prostoru bez da promijene svoju veličinu i smjer.

Slobodni vektori su oni koji se mogu pomaknuti bilo gdje u prostoru, a da ne promijene svoju veličinu i smjer. To znači da su svi slobodni vektori jednaki ako imaju isti iznos i smjer, bez obzira na njihov položaj. Primjeri slobodnih vektora su brzina, sila, ubrzanje, itd.

Vezani vektori su oni koji moraju imati istu početnu točku, koja se zove hvatište. To znači da se vezani vektori ne mogu pomaknuti u prostoru, a da ne promijene svoj učinak. Primjeri vezanih vektora su sila koja djeluje na deformabilno tijelo, moment sile, itd.

Klizni vektori su oni koji se mogu pomaknuti samo duž pravca na kojem leže, a da ne promijene svoju veličinu i smjer. To znači da su klizni vektori jednaki ako imaju isti iznos i smjer, i ako leže na istom ili paralelnom pravcu. Primjeri kliznih vektora su električni i magnetski tok, itd.

Za više informacija o vektorima, možete pogledati sljedeće izvore:

Quelle: Unterhaltung mit Bing, 9.11.2023
(1) Vektor – Wikipedija. https://hr.wikipedia.org/wiki/Vektor.
(2) AB = a A B – halapa. https://www.halapa.com/odmor/pravipdf/vektori.pdf.
(3) VEKTORI – imft.ftn.uns.ac.rs. http://imft.ftn.uns.ac.rs/math/uploads/Courses/3_vektori.pdf.
(4) en.wikipedia.org. https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_vector.

Za šta u fizici koristimo integrale?

Integrali se koriste u fizici za izračunavanje širokog spektra veličina, uključujući:

Masa: Masa objekta se može izračunati integracijom njegove funkcije gustine preko zapremine objekta.

Rad: Rad koji vrši sila na udaljenosti može se izračunati integracijom funkcije sile na udaljenosti.

Energija: Energija sistema se može izračunati integracijom snage tokom vremena.

Moment: Moment čestice može se izračunati integracijom funkcije brzine preko putanje čestice.

Električni naboj: Električni naboj regije može se izračunati integracijom električnog polja preko regije.

Fluks: Tok vektorskog polja kroz površinu može se izračunati integracijom tačkastog proizvoda vektorskog polja i elementa površine preko površine.

Volumen: Zapremina čvrstog tijela može se izračunati integracijom elementa površine preko granice tijela.

Integrali se također koriste u fizici za rješavanje diferencijalnih jednadžbi, koje su jednadžbe koje povezuju izvode funkcije sa samom funkcijom. Integracijom obje strane diferencijalne jednadžbe često možemo dobiti izraz za samu funkciju.

Integrali su moćan alat za rješavanje problema iz fizike. Oni nam omogućavaju da izračunamo količine koje bi bilo teško ili nemoguće izračunati drugim metodama.

Evo nekoliko konkretnih primjera kako se integrali koriste u fizici:

U mehanici se integrali koriste za izračunavanje rada sile, kinetičke energije objekta koji se kreće i potencijalne energije objekta u gravitacionom polju.

U elektromagnetizmu se integrali koriste za izračunavanje električnog polja, magnetnog polja i fluksa električnog ili magnetskog polja kroz površinu.

U termodinamici se integrali koriste za izračunavanje toplotnog kapaciteta supstance, entropije sistema i rada gasa.

U kvantnoj mehanici, integrali se koriste za izračunavanje valne funkcije čestice, gustine vjerovatnoće pronalaženja čestice u određenom području i energetskih nivoa atoma.

Integrali su svestran alat koji se može koristiti za rješavanje širokog spektra problema u fizici. Oni su suštinski dio matematičkog alata svakog fizičara.

Izvor: Google bard

Šta je to Grahamov broj?

Grahamov broj je strahovito velik konačni broj koji je dokazano gornja granica rješenja određenog problema u Ramseyjevoj teoriji. Ime je dobio po matematičaru Ronaldu Grahamu koji je taj broj koristio kao pojednostavljeno objašnjenje gornjih granica problema na kojem je radio u razgovorima sa popularnim piscem nauke Martinom Gardnerom. Broj je objavljen u Guinnessovoj knjizi svjetskih rekorda iz 1980. godine, što je povećalo zanimanje za taj broj. Grahamov broj je mnogo veći od bilo kojeg drugog broja koji možete zamisliti. Toliko je velik da je svemir koji se može uočiti daleko premali da bi sadržavao običan digitalni prikaz Grahamovog broja, pretpostavljajući da svaka cifra zauzima jedan Planckov volumen koji je jednak oko

Čak su i kule moći u obliku

nedovoljne za ovu svrhu, iako se mogu opisati rekurzivnim formulama koristeći Knuthovu notaciju sa strelicom prema gore.



Iako je prevelika da bi se mogla u potpunosti izračunati, mnoge se posljednje znamenke Grahamovog broja mogu dobiti pomoću jednostavnih algoritama.

Posljednje cifre su:

38814483140652526168785095552646051071172000997092912495443788874960628829117250630013036229349160802545946149457887142783235082924210209182589675356043086993801689249889268099510169055919951195027887178308370183402364745488822221615732280101329745092734459450434330090109692802535275183328988446150894042482650181938515625357963996189939679054966380032223487239670184851864390591045756272624641953873881448314065252616878509555264605107117200099709291249544378887496062882911725063001303622934916080254594614945788714278323508292421020918258967535604308699380168924988926809951016905591995119502788717830837018340236474548882222161573228010132974509273445945043433009010969280253527518332898844615089404248265018193851562535796399618993967905496638003222348723967018485186439059104575627262464195387

Specifični cijeli brojevi za koje je poznato da su daleko veći od Grahamovog broja pojavili su se u mnogim ozbiljnim matematičkim dokazima, na primjer, u vezi s različitim konačnim oblicima Kruskalove teoreme Harveyja Friedmana.

Historija matematike od 70000 pne do danas

Retorička faza
Prije 1000. pne
ca. 70,000 pne – Južna Afrika, oker stijene ukrašene izgrebanim geometrijskim uzorcima (vidi Blombos Cave).
ca. 35,000 pne do 20,000 pne – Afrika i Francuska, najraniji poznati prahistorijski pokušaji da se kvantificira vrijeme.
c. 20,000 pne – Dolina Nila, Ishango Bone: moguće najranije spominjanje prostih brojeva i egipatskog umnožavanja.
c. 3400 pne – Mezopotamija, Sumerani su izmislili prvi brojni sistem i sistem težina i mjera.
c. 3100. pne. – Egipat, najraniji poznati decimalni sistem omogućava neograničeno brojanje uvođenjem novih simbola.
c. 2800. pne. – Civilizacija doline Inda na indijskom potkontinentu, najranija upotreba decimalnih omjera u jedinstvenom sistemu drevnih težina i mjera, najmanja korištena jedinica mjerenja je 1.704 milimetara, a najmanja jedinica mase je 28 grama.
– Egipat, precizna izmjera.
2400. pne – Egipat, precizan astronomski kalendar, korišten i u srednjem vijeku za matematičku pravilnost.
c. 2000 pne – Mezopotamija, Babilonci koriste bazni pozicioni broj 60 i izračunavaju prvu poznatu približnu vrijednost π na 3.125.
c. 2000 pne – Škotska, izrezbarene kamene kugle pokazuju različite simetrije uključujući sve simetrije platonskih krutina.
1800. pne – Egipat, Moskva Matematički Papirus, nalazi volumena frustruma.
c. 1800 BC – Berlin Papyrus 6619 (Egipat, 19. dinastija) sadrži kvadratnu jednadžbu i njeno rješenje.
1650 BC – Rhind Mathematical Papyrus, kopija izgubljenog svitka od oko 1850 BC, pisar Ahmes predstavlja jednu od prvih poznatih približnih vrijednosti π u 3.16, prvi pokušaj kvadriranja kruga, najranije poznate upotrebe neke vrste kotangensa, i poznavanje rješavanja linearnih jednačina prvog reda.

Sulinoptička faza
1. milenijum prije nove ere
c. 1000. pne – Jednostavne frakcije koje su koristili Egipćani. Međutim, koriste se samo jedinice frakcije (tj. One sa brojem 1) i tabele interpolacije se koriste za aproksimaciju vrijednosti ostalih frakcija.
Prva polovina 1. milenijuma pre nove ere – Vedska Indija – Yajnavalkya, u svom Shatapatha Brahmani, opisuje kretanje Sunca i Mjeseca i napreduje u ciklusu od 95 godina za sinhronizaciju kretanja Sunca i Mjeseca.
800 BC – Baudhayana, autor Baudhayana Sulba Sutre, vedski sanskritski geometrijski tekst, sadrži kvadratne jednadžbe i izračunava kvadratni korijen od dva ispravno do pet decimalnih mjesta.
c. 8. vijek pne – Yajur Veda, jedna od četiri hinduističke Vede, sadrži najstariji koncept beskonačnosti, i kaže “ako uklonite dio iz beskonačnosti ili dodate dio beskonačnosti, još uvijek ostaje beskonačnost.”
1046. pne. Do 256. pne – Kina, Zhoubi Suanjing, aritmetika, geometrijski algoritmi i dokazi.
624. pne – 546. pne. – Tales iz Mileta ima različite teoreme koje mu se pripisuju.
c. 600. pne – druge vedske “Sulba sutre” (“vladavina akorda” na sanskritu) koriste pitagorejske trojke, sadrže brojne geometrijske dokaze i približne su π u 3.16.
Druga polovina 1. milenijuma pne – Trg Lo Shu, jedinstveni uobičajeni magični kvadrat tri reda, otkriven je u Kini.
530. pne – Pitagora proučava propozicionalnu geometriju i vibrirajuće strune lire; njegova grupa takođe otkriva iracionalnost kvadratnog korijena od dva.
c. 510. pne – Anaksagora
c. 500. pne – Indijski gramatičar Pānini piše Astadjaji, koji sadrži upotrebu metarula, transformacija i rekurzija, izvorno u svrhu sistematizacije sanskritske gramatike.
c. 500. pne. Oenopid od Hiosa
470. pne – 410. pne – Hipokrat iz Hiosa koristi lune u pokušaju da zaustavi krug.
490. pne – 430. pne Zenon paradoksa Elea Zeno
5. stoljeće prije Krista – Apastamba, autor apastamba Sulba Sutre, još jedan vedski sanskritski geometrijski tekst, pokušava pokušati kvadrirati krug i također izračunati kvadratni korijen od 2 ispravna do pet decimalnih mjesta

  1. c. Theodorus of Cyrene
  2. vek Antifona Sofista
  3. pne – 370. pne Demokrit
  4. pne – 399. pne. Hipijas
  5. vek (kasni) Brison iz Herakle
  6. pne. – 347. pne. Arhita
    423 pne – 347. pne Platon
  7. pne. – 317. pne. Theaetetus (matematičar)
    c. 400 pne – Jaina matematičari u Indiji pišu Surya Prajinapti, matematički tekst koji sve brojeve klasificira u tri skupine: enumerabilni, bezbrojni i beskonačni. Takođe prepoznaje pet različitih tipova beskonačnosti: beskonačan u jednom i dva pravca, beskonačan u prostoru, beskonačan svuda i beskonačan neprestano.
  8. pne. – 355. pne. Eudoks iz Knida
    400 pne – 350. pne Thymaridas
  9. pne. – 313. pne. Xenocrates
  10. pne – 320. pne Dinostratus
    380- 290 Autolycus of Pitane
    370 BC – Eudoxus navodi metodu iscrpljivanja za određivanje područja.
  11. pne – 300. pne. Aristej Stariji
  12. pne – 300 pne Callippus
  13. pne – Aristotel raspravlja o logičkom rezonovanju u Organonu.
  14. vek pne – Indijski tekstovi koriste sanskritsku riječ “Shunya” da označe pojam “praznina” (nula).
  15. pne – sastavljen je najraniji poznati rad na kineskoj geometriji, Mo Jing.
  16. pne – 230. pne. Aristarh Samosa
  17. pne – 310. pne Heraklidi Pontski
  18. pne – 320. pne. Menaechmus
    300 pne – Džainski matematičari u Indiji pišu Bhagabati Sutru, koja sadrži najranije informacije o kombinacijama.
    300 BC – Euklid u svojim Elementima proučava geometriju kao aksiomatski sistem, dokazuje beskonačnost prostih brojeva i predstavlja Euklidov algoritam; on navodi zakon refleksije u Catoptrici i dokazuje osnovnu teoremu aritmetike.

c. 300 BC – Brahmi brojevi (predak zajedničkog modernog baznog sistema sa 10 brojeva) su zamišljeni u Indiji.
370. pne – 300. pne – Eudem iz Rodosa radi na povijesti izgubljene aritmetike, geometrije i astronomije.
300 pne – Mezopotamija, Vavilonci su izmislili najstariji kalkulator, abakus.
c. 300. pne – Indijski matematičar Pingala piše Chhandah-shastru, koja sadrži prvu indijsku upotrebu nule kao znamenku (označenu točkom) i također predstavlja opis binarnog brojčanog sistema, uz prvo korištenje Fibonaccijevih brojeva i Pascalovih brojeva. trokut.
280 pne – 210. pne Nicomedes (matematičar)
280. pne. – 220. g
280. pne – 220. pne. Conon of Samos
279. pne – 206. pne. Hrizip
c. 3. stoljeće prije Krista – Kātyāyana
250. pne – 190. pne. Dionisodor
262 -198. Pne Apolonije iz Perge
260. pne – Arhimed je dokazao da vrijednost π leži između 3 + 1/7 (približno 3,1429) i 3 + 10/71 (približno 3,1408), da je površina kruga bila jednaka π pomnožena s kvadratom radijus kruga i da je područje okruženo parabolom i pravcem 4/3 pomnoženo sa površinom trokuta s jednakom osnovom i visinom. Također je dao vrlo preciznu procjenu vrijednosti kvadratnog korijena od 3.
c. 250 pne – kasni Olmeci su već počeli da koriste pravu nulu (glif školjke) nekoliko vijekova prije Ptolomeja u Novom svijetu. Vidi 0 (broj).
240. pne – Eratosten koristi svoj sito algoritam za brzo izolovanje prostih brojeva.
240. pne 190. pne Diokle (matematičar)
225. pne – Apolonije od Perge piše O konusnim sekcijama i naziva elipsu, parabolu i hiperbolu.
202. pne. Do 186. pne. – Knjiga o brojevima i računanju, matematička rasprava, napisana je u dinastiji Han Kine.
200 pne – 140 pne Zenodorus (matematičar)
150. pne – matematičari Jaina u Indiji pišu Sthanangu Sutru, koja sadrži rad o teoriji brojeva, aritmetičkim operacijama, geometriji, operacijama s frakcijama, jednostavnim jednadžbama, kubnim jednadžbama, kvadratnim jednadžbama i permutacijama i kombinacijama.

c. 150. pne – Persej (geometar)
150 BC – Metoda Gaussove eliminacije pojavljuje se u kineskom tekstu Devet poglavlja o matematičkoj umjetnosti.
150. pne – Hornerov metod se pojavljuje u kineskom tekstu Devet poglavlja o matematičkoj umjetnosti.
150. pne – Negativni brojevi se pojavljuju u kineskom tekstu Devet poglavlja o matematičkoj umetnosti.
150. pne – 75. pne Zeno iz Sidona
190. pne – 120. pne – Hiparh razvija osnove trigonometrije.
190. pne – 120. pne
160. pne – 100. pne. Teodosije iz Bitinije
135. pne – 51. pne Posidonije
206 BC do 8 AD – Brojevi štapova su izumljeni u Kini.
78. pne – 37. pne Jing Fang
50. pne – Indijski brojevi, potomak brojeva brahmija (prvi pozicioni sistem baznih oznaka-10), počinje razvoj u Indiji.
sredinom 1. vijeka Cleomedes (tek 400. godine poslije Krista)
posljednji vijek prije nove ere – indijski astronom Lagadha piše Vedanga jotišu, vedski tekst o astronomiji koji opisuje pravila za praćenje kretanja Sunca i Meseca i koristi geometriju i trigonometriju za astronomiju.
Geminus
50 BC – 23 AD Liu Xin

  1. milenij
  2. vek – čaplja Aleksandrije, (Hero) najranija skorašnja referenca na kvadratne korijene negativnih brojeva.
    c 100 Theon of Smyrna
    60 – 120 Nicomachus
    70 – 140 Menelaus Aleksandrijski Sferna trigonometrija
    78 – 139 Zhang Heng
    c. 2. vek – Ptolomej Aleksandrijski je napisao Almagest.
    132 – 192 Cai Yong
    240 – 300 Spica Nicaea
    250 – Diophantus koristi simbole za nepoznate brojeve u smislu sinkopirane algebre i piše Arithmetica, jedan od najranijih rasprava o algebri.
    263 – Liu Hui izračunava π koristeći Liu Hui π algoritam.
    300 – najranije poznato korišćenje nule kao decimalne cifre uvodi indijski matematičar.
    234 – 305 Porfir (filozof)
    300 – 360 Serenus Antinouplis
    335 – 405 Theon of Alexandria
    c. 340 – Pappus iz Aleksandrije navodi svoju heksagonsku teoremu i njegovu teoremu centroida.
    350 – 415 Hypatia

400 – Bakhshali rukopis je napisao Jaina matematičar, koji opisuje teoriju beskonačnosti koja sadrži različite nivoe beskonačnosti, pokazuje razumijevanje indeksa, kao i logaritme na bazi 2, i izračunava kvadratne korijene brojeva jednakih milion točnih na najmanje 11 decimalnih mjesta.
300 do 500 – kinesku teorema o ostacima je razvio Sun Tzu.
300 do 500 – opis kamenca štapa je napisao Sun Tzu.
412 – 485 Proclus
420 – 480 Domninus Larissa
b 440 Marinus od Neapolisa “Volio bih da je sve matematika.”
450 – Zu Chongzhi izračunava π do sedam decimalnih mjesta. Ova kalkulacija ostaje najprecizniji proračun za π za blizu hiljadu godina.
c. 474 – 558 Anthemius of Tralles
500 – Aryabhata piše Aryabhata-Siddhanta, koja prvo uvodi trigonometrijske funkcije i metode izračunavanja njihovih približnih numeričkih vrijednosti. Definiše koncepte sinusa i kosinusa, a sadrži i najranije tabele sinusnih i kosinusnih vrijednosti (u intervalima od 3,75 stepeni od 0 do 90 stepeni).
480 – 540 Eutocije od Ascalona
490 – 560 Simplicius iz Cilicije
6. vek – Aryabhata daje precizne izračune za astronomske konstante, kao što su pomrčina Sunca i pomrčina Mjeseca, izračunava π na četiri decimalna mjesta, i dobiva rješenja cijelih brojeva za linearne jednadžbe metodom ekvivalentnom modernoj metodi.
505 – 587 Varāhamihira
6. vijek – Yativṛṣabha
535 – 566 Zhen Luan
550 – Hindu matematičari daju nultu brojčanu reprezentaciju u indijskom brojčanom sistemu.
7. vek – Bhaskara I daje racionalnu aproksimaciju sinusne funkcije.
7. vek – Brahmagupta izume metod rješavanja neodređenih jednačina drugog stepena i prvi koristi algebru za rješavanje astronomskih problema. On takođe razvija metode za proračune kretanja i mjesta različitih planeta, njihovo podizanje i postavljanje, konjunkcije i izračunavanje pomračenja Sunca i Mjeseca.
628 – Brahmagupta piše Brahma-sphuta-siddhantu, gdje je nula jasno objašnjena, i gdje je moderni indijski brojčani sistem mjesne vrijednosti potpuno razvijen. On takođe daje pravila za manipulaciju i negativnim i pozitivnim brojevima, metodama za izračunavanje kvadratnih korjena, metodama rješavanja linearnih i kvadratnih jednačina, i pravilima za summing seriju, Brahmaguptin identitet i Brahmaguptinu teoremu.

602 – 670 Li Chunfeng
8. vijek – Virasena daje eksplicitna pravila za Fibonačijevu sekvencu, daje derivaciju volumena frustuma koristeći beskonačnu proceduru, a bavi se i logaritmom na bazi 2 i zna njegove zakone.
8. vijek – Shridhara daje pravilo za pronalaženje obima sfere, kao i formule za rješavanje kvadratnih jednačina.
773 – Kanka donosi Brahmaguptin Brahma-sphuta-siddhanta u Bagdad kako bi objasnio indijski sistem aritmetičke astronomije i indijski brojčani sistem.
773 – Al-Fazari prevodi Brahma-sphuta-siddhantu na arapski na zahtjev kralja Khalifa Abbasida Al Mansoora.
9. vek – Govindsvamin otkriva Newton-Gaussovu formulu za interpolaciju i daje frakcijske dijelove Aryabhatinih tabularnih sinusa.
810 – Kuća mudrosti izgrađena je u Bagdadu za prijevod grčkih i sanskritskih matematičkih radova na arapski jezik.
820 – Al-Khwarizmi – perzijski matematičar, otac algebre, piše Al-Jabr, kasnije prevedeno kao Algebra, koji uvodi sistematske algebarske tehnike za rješavanje linearnih i kvadratnih jednadžbi. Prevodi njegove knjige o aritmetici će uvesti u hindu-arapski sistem decimalnih brojeva zapadnom svijetu u 12. vijeku. Termin algoritam je takođe nazvan po njemu.
820 – Al-Mahani je zamislio ideju smanjenja geometrijskih problema kao što je udvostručenje kocke problemima u algebri.
c. 850 – Al-Kindi pioniri kriptoanalizu i analizu frekvencije u svojoj knjizi o kriptografiji.
c. 850 – Mahavira piše Gaitasārasan̄grahu, inače poznatu kao Ganita Sara Samgraha koja daje sistematska pravila za izražavanje frakcije kao zbira jediničnih frakcija.
895 – Thabit ibn Qurra: jedini sačuvani fragment njegovog izvornog rada sadrži poglavlje o rješenju i svojstvima kubičnih jednadžbi. On je takođe generalizovao Pitagorin teorem i otkrio teoremu kojom se mogu naći parovi prijateljskih brojeva (tj. Dva broja takva da je svaki zbroj odgovarajućih djelitelja drugog).

900 – Abu Kamil iz Egipta je počeo da shvata šta bismo napisali u simbolima kao {prikazati stil x ^ {n}, cdot x ^ {m} = x ^ {m + n}}
940 – Abu’l-Wafa al-Buzjani izvlači korijene pomoću indijskog brojčanog sistema.
953 – Aritmetika hindu-arapskog brojčanog sistema je prvo zahtijevala upotrebu ploče za prašinu (svojevrsna ručna ploča), jer “metode su zahtijevale pomicanje brojeva u kalkulaciji i trljanje nešto dok je računanje nastavljeno.” Al-Uqlidisi je modifikovao ove metode za upotrebu olovke i papira. Na kraju, napredak omogućen decimalnim sistemom doveo je do njegove standardne upotrebe u regionu i svijetu.
953 – Al-Karaji je “prva osoba potpuno slobodne algebre iz geometrijskih operacija i da ih zamijeni sa aritmetickim tipom operacija koje su danas u srži algebre. On je prvi definisao monomial {displaystyle x}, { displaystyle x ^ {2}}, {displaystyle x ^ {3}}, … i {displaystyle 1 / x}, {displaystyle 1 / x ^ {2}}, { t {3}}, … i dati pravila za proizvode bilo koje dvije od ovih. On je pokrenuo školu algebre koja je procvjetala nekoliko stotina godina. On je takođe otkrio binomnu teoremu za integer eksponente, koja je “bila glavni faktor u razvoju numeričke analize zasnovane na decimalnom sistemu”.
975 – Al-Batani je proširio indijske koncepte sinusa i kosinusa na druge trigonometrijske odnose, kao što su tangenta, sekant i njihove inverzne funkcije. Izvedene formule: {displaystyle sin alpha = alfa / {sqrt {1+ ^ {2} alfa}}} i {displaystyle cos alfa = 1 / {sqrt {1 ^ {2} alfa}}}.

Simbolička faza
1000–1500
c. 1000 – Abū Sahl al-Qūhī (Kuhi) rješava jednadžbe veće od drugog stupnja.
c. 1000 – Abu-Mahmud al-Khujandi prvo navodi poseban slučaj Fermatove zadnje teoreme.
c. 1000 – Zakoni sinusa otkriveni su od strane muslimanskih matematičara, ali je neizvjesno tko je prvi između Abu-Mahmud al-Khujandija, Abu Nasr Mansura i Abu al-Wafa.
c. 1000 – Papa Silvester II uvodi abakus koristeći hindu-arapski broj u Evropi.
1000 – Al-Karaji piše knjigu koja sadrži prve poznate dokaze matematičkom indukcijom. On ga je koristio za dokazivanje binomne teoreme, Paskalovog trokuta i zbira integralnih kocki. On je bio “prvi koji je uveo teoriju algebarskog računa”.
c. 1000 – Ibn Tahir al-Baghdadi je proučavao malu varijantu Thabit ibn Qurreine teoreme o prijateljskim brojevima, a on je takođe poboljšao decimalni sistem.
1020 – Abul Wáfa je dao formulu: sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α. Takođe je diskutovano o kvadraturi parabole i zapremini paraboloida.

1021 – Ibn al-Haytham formulirao i riješio Alhazenov problem geometrijski.
1030 – Ali Ahmad Nasawi piše traktat o decimalnim i sekičkim brojevnim sistemima. Njegova aritmetika objašnjava podjelu frakcija i vađenje kvadratnog i kubičnog korijena (kvadratni korijen od 57.342; kubni korijen od 3, 652, 296) na gotovo moderan način.
1070 – Omar Khayyám počinje pisati Raspravu o demonstraciji problema algebre i klasificira kubne jednadžbe.
c. 1100 – Omar Khayyám “dao je potpunu klasifikaciju kubičnih jednadžbi s geometrijskim rješenjima pronađenim pomoću presijecanja koničnih dijelova”. On je postao prvi koji je pronašao opšta geometrijska rešenja kubičnih jednačina i postavio temelje za razvoj analitičke geometrije i neeuklidske geometrije. Korijen je takođe ekstrahovan pomoću decimalnog sistema (Hindu-arapski brojni sistem).
XII vek – Indijski brojci su modifikovani od strane arapskih matematičara da bi formirali moderni hindu-arapski brojni sistem (koji se univerzalno koristi u modernom svetu).
12. vijek – hindu-arapski brojni sistem dopire do Evrope preko Arapa.
XII vek – Bhaskara Acharya piše Lilavati, koji pokriva teme definicija, aritmetičkih termina, računanje interesa, aritmetičke i geometrijske progresije, geometriju ravni, geometriju čvrstih, sjena gnomona, metode za rješavanje neodređenih jednačina i kombinacije.
12. vijek – Bhaskara II (Bhaskara Acharya) piše Bijaganitu (Algebru), koja je prvi tekst koji priznaje da pozitivan broj ima dva kvadratna korjena.
12. vijek – Bhaskara Acharya shvata diferencijalni račun, a takođe razvija Rollovu teoremu, Pell-ova jednadžba, dokaz za Pitagorejsku teoremu, dokazuje da je podjela na nulu beskonačnost, izračunava π do pet decimalnih mjesta i izračunava vrijeme koje je potrebno da Zemlja orbitira Sunce na 9 decimalnih mjesta.
1130 – Al-Samawal je dao definiciju algebre: “[to je u pitanju] sa radom na nepoznanicama koristeći sve aritmetičke alate, na isti način kao aritmetičar koji radi na poznatom.”
1135 – Sharafeddin Tusi je slijedio al-Khayyamovu primjenu algebre u geometriji i napisao je raspravu o kubnim jednadžbama koja “predstavlja bitan doprinos drugoj algebri koja je imala za cilj da proučava krivulje pomoću jednadžbi, čime se inaugurira početak algebarske geometrije”.
1202 – Leonardo Fibonacci pokazuje korisnost hindu-arapskih brojeva u svom Liber Abaci (Knjiga Abakusa).
1247 – Qin Jiushao objavljuje Shùshū Jiǔzhāng (Matematička rasprava u devet odjeljaka).

1248 – Li Ye piše Ceyuan haijing, matematičku raspravu od 12 zapremina koja sadrži 170 formula i 696 problema uglavnom riješenih polinomskim jednadžbama koristeći metodu tian yuan shu.
1260 – Al-Farisi je dao novi dokaz o Thabit ibn Qurra teoremi, uvodeći važne nove ideje o faktorizaciji i kombinatornim metodama. On je takođe dao par prijateljskih brojeva 17296 i 18416 koji su takođe bili pripisani Fermatu, kao i Thabit ibn Qurra.
c. 1250 – Nasir Al-Din Al-Tusi pokušava da razvije neeuklidsku geometriju.
1303 – Zhu Shijie objavljuje Precious Mirror of Four Elements, koji sadrži drevnu metodu raspoređivanja binomnih koeficijenata u trouglu.
14. vijek – Madhava se smatra ocem matematičke analize, koja je takođe radila na seriji moći za π i za sinusne i kosinusne funkcije, i zajedno sa drugim matematičarima u školi u Kerali, utemeljila je važne koncepte računa.
14. vijek – Parameshvara, matematičar Kerala škole, predstavlja serijski oblik sinusne funkcije koja je ekvivalentna njegovom Taylorovom proširenju serije, navodi teoremu srednje vrijednosti diferencijalnog računa, a takođe je i prvi matematičar koji daje radijus kruga s upisanim cikličkim četverokutom.

  1. vijek
    1400 – Madhava otkriva ekspanziju serije za inverzno-tangentnu funkciju, beskonačnu seriju za arctan i sin, i mnoge metode za izračunavanje obima kruga, i koristi ih da izračuna π ispravno do 11 decimalnih mjesta.
    c. 1400 – Ghiyath al-Kashi “je doprinio razvoju decimalnih frakcija ne samo za aproksimaciju algebarskih brojeva, već i za realne brojeve kao što je π. Njegov doprinos decimalnim frakcijama je toliko veliki da je on godinama bio smatran njihovim izumiteljem. ne prvi koji je to učinio, al-Kashi je dao algoritam za izračunavanje n-tih korijena, što je poseban slučaj metoda koje su stoljećima kasnije [Paolo] Ruffini i [William George] Horner. On je takođe prvi koji koristi aritmetičke i arapske brojeve. Njegovi radovi uključuju Ključ aritmetike, Otkrića u matematici, Decimalna točka i Prednosti nule. Sadržaj Prednosti nule je uvod koji slijedi pet eseja: “Na cijeli broj aritmetika”, “O frakcijskoj aritmetici”, “O astrologiji”, “Na područjima” i “Na pronalaženju nepoznatih [nepoznatih varijabli]” . Napisao je i Tezu o sinusu i akord i Tezu o pronalaženju sinusa prvog stepena.
  2. stoljeće – Ibn al-Banna i al-Qalasadi uveli su simboličku notaciju algebre i matematike uopće.

  3. vek – Nilakantha Somayaji, matematičar škole u Kerali, piše Aryabhatiya Bhasya, koja sadrži radove na beskonačnim serijama, problemima algebre i sferne geometrije.
    1424 – Ghiyath al-Kashi izračunava π na šesnaest decimalnih mjesta koristeći upisane i opisane poligone.
    1427 – Al-Kashi dovršava ključ aritmetike koji sadrži radove velike dubine na decimalnim frakcijama. On primenjuje aritmetičke i algebarske metode za rješavanje različitih problema, uključujući i nekoliko geometrijskih.
    1464 – Regiomontanus piše De Triangulis omnimodus koji je jedan od najranijih tekstova koji tretiraju trigonometriju kao zasebnu granu matematike.
    1478 – Anonimni autor piše Trevizovsku aritmetiku.
    1494 – Luca Pacioli piše Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità; uvodi primitivnu simboličku algebru koristeći “co” (cosa) za nepoznato.

Moderno doba
16. stoljeće
1501 – Nilakantha Somayaji piše Tantrasamgrahu.
1520 – Scipione dal Ferro razvija metodu za rješavanje “depresivnih” kubičnih jednadžbi (kubnih jednadžbi bez x2 termina), ali ne objavljuje.
1522 – Adam Ries objašnjava upotrebu arapskih brojeva i njihove prednosti u odnosu na rimske brojeve.
1535 – Niccolò Tartaglia samostalno razvija metodu za rješavanje depresivnih kubičnih jednadžbi, ali i ne objavljuje.
1539 – Gerolamo Cardano uči Tartaglijevu metodu za rješavanje depresivnih kubika i otkriva metodu za depresivne kubike, čime se stvara metoda za rješavanje svih kubika.
1540 – Lodovico Ferrari rješava kvadratnu jednačinu.
1544 – Michael Stifel objavljuje Arithmetica integra.
1545 – Gerolamo Cardano zamišlja složene brojeve.
1550 – Jyeshtadeva, matematičar u školi u Kerali, piše Yuktibhāṣā, prvi svjetski račun za izračunavanje, koji daje detaljne derivacije mnogih teorema i formula računanja.
1572 – Rafael Bombelli piše algebarsku raspravu i koristi imaginarne brojeve za rešavanje kubičnih jednačina.
1584 – Zhu Zaiyu izračunava jednak temperament.
1596 – Ludolf van Ceulen izračunava π do dvadeset decimalnih mjesta koristeći upisane i opisane poligone.

  1. stoljeće
    1614 – John Napier raspravlja o Napierian logaritmima u Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio.
    1617 – Henry Briggs raspravlja o decimalnim logaritmima u Logarithmorum Chilias Prima.
    1618 – John Napier objavljuje prve reference na e u radu o logaritmima.
    1619 – René Descartes otkriva analitičku geometriju (Pierre de Fermat je tvrdio da ju je i otkrio samostalno).
    1619 – Johannes Kepler otkriva dva Kepler-Poinsot poliedra.
    1629 – Pierre de Fermat razvija rudimentarni diferencijalni račun.
    1634 – Gilles de Roberval pokazuje da je područje pod cikloidom tri puta veće od kruga koji stvara.
    1636 – Muhamed Baqir Yazdi je zajedno s Descartesom otkrio par prijateljskih brojeva 9,363,584 i 9,437,056 (1636).
    1637 – Pierre de Fermat tvrdi da je dokazao Fermatovu posljednju teoremu u njegovoj kopiji Diofantove Aritmetike.
    1637 – Prva upotreba izraza imaginarni broj od René Descartes; trebalo je da bude pogrdno.
    1643 – René Descartes razvija Descartesovu teoremu.
    1654 – Blaise Pascal i Pierre de Fermat stvaraju teoriju vjerovatnoće.
    1655 – John Wallis piše Arithmetica Infinitorum.
    1658 – Christopher Wren pokazuje da je duljina cikloide četiri puta veća od promjera njenog generirajućeg kruga.
    1665 – Isak Njutn radi na osnovnoj teoremi o računici i razvija svoju verziju infinitezimalnog računa.
    1668 – Nicholas Mercator i William Brouncker otkrivaju beskonačnu seriju za logaritam dok pokušavaju izračunati površinu pod hiperboličkim segmentom.
    1671 – James Gregory razvija serijsku ekspanziju za inverzno-tangentnu funkciju (koju je prvobitno otkrila Madhava).
    1671 – James Gregory otkriva Taylorov teorem.
    1673 – Gottfried Leibniz razvija i svoju verziju infinitezimalnog računa.
    1675 – Isak Njutn izume algoritam za izračunavanje funkcionalnih korena.
    1680 – Gottfried Leibniz radi na simboličkoj logici.
    1683 – Seki Takakazu otkriva rezultanta i determinanta.
    1683 – Seki Takakazu razvija teoriju eliminacije.
    1691 – Gottfried Leibniz otkriva tehniku razdvajanja varijabli za obične diferencijalne jednadžbe.
    1693 – Edmund Halley priprema prve tablice smrtnosti koje statistički povezuju stopu smrtnosti sa godinama.
    1696 – Guillaume de L’Hôpital navodi svoje pravilo za izračunavanje određenih granica.
    1696 – Jakob Bernoulli i Johann Bernoulli rješavaju problem brachistochrone, prvi rezultat u varijacijskom računu.
    1699 – Abraham Sharp izračunava π do 72 cifre, ali samo 71 su tačni.
  2. vijek
    1706 – John Machin razvija brzo konvergirajuće inverzno-tangentne serije za π i izračunava π do 100 decimalnih mjesta.
    1708 – Seki Takakazu otkriva brojeve Bernulija. Vjeruje se da je Jacob Bernoulli, po kome su brojevi nazvani, neovisno otkrio brojeve ubrzo nakon Takakazua.
    1712 – Brook Taylor razvija Taylorovu seriju.
    1722 – Abraham de Moivre navodi de Moivreovu formulu koja povezuje trigonometrijske funkcije i kompleksne brojeve.
    1722 – Takebe Kenko predstavlja Richardsonovu ekstrapolaciju.
    1724 – Abraham De Moivre proučava statistiku mortaliteta i temelj teorije anuiteta u anuitetima na životima.
    1730 – James Stirling objavljuje The Differential Method.
    1733 – Giovanni Gerolamo Saccheri proučava kakva bi geometrija bila da je Euklidov peti postulat lažan.
    1733 – Abraham de Moivre uvodi normalnu distribuciju da bi približio binomnu raspodjelu u vjerovatnoći.
    1734 – Leonhard Euler uvodi tehniku integracionog faktora za rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda.
    1735 – Leonhard Euler rješava problem Bazela, povezujući beskonačni niz sa π.

    • Leonhard Euler rješava problem sedam mostova Königsberg-a, zapravo stvarajući teoriju grafova.
      1739 – Leonhard Euler rješava opću homogenu linearnu običnu diferencijalnu jednadžbu s konstantnim koeficijentima.
      1742 – Kristijan Goldbah nagađa da se svaki parni broj veći od dva može izraziti kao suma dva primesa, sada poznata kao Goldbahova pretpostavka.
      1747 – Jean le Rond d’Alembert rješava problem vibracijskog niza (jednodimenzionalna valna jednadžba).
      1748 – Maria Gaetana Agnesi razmatra analizu u Instituzioni Analitiche ad Uso della Gioventu Italiana.
      1761 – Thomas Bayes dokazuje Bayesovu teoremu.
      1761 – Johann Heinrich Lambert dokazuje da je π iracionalan.
      1762 – Joseph Louis Lagrange otkriva teoremu divergencije.
      1789 – Jurij Vega poboljšava Machinovu formulu i izračunava π do 140 decimalnih mjesta, od kojih je 136 tačno.
      1794 – Jurij Vega objavljuje Thesaurus Logarithmorum Completus.
      1796 – Carl Friedrich Gauss dokazuje da se regularni 17-gon može konstruisati samo kompasom i ravnicom.
      1796 – Adrien-Marie Legendre pretpostavlja teoremu o prostom broju.
      1797 – Caspar Wessel povezuje vektore sa kompleksnim brojevima i proučava složene operacije brojeva u geometrijskim terminima.
      1799 – Carl Friedrich Gauss dokazuje osnovnu teoremu algebre (svaka polinomna jednadžba ima rješenje među kompleksnim brojevima).
      1799 – Paolo Ruffini delimično dokazuje Abel-Ruffinijev teorem da se kvintička ili viša jednačina ne mogu rješiti opštom formulom.
  3. vijek
    1801 – Disquisitiones Arithmeticae, teorija brojeva Carl Friedricha Gaussa, objavljena je na latinskom jeziku.
    1805 – Adrien-Marie Legendre uvodi metod najmanjih kvadrata za uklapanje krivulje datom skupu opservacija.
    1806 – Louis Poinsot otkriva dva preostala Kepler-Poinsot poliedra.
    1806 – Jean-Robert Argand objavljuje dokaz fundamentalne teoreme algebre i Argandovog dijagrama.
    1807 – Joseph Fourier objavljuje svoja otkrića o trigonometrijskoj dekompoziciji funkcija.
    1811 – Carl Friedrich Gauss razmatra značenje integrala sa kompleksnim granicama i ukratko ispituje ovisnost takvih integrala o odabranom putu integracije.
    1815 – Siméon Denis Poisson izvodi integracije duž puteva u kompleksnoj ravni.
    1817 – Bernard Bolzano predstavlja teoremu srednje vrijednosti – kontinuirana funkcija koja je negativna u jednoj točki i pozitivna u drugoj točki mora biti nula za barem jednu točku između.
    1822 – Augustin-Louis Cauchy predstavlja Cauchyjev integralni teorem za integraciju oko granice pravokutnika u kompleksnoj ravni.
    1822 – Irisawa Shintarō Hiroatsu analizira Soddyjev hekslet u Sangaku.
    1823 – Teorema Sophie Germain objavljena je u drugom izdanju knjige “Essai sur la théorie des nombres” Adrien-Marie Legendre.
    1824 – Niels Henrik Abel djelomično dokazuje Abel-Ruffinijev teorem da se opće kvintičke ili više jednadžbe ne mogu riješiti općom formulom koja uključuje samo aritmetičke operacije i korijene.
    1825 – Augustin-Louis Cauchy predstavlja Cauchyjevu integralnu teoremu za opće integracijske putanje – on pretpostavlja da je funkcija integrirana ima kontinuirani derivat, te uvodi teoriju ostataka u kompleksnu analizu.
    1825 – Peter Gustav Lejeune Dirichlet i Adrien-Marie Legendre dokazuju Fermatovu zadnju teoremu za n = 5.
    1825 – André-Marie Ampère otkriva Stokesovu teoremu.
    1828 – George Green dokazuje Greenovu teoremu.
    1829 – János Bolyai, Gauss i Lobachevsky izmišljaju hiperboličnu neeuklidsku geometriju.
    1831 – Mihail Vasiljevič Ostrogradski ponovo otkriva i daje prvi dokaz teoreme divergencije koju su ranije opisali Lagrange, Gauss i Green.
    1832 – Évariste Galois predstavlja opći uvjet za rješivost algebarskih jednadžbi, čime se suštinski osniva teorija grupa i Galoisova teorija.
    1832 – Lejeune Dirichlet dokazuje Fermatovu zadnju teoremu za n = 14.
    1835 – Lejeune Dirichlet dokazuje Dirichletovu teoremu o prostim brojevima u aritmetičkim progresijama.

  4. vijek
    1801 – Disquisitiones Arithmeticae, teorija brojeva Carl Friedricha Gaussa, objavljena je na latinskom jeziku.
    1805 – Adrien-Marie Legendre uvodi metod najmanjih kvadrata za uklapanje krivulje datom skupu opservacija.
    1806 – Louis Poinsot otkriva dva preostala Kepler-Poinsot poliedra.
    1806 – Jean-Robert Argand objavljuje dokaz fundamentalne teoreme algebre i Argandovog dijagrama.
    1807 – Joseph Fourier objavljuje svoja otkrića o trigonometrijskoj dekompoziciji funkcija.
    1811 – Carl Friedrich Gauss razmatra značenje integrala sa kompleksnim granicama i ukratko ispituje ovisnost takvih integrala o odabranom putu integracije.
    1815 – Siméon Denis Poisson izvodi integracije duž puteva u kompleksnoj ravni.
    1817 – Bernard Bolzano predstavlja teoremu srednje vrijednosti – kontinuirana funkcija koja je negativna u jednoj točki i pozitivna u drugoj točki mora biti nula za barem jednu točku između.
    1822 – Augustin-Louis Cauchy predstavlja Cauchyjev integralni teorem za integraciju oko granice pravokutnika u kompleksnoj ravni.
    1822 – Irisawa Shintarō Hiroatsu analizira Soddyjev hekslet u Sangaku.
    1823 – Teorema Sophie Germain objavljena je u drugom izdanju knjige “Essai sur la théorie des nombres” Adrien-Marie Legendre.
    1824 – Niels Henrik Abel djelomično dokazuje Abel-Ruffinijev teorem da se opće kvintičke ili više jednadžbe ne mogu riješiti općom formulom koja uključuje samo aritmetičke operacije i korijene.
    1825 – Augustin-Louis Cauchy predstavlja Cauchyjevu integralnu teoremu za opće integracijske putanje – on pretpostavlja da je funkcija integrirana ima kontinuirani derivat, te uvodi teoriju ostataka u kompleksnu analizu.
    1825 – Peter Gustav Lejeune Dirichlet i Adrien-Marie Legendre dokazuju Fermatovu zadnju teoremu za n = 5.
    1825 – André-Marie Ampère otkriva Stokesovu teoremu.
    1828 – George Green dokazuje Greenovu teoremu.
    1829 – János Bolyai, Gauss i Lobachevsky izmišljaju hiperboličnu neeuklidsku geometriju.
    1831 – Mihail Vasiljevič Ostrogradski ponovo otkriva i daje prvi dokaz teoreme divergencije koju su ranije opisali Lagrange, Gauss i Green.
    1832 – Évariste Galois predstavlja opći uvjet za rješivost algebarskih jednadžbi, čime se suštinski osniva teorija grupa i Galoisova teorija.
    1832 – Lejeune Dirichlet dokazuje Fermatovu zadnju teoremu za n = 14.
    1835 – Lejeune Dirichlet dokazuje Dirichletovu teoremu o prostim brojevima u aritmetičkim progresijama.

1837 – Pierre Wantzel dokazuje da je udvostručenje kocke i trisektiranje kuta nemoguće samo sa kompasom i ravninom, kao i sa punim završetkom problema konstruktivnosti regularnih poligona.
1837 – Peter Gustav Lejeune Dirichlet razvija analitičku teoriju brojeva.
1841 – Karl Weierstrass otkriva, ali ne objavljuje Laurentovu teoremu ekspanzije.
1843 – Pierre-Alphonse Laurent otkriva i predstavlja Laurentovu teoremu ekspanzije.
1843 – William Hamilton otkriva račun kvaterniona i zaključuje da su oni nekomutativni.
1847 – George Boole formalizuje simboličku logiku u Matematičkoj analizi logike, definirajući ono što se sada zove Booleova algebra.
1849. – George Gabriel Stokes pokazuje da usamljeni valovi mogu nastati iz kombinacije periodičnih valova.
1850 – Victor Alexandre Puiseux pravi razliku između polova i graničnih tačaka i uvodi koncept bitnih singularnih tačaka.
1850 – George Gabriel Stokes otkriva i dokazuje Stokesovu teoremu.
1854 – Bernhard Riemann uvodi Riemannu geometriju.
1854 – Arthur Cayley pokazuje da se kvaternioni mogu koristiti za predstavljanje rotacija u četverodimenzionalnom prostoru.
1858. – avgust Ferdinand Möbius izumljuje traku Möbius.
1858 – Charles Hermite rješava opću kvintičku jednadžbu pomoću eliptičkih i modularnih funkcija.
1859 – Bernhard Riemann formuliše Riemannovu hipotezu, koja ima snažne implikacije o raspodeli prostih brojeva.
1870 – Felix Klein konstruiše analitičku geometriju za geometriju Lobačevskog, čime se uspostavlja njegova samodostatnost i logička nezavisnost Euklidovog petog postulata.
1872 – Richard Dedekind izume ono što se danas naziva Dedekind rez za definiranje iracionalnih brojeva, a sada se koristi za definiranje nadrealnog broja.
1873 – Charles Hermite dokazuje da je e transcendentalna.
1873 – Georg Frobenius predstavlja svoj metod za pronalaženje rešenja za linearna diferencijalna jednačina sa regularnim singularnim tačkama.
1874 – Georg Cantor dokazuje da je skup svih realnih brojeva beskrajno beskonačan, ali je skup svih realnih algebarskih brojeva beskonačno brojan. Njegov dokaz ne koristi njegov dijagonalni argument koji je objavio 1891. godine.
1882 – Ferdinand von Lindemann dokazuje da je π transcendentalan i da se stoga krug ne može kvadrirati sa kompasom i pravcem.
1882 – Felix Klein izume Klein bocu.
1895 – Diederik Korteweg i Gustav de Vries izvode Korteweg – de Vriesovu jednadžbu kako bi opisali razvoj dugih osamljenih valova vode u kanalu pravokutnog poprečnog presjeka.
1895 – Georg Cantor objavljuje knjigu o teoriji skupova koja sadrži aritmetiku beskonačnih kardinalnih brojeva i hipotezu kontinuuma.
1895 – Henri Poincaré objavljuje rad “Analysis Situs” koji je pokrenuo modernu topologiju.
1896 – Jacques Hadamard i Charles Jean de la Vallée-Poussin samostalno dokazuju teoremu o prostom broju.
1896 – Hermann Minkowski predstavlja Geometrija brojeva.
1899 – Georg Cantor otkriva kontradikciju u svojoj teoriji skupova.
1899 – David Hilbert predstavlja skup samodostatnih geometrijskih aksioma u temeljima geometrije.
1900. – David Hilbert navodi svoju listu od 23 problema, koji pokazuju gdje je potreban daljnji matematički rad.

20ti vijek

1901 – Elie Cartan razvija vanjski derivat.
1901 – Henri Lebesgue objavljuje o Lebesgue integraciji.
1903 – Carle David Tolmé Runge predstavlja brzi algoritam Fourierove transformacije
1903 – Edmund Georg Hermann Landau daje znatno jednostavniji dokaz teoreme o prostom broju.
1908. – Ernst Zermelo aksiomizira teoriju skupova, izbjegavajući tako Cantorove kontradikcije.
1908 – Josip Plemelj rješava Riemannov problem o postojanju diferencijalne jednadžbe s danom monodromnom grupom i koristi Sokhotsky – Plemelj formule.
1912 – Luitzen Egbertus Jan Brouwer predstavlja teoremu Brouwer-ove fiksne točke.
1912 – Josip Plemelj objavljuje pojednostavljeni dokaz za Fermatovu zadnju teoremu za eksponent n = 5.
1915 – Emmy Noether dokazuje svoju teoremu simetrije, koja pokazuje da svaka simetrija u fizici ima odgovarajući zakon o očuvanju.
1916 – Srinivasa Ramanujan uvodi Ramanujanovu pretpostavku. Ovu pretpostavku kasnije generalizuje Hans Petersson.
1919 – Viggo Brun definira Brunovu konstantu B2 za blizance.
1921 – Emmy Noether uvodi prvu opštu definiciju komutativnog prstena.
1928. – John von Neumann počinje osmišljavati principe teorije igara i dokazuje teoriju o minimumu.
1929 – Emmy Noether uvodi prvu opću teoriju predstavljanja grupa i algebri.
1930 – Kazimir Kuratowski pokazuje da problem s tri kuće nema rješenja.
1930 – Alonzo Church uvodi Lambda račun.
1931 – Kurt Gödel dokazuje svoju teoremu nepotpunosti, koja pokazuje da je svaki aksiomatski sistem za matematiku ili nepotpun ili nedosljedan.
1931 – Georges de Rham razvija teoreme u kohomologiji i karakterističnim klasama.
1933 – Karol Borsuk i Stanislaw Ulam predstavljaju Borsuk – Ulamov teorem o antipodalnoj točki.
1933 – Andrej Nikolajevič Kolmogorov objavljuje svoju knjigu Osnovni pojmovi računica vjerovatnoće (Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung), koja sadrži aksiomatizaciju vjerojatnosti zasnovanu na teoriji mjera.
1940 – Kurt Gödel pokazuje da ni hipoteza kontinuuma ni aksiom izbora ne mogu biti opovrgnuti iz standardnih aksioma teorije skupova.
1942 – G.C. Danielson i Cornelius Lanczos razvijaju algoritam Fourier transform.
1943. – Kenneth Levenberg predlaže metod za nelinearno uklapanje najmanjih kvadrata.
1945 – Stephen Cole Kleene uvodi u realizaciju.
1945 – Saunders Mac Lane i Samuel Eilenberg započinju teoriju kategorija.
1945 – Norman Steenrod i Samuel Eilenberg daju aksiome Eilenberg – Steenrod za (ko-) homologiju.

1946 – Jean Leray uvodi Spectral sekvencu.
1948. – John von Neumann matematički proučava mašine za samoreprodukciju.
1948 – Alan Turing uvodi LU dekompoziciju.
1949. – John Wrench i L.R. Smith izračunava π na 2,037 decimalnih mjesta koristeći ENIAC.
1949. – Claude Shannon razvija pojam teorije informacija.
1950 – Stanisław Ulam i John von Neumann predstavljaju dinamičke sisteme staničnih automata.
1953 – Nicholas Metropolis uvodi ideju termodinamičkih simuliranih algoritama žarenja.
1955 – H. S. M. Coxeter et al. objaviti kompletnu listu jedinstvenog poliedra.
1955 – Enrico Fermi, John Pasta, Stanislav Ulam i Mary Tsingou numerički proučavaju nelinearni prolećni model provođenja toplote i otkrivaju ponašanje tipa solitarnog talasa.
1956 – Noam Chomsky opisuje hijerarhiju formalnih jezika.
1957 – Kiyosi Itô razvija Itô račun.
1957. – Stephen Smale pruža dokaz postojanja sfere bez erozije.
1958 – Objavljen je dokaz Alexander Grothendieck o Grothendieck – Riemann – Roch teoremi.
1959 – Kenkichi Iwasawa stvara teoriju Iwasawa.
1960. – C. A. R. Hoare izumio je algoritam za brzi pregled.
1960 – Irving S. Reed i Gustave Solomon predstavljaju Reed – Solomonov kod za ispravljanje grešaka.
1961 – Daniel Shanks i John Wrench izračunavaju π do 100.000 decimalnih mjesta koristeći identičnu inverznu i IBM-7090 kompjuter.
1961 – John G. F. Francis i Vera Kublanovskaya samostalno razvijaju QR algoritam za izračunavanje svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora matrice.
1961 – Stephen Smale dokazuje Poincaréovu pretpostavku za sve dimenzije veće ili jednake 5.
1962 – Donald Marquardt predlaže Levenberg – Marquardt nelinearni algoritam za uklapanje najmanjih kvadrata.
1962 – Gloria Conyers Hewitt postaje treća afroamerička žena koja je doktorirala matematiku.
1963. – Paul Cohen koristi svoju tehniku prisiljavanja da pokaže da se ni hipoteza kontinuuma ni aksiom izbora ne mogu dokazati iz standardnih aksioma teorije skupova.
1963 – Martin Kruskal i Norman Zabusky analitički proučavaju problem toplotne provodljivosti Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou u granici kontinuuma i nalaze da KdV jednadžba upravlja ovim sistemom.
1963 – meteorolog i matematičar Edward Norton Lorenz objavio je rješenja za pojednostavljeni matematički model atmosferske turbulencije – općenito poznat kao haotično ponašanje i čudni atraktori ili Lorenzov atraktor – također efekt leptira.
1965 – Iranski matematičar Lotfi Asker Zadeh osnovao je fuzzy teoriju skupova kao produžetak klasičnog pojma seta i osnovao polje Fuzzy Mathematics.
1965 – Martin Kruskal i Norman Zabusky numerički su proučavali solitarne valove u plazmi i otkrili da se ne raspadaju nakon sudara.
1965 – James Cooley i John Tukey predstavljaju uticajni algoritam Fourierove transformacije.
1966 – E. J. Putzer predstavlja dvije metode za izračunavanje eksponencijalne matrice u smislu polinoma u toj matrici.
1966 – Abraham Robinson predstavlja nestandardnu analizu.
1967 – Robert Langlands formuliše uticajni Langlandsov program pretpostavki koje se odnose na teoriju brojeva i teoriju reprezentacije.
1968 – Michael Atiyah i Isadore Singer dokazuju Atiyah – Singer-ovu teoremu o indeksu eliptičkih operatora.
1973 – Lotfi Zadeh je osnovao polje fuzzy logike.
1975 – Benoît Mandelbrot objavljuje Les objets fractals, forme, hasard et dimension.
1976 – Kenneth Appel i Wolfgang Haken koriste kompjuter kako bi dokazali teoremu o četiri boje.
1978 – Olga Taussky-Todd nagrađena je austrijskim krstom časti za nauku i umjetnost, 1. klasa, najviša znanstvena nagrada vlade Austrije.
1981. – Richard Feynman daje uticajan govor “Simulacija fizike s računalima” (1980. godine Yuri Manin je predložio istu ideju o kvantnim izračunavanjima u “Computable and Uncomputable”).
1983 – Gerd Faltings dokazuje Mordellovu pretpostavku i time pokazuje da postoji samo konačno mnogo rješenja cijelog broja za svaki eksponent Fermatove posljednje teoreme.
1983. – završena je klasifikacija konačnih jednostavnih grupa, kolaborativni rad koji uključuje stotinjak matematičara i traje trideset godina.
1985 – Louis de Branges de Bourcia dokazuje Bieberbachovu pretpostavku.
1986. – Ken Ribet dokazuje Ribetovu teoremu.
1987 – Yasumasa Kanada, David Bailey, Jonathan Borwein i Peter Borwein koriste iterativne modularne aproksimacije jednadžbi za eliptičke integrale i NEC SX-2 superkompjuter kako bi izračunali π na 134 miliona decimalnih mjesta.
1991 – Alain Connes i John W. Lott razvijaju nekomutativnu geometriju.
1992 – David Deutsch i Richard Jozsa razvijaju Deutsch-Jozsa algoritam, jedan od prvih primjera kvantnog algoritma koji je eksponencijalno brži od bilo kojeg mogućeg determinističkog klasičnog algoritma.
1994 – Andrew Wiles dokazuje dio pretpostavke Taniyama-Shimure i time dokazuje Fermatovu posljednju teoremu.
1994 – Peter Shor formulira Shor-ov algoritam, kvantni algoritam za faktorizaciju cijelih brojeva.
1995 – Simon Plouffe otkriva Bailey – Borwein – Plouffeovu formulu sposobnu da pronađe n-ti binarni broj od π.
1998 – Thomas Callister Hales (gotovo sigurno) dokazuje Keplerovu pretpostavku.
1999. – dokazana je puna pretpostavka Taniyama-Shimure.
2000. – Institut za matematiku Gline predlaže sedam Milenijumskih nagrada Problemi neriješenih važnih klasičnih matematičkih pitanja.

  1. vijek

2002 – Manindra Agrawal, Nitin Saxena i Neeraj Kayal iz IIT Kanpur predstavljaju bezuvjetni deterministički polinomni vremenski algoritam kako bi se utvrdilo da li je zadani broj primaran (AKS test primalnosti).
2002 – Yasumasa Kanada, Y. Ushiro, Hisayasu Kuroda, Makoto Kudoh i tim od devet više izračunavaju π do 1241,1 milijardu cifara koristeći Hitachi 64-čvorni superkompjuter.
2002 – Preda Mihăilescu dokazuje katalansku pretpostavku.
2003 – Grigorij Perelman dokazuje Poincaréovu pretpostavku.
2004 – Ben Green i Terence Tao dokazuju Green-Tao teorem.
2007 – tim istraživača širom Sjeverne Amerike i Evrope koristio je mreže računara za mapiranje E8.
2009 – Fundamentalna lema (Langlandsov program) dokazao je Ngô Bảo Châu.
2010 – Larry Guth i Nets Hawk Katz rješavaju problem Erdősovih distanci.
2013 – Yitang Zhang dokazuje da je prva konačna granica vezana za praznine između prostih brojeva.
2014 – Projekt Flyspeck objavljuje da je završio dokaz Keplerove pretpostavke.
2014. – Korištenje Alexander Yee-a y-cruncher “houkouonchi” uspješno je izračunao π do 13,3 trilijuna znamenki.
2015 – Terence Tao riješio problem Erdösovog odstupanja
2015. – László Babai je otkrio da bi algoritam kompleksnosti kvazipolinomijala riješio problem isomorfizma grafa

2016 – Korištenje Aleksandra Yeea y-cruncher Peter Trueb uspješno je izračunao π do 22,4 trilijuna znamenki

Izvor: W

Šta su logaritmi i kakvu primjenu imaju u fizici?

Logaritam je možda jedini najkorisniji aritmetički koncept u svim naukama; i njegovo razumjevanje je neophodno za razumjevanje mnogih naučnih ideja. Logaritmi se mogu definirati i uvesti na nekoliko različitih načina. Ali za naše potrebe, usvojimo jednostavan pristup. Ovaj pristup je izvorno nastao iz želje da se pojednostavi množenje i djeljenje na nivo zbrajanja i oduzimanja. Naravno, u ovoj eri jeftinog kalkulatora, ovo više nije potrebno, ali još uvijek služi kao koristan način za uvođenje logaritama. Pitanje je, dakle:

Postoji li neka operacija u matematici koja proizvodi množenje preko zbrajanja?

Bez previše razmišljanja, odgovor bi vam trebao doći.

Što je 2^3 x 2^4.

Odgovor je 2 ^ 7 koji se dobija dodavanjem stepena 3 i 4. To je tačno, naravno, pošto je 2^3 x 2^4 samo sedam 2s pomnoženo 7 puta zajedno. Imajte na umu da ovaj dodatak trik ne radi u slučaju 3^3 x 2^4. Bazni brojevi moraju biti isti, kao u prvom slučaju, gdje smo koristili 2.

U principu, ovaj dodatak se može napisati kao p^a x p^b = p^(a + b). Ovaj izraz će raditi naš posao umnožavanja bilo koja dva broja, recimo 1^3 i 6^9, ako možemo samo izraziti 1.3 kao p^a i 6.9 kao p^b.

Koji broj ćemo koristiti za osnovni p? Bilo koji broj će biti ok, ali tradicionalno, samo dva su u zajedničkoj upotrebi:

Deset (10) za log i transcendentalni broj e (= 2.71828 …) za ln.

Prvo ćemo govoriti o logaritmima za bazu 10. Stoga odaberemo da naš broj 1^3 bude jednak 10^a.

1.3 = 10^a
`a ‘se zove” logaritam od 1.3 “. Koliko je velik ‘a’? Pa, to nije 0 jer je 10^0 = 1 i manje je od 1 jer ne 10^1 = 10. Dakle, vidimo da svi brojevi između 1 i 10 imaju logaritme između 0 i 1.

U lošim starim danima prije kalkulatora, morali bi da naučite da koristite skup logaritamskih tabela da biste pronašli logaritam našeg broja, 1.3, koji smo ranije tražili. Ali danas ga možete dobiti pritiskom na dugme na kalkulatoru.



Problem pronalaženja broja kada znate njegov logaritam naziva se pronalaženje “antilogaritma” ili ponekad “eksponenciranje”. To se radi što stepenujete i lijevu i desnu stranu jednačine sa logaritmom na bazu koja odgovara onom logaritmu o kojem je riječ. Ako imamo npr. log100=x (za oznaku log baza je 10!), odatle će slijediti da je 10^x=100, a 100 možemo napisati kao 10^2, pa ćemo imati 10^x=10^2, pa dobijemo da je x=2!

Logaritamske i eksponencijalne funkcije su veoma važne jer se preko njih mogu opisati mnogi fizički i biološki procesi.

Na primjer, pretpostavimo da imate određeni broj radioaktivnih atoma u trenutku t = 0. Neka ovaj broj bude N0. Radioaktivnost se ponaša na takav način da broj N radioaktivnih atoma koji ostaje u kasnijem vremenu t daje linearnu varijaciju logaritma N sa t.

To jest, graf ln N vs t je ravna linija. Znate da je jednadžba takve ravne linije data y = mx + b gdje je m nagib, a b je presjek y. Dakle, jednadžba radioaktivnosti je ln N = -kt + ln N0 gdje je ln N0 y presjek i nagib linije -k



Pogledajmo sada jednadžbu koju smo dobili za radioaktivnost, ln N = ln N0 -kt. Ovdje je važno biti u stanju napraviti algebru s logaritmima.Prebacujemo logaritme na jednu stranu tako da dobijemo

ln N – ln N0 = -kt.

Ali znamo da je razlika logaritama logaritam kvocijenta tako da lijeva strana postaje ln (N / N0). Sada uzmimo antigaritme. Antilogaritam bilo koje količine je broj e na snagu te količine tako da desna strana postane e^kt. Lijeva strana je anti ln i tako postaje N podeljena sa N0. Konačno, možemo preurediti da se zadnja jednadžba stavi u formu

N = N0 e^-kt

što se naziva jednadžba “eksponencijalnog raspada”, tako da možete vidjeti zašto se uzimanje antilogaritma često naziva “eksponenciranjem”.

Reference:

(1) https://www.physics.uoguelph.ca/tutorials/LOG/

Zašto je podijeliti beskonačno sa beskonačno neodređeno?

Beskonačnost je koncept, a ne konačan broj.

Mnogi ljudi su zbunjeni s beskonačnosti; u pravu su, to je koncept, a ne broj. Postoji nekoliko različitih “veličina” beskonačnosti, tako da to znači da količnik koji izgleda kao beskonačnost/beskonačnost ponekad može biti pravi broj, a ponekad i jeste samo beskonačnost.

Npr. Koja je granica kada se x približava beskonačnosti izraza?
x ^ 2 / (x-5)? Ako “uklopite” da x teži beskonačno u ovom izrazu dobili bi ste beskonačno/beskonačnosti pa bi mogli pogrešno reći da je rezultat 1, ali ako primjenite L’Hopitalovo pravilo,vidite da brojnik dominira, a možete to vidjeti i na jednostavan način:

x ^ 2 će puno brže rasti od x – 5 pa će ukupan rezultat biti beskonačno.


Dakle, imamo dvije opcije, jedna je da je rezultat 1, ako bi beskonačnosti bile iste, a druga je da je rezultat beskonačno, ako ono u brojniku brže postaje beskonačno.


Šta su to nelinearni sistemi?

U matematici i fizičkim naukama, nelinearni sistem je sistem u kojem promjena izlaza nije proporcionalna promjenama ulaza. Nelinearni problemi su od interesa za inženjere, biologe, fizičare, matematičare i mnoge druge naučnike jer je većina sistema inherentno nelinearna po prirodi. Nelinearni dinamički sistemi, koji opisuju promjene tokom vremena, mogu se pojaviti kao haotični, nepredvidljivi ili kontraintuktivni, u kontrastu sa mnogo jednostavnijim linearnim sistemima.

Tipično, ponašanje nelinearnog sistema u matematici je opisano nelinearnim sistemom jednačina, što je skup istovremenih jednačina u kojima se nepoznate (ili nepoznate funkcije u slučaju diferencijalnih jednačina) pojavljuju kao varijable polinoma stepena višeg od jedan ili u argumentu funkcije koja nije polinom od stepena 1. Drugim riječima, u nelinearnom sistemu jednačine koje treba riješiti ne mogu se upisati kao linearna kombinacija nepoznatih varijabli ili funkcija koje se pojavljuju u njima. Sistemi se mogu definisati kao nelinearni, bez obzira da li se u jednačinama pojavljuju poznate linearne funkcije. Posebno, diferencijalna jednačina je linearna ako je linearna u smislu nepoznate funkcije i njenih derivata, čak i ako je nelinearna u smislu drugih varijabli koje se pojavljuju u njoj.

Kako je teško rješiti nelinearne dinamičke jednačine, nelinearni sistemi se uobičajeno aproksimiraju linearnim jednačinama (linearizacija). Ovo dobro funkcioniše do određene tačnosti i nekog opsega za ulazne vrijednosti, ali neki od zanimljivih fenomena poput haosa i singulariteta sakrivaju se linearizacijom. Slijedi da neki aspekti dinamičkog ponašanja nelinearnog sistema mogu biti kontraintuitivni, nepredvidljivi ili čak haotični. Iako takvo haotično ponašanje može da podsjeća na slučajno ponašanje, to zapravo nije slučajno. Na primjer, neki aspekti vremena se vide kao haotični, gdje jednostavne promjene u jednom dijelu sistema proizvode kompleksne efekte u čitavom vremenu. Ova nelinearnost je jedan od razloga zašto je precizna dugoročna prognoza sa trenutnom tehnologijom nemoguća.

Nelinearne algebarske jednačine

Nelinearne algebarske jednačine, koje se takođe zovu polinomske jednačine, definišu se izjednačavanjem polinoma na nulu. Na primjer,

x ^ {2} + x-1 = 0

Za jednu polinomijalnu jednačinu, algoritmi za pronalaženje korjena se mogu koristiti za pronalaženje rješenja jednačine (tj. Skup vrijednosti za varijable koje zadovoljavaju jednačinu). Međutim, sistemi algebarskih jednačina su komplikovaniji; njihova studija je jedna motivacija za oblast algebarske geometrije, teške grane savremene matematike. Čak je i teško odlučiti da li dat algebarski sistem ima složena rješenja. Ipak, u slučaju sistema s ograničenim brojem kompleksnih rešenja, ovi sistemi polinomskih jednačina su sada dobro razumljivi i postoje efikasne metode za njihovo rešavanje.



Nelinearne diferencijalne jednačine

Sistem diferencijalnih jednačina nije linearni ako nije linearni sistem. Problemi koji uključuju nelinearne diferencijalne jednačine su izuzetno raznovrsni, a metode rješavanja ili analize su zavisne od problema. Primjeri nelinearnih diferencijalnih jednačina su Navier-Stokesove jednačine u dinamici fluida i jednačine Lotka-Volterra u biologiji.

Jedna od najvećih poteškoća nelinearnih problema je u tome što generalno nije moguće kombinovati poznata rješenja sa novim rješenjima. U linearnim problemima, na primjer, porodica linearno nezavisnih rješenja može se koristiti za konstruisanje opštih rješenja kroz princip superpozicije. Dobar primjer ovoga je jednodimenzionalni transport toplote sa graničnim uslovima Dirichleta, rješenje koje se može napisati kao vremenski zavisna linearna kombinacija sinusoida različitih frekvencija; ovo čini rješenja veoma fleksibilnim. Često je moguće naći nekoliko vrlo specifičnih rješenja za nelinearne jednačine, ali nedostatak principa superpozicije sprečava izgradnju novih rešenja.

Vrste nelinearnih dinamičkih ponašanja

Smrt amplitude – svaka oscilacija prisutna u sistemu prestaje usljed neke vrste interakcije sa drugim sistemom ili povratnim informacijama od strane istog sistema
Haos – vrijednosti sistema ne mogu se predviđati neograničeno daleko u budućnost, a fluktuacije su aperiodične
Višestepenost – prisustvo dva ili više stabilnih stanja
Solitoni – samo-ojačavajući usamljeni talasi



Šta je to paradoks Banach-Tarski?

Može li se nešto razložiti u konačni broj tačaka i ponovo sastaviti u dvije kopije identične izvornom originalu?

Paradoks Banach-Tarski je teorem u set-teoretskoj geometriji, koji navodi sljedeće: Za čvrstu kuglu u trodimenzionalnom prostoru postoji raspadanje lopte u konačan broj odvojenih podskupova, koji se zatim mogu vratiti zajedno na drugačiji način da daju dvije identične kopije izvorne kugle. Doista, postupak ponovnog sastavljanja uključuje samo pomicanje dijelova i okretanje bez promjene njihovog oblika. Međutim, komadi nisu sami “čvrsti” u uobičajenom smislu, već skup beskonačno raspršenih dijelova. Rekonstrukcija može raditi s čak pet komada.

 

Jači oblik teorema podrazumijeva da, s obzirom na bilo koja dva “razumna” kruta objekta (poput malene kuglice i ogromne kugle), rezani komadi bilo koje od njih mogu se ponovno sastaviti u drugu. To se često neformalno navodi kao “grašak može biti odrezan i ponovno sastavljen u Sunce” i nazvan “paradoks graška i sunca”.

Razlog zbog kojeg se teorem Banach-Tarski naziva paradoksom jest to što proturječi osnovnoj geometrijskoj intuiciji. Činjenica da je “udvostručenje lopte” dijeljenjem na dijelove i pomicanjem okretanja i prijevoda, bez ikakvog istezanja, savijanja ili dodavanja novih točaka, čini se nemogućim, budući da bi sve te operacije trebale intuitivno da očuvaju volumen. Intuicija da takva operacija sačuva svezaka nije matematički apsurdna i čak je uključena u formalnu definiciju svezaka. Međutim, ovdje se ne primjenjuje jer je u ovom slučaju nemoguće definirati količine uzete u obzir, jer su odabrani tako velikom poroznošću. Ponovno sastavljanje reproducira glasnoću, što se inače razlikuje od volumena na početku.

Za razliku od većine teorema u geometriji, dokaz ovakvog rezultata ovisi o kritičnom načinu na izboru aksioma za setnu teoriju. Može se dokazati pomoću aksioma izbora, koji omogućuje izgradnju ne mjerljivih skupova, tj. zbirki bodova koji nemaju volumen u običnom smislu i čija izgradnja zahtijeva nebrojiv broj izbora.

 

Pokazano je u 2005 da se komadi u razgradnji mogu odabrati na takav način da se mogu pomicati kontinuirano na mjesto bez da se sabiju jedan u drugi.

Kako izgleda trigonometrijski oblik kompleksnog broja?

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Ponekad je kompleksne brojeve potrebno pisati u trigonometrijskom obliku

,

, za i za ; kada je onda je , ako je i , ako je .

Broj se naziva modul kompleksnog broja , а је argument kompleksnog broja

Množiti kompleksne brojeve pogodno je u ovom obliku .

Moavrova formula

.

Često se predstavljaju vektorima u kompleksnoj ravni .

Dužina vektora  је modul kompleksnog broja.

Izvor: Wikipedia

Šta je to pravilo derivacije složene funkcije?

U kalkulusu, pravilo derivacije složene funkcije je formula za derivaciju kompozicije dvije funkcije.

U intuitivnim uvjetima, ako varijabla y zavisi od druge varijable u, koja, na kraju, zavisi od treće varijable x, tada se način promjene y o odnosu na x može izračunati kao promjena y o odnosu na u pomnoženo sa načinom promjene u u odnosu na x. Jednostavnije rečeno, derivacija složene funkcije računa se tako da se pomnoži derivacija glavne funkcije sa derivacijom podfunkcije unutar te glavne funkcije (pogledajte primjer I).

 

Definicija

Pravilo derivacija složene funkcije kaže da je

 

koje se kraće piše u formi ( f ∘ g ) ′ = f ′ ∘ g ⋅ g ′ {displaystyle .

Alternativno, u Leibnizovoj notaciji, pravilo derivacije složene funkcije je

U integraciji, nasuprot pravilu derivacije složene funkcije, stoji pravilo substitucije.

Dokaz pravila derivacije složene funkcije

Neka f i g budu funkcije i neka x bude broj takav da je f idiferencijabilna kod g(x) i da je g diferencijabilno kod x. Tada je definicija diferencijabilnosti,

 

gdje ε(δ) → 0 kada δ → 0. Slično,

 

gdje η(α) → 0 kada α → 0. Također definišimo da je

Sada je

 

gdje je

Uočite da kada δ → 0, αδ/δg′(x) i αδ → 0, te zbog toga η(αδ) → 0. Slijedi da je

Primjeri

Primjer I

Razmotrimo f ( x ) = ( x 2 + 1 ) 3  . Imamo f ( x ) = h ( g ( x ) ) gdje je g ( x ) = x 2 + 1  i h ( x ) = x 3 .  Zbog toga,

   

Kako bi diferencirali trigonometrijsku funkciju

možemo pisati f ( x ) = h ( g ( x ) ) sa  . Tada dobijamo

 

pošto je .

IZVOR: WIKIPEDIA