Category Archives: Kvantna mehanika

Šta je to Heisenbergovo načelo neodređenosti?

Heisenbergov princip neodređenosti za srednjoškolski nivo

U kvantnoj mehanici, Heisenbergovo načelo neodređenosti govori kako je načelno nemoguće istovremeno odrediti tačan položaj i brzinu neke čestice. Da bismo posmatranjem odredili položaj nekog tijela, moramo ga osvijetliti i primiti svjetlost koja se od njega reflektira. Međutim, zbog difrakcije svjetlosti položaj tijela možemo odrediti najpreciznije na talasnu dužinu svjetlosti pa tako možemo pisati da je neodređenost položaja tijela jednaka talasnoj dužini svjetlosti (Δx≈λ). Smanjenjem talasne dužine korištene svjetlosti možemo sve preciznije odrediti položaj tražene čestice, ali u tom slučaju povećavamo energiju zračenja (E=hf=hc/λ), odnosno čestične osobine svjetlosti (elektromagnetskog talasa) čiji foton u tom slučaju ima veću količinu kretanja (p=h/λ) pa tako u “sudaru” s posmatranom česticom više mijenja njenu količinu kretanja (u odnosu na početnu) tako da je i nju nemoguće sasvim tačno odrediti. Povećanjem čestičnih osobina svjetlosti kojom osvjetljavamo (smanjenje talasne dužine) gubi se na preciznosti mjerenja brzine (količine kretanja), a povećanjem talasne dužine gubi se na preciznosti određivanja položaja. Ovo nije posljedica nesavršenosti mjernih instrumenata, nego je kvantno svojstvo samog posmatranog sistema i nemoguće ga je izbjeći i upotrebom usavršenih mjernih instrumenata. Što preciznije mjerimo položaj, manje precizno mjerimo brzinu i obrnuto. Ovo svojstvo otkrio je 1927. godine njemački fizičar Werner Heisenberg a obično se formulira ovako:

Δp·Δx≥ħ/2

gdje je Δp neodređenost količine kretanja, Δx neodređenost položaja, a ħ je reducirana Planckova konstanta (ħ=h/2π) h=6,626·10−34 Js

ili drukčije formulirano:

ΔE·Δt≥ħ/2

gdje je ΔE neodređenost energije, a Δt neodređenost mjerenja vremenskog intervala.

Ove relacije vrijede i u makrosvijetu (svijetu klasične mehanike), ali tamo su neprimjetljive jer je neodređenost položaja zanemariva u odnosu na dimenzije tijela, a neodređenost količine kretanja u odnosu na ukupnu količinu kretanja tijela.

Heisenbergovo načelo neodređenosti izazvalo je brojne kritike u svijetu fizike 20. vijeka (najpoznatije od Alberta Einsteina) jer je utjelovljenje kontrarnosti(?) determinističkim principima dotadašnje fizike, otpočelo je eru probabilističkog pristupa kvantnoj fizici i postavilo bitnu granicu preciznosti eksperimenta.

Heisenbergovo načelo neodređenosti za fakultetski nivo

Werner Karl Heisenberg, formulirao je 1927. princip neodređenosti

Heisenbergovo načelo neodređenosti ili relacije neodređenosti su bilo koja inačica nejednakosti koja govori o fundamentalnom ograničenju spoznaje vrijednosti komplementarnih fizikalnih veličina.

Prvi takav princip uvedeo je 1927. godine njemački fizičar Werner Heisenberg, a formuliran je za fizikalne veličine položaja i količine gibanja: što točnije poznajemo položaj, manje točno možemo poznavati količinu gibanja – i obrnuto.  Heisenberg je izvorno svoje relacije izrazio preko matrične mehanike (koju je osmislio kao dvadesetdvogodišnjak, za potrebe kvantne mehanike, 1925. godine kada se povukao na otok Helgoland da bi izbjegao jake alergijske napade od kojih je patio ), tj. preko komutacijskih relacija:

Gdje se operatori položaja i količine gibanja, a reducirana Planckova konstanta.

Kada se nejednakost izrazi preko standardne devijacije, kao što su to napravili Earle Hesse Kennard i Hermann Weyl, postaje jasnije da je riječ o organičavanju znanja o položaju i količini gibanja:

Gdje su i standardne devijacije položaja i količine gibanja, definirane kao: ^{2}}}} i  

Formulacije

Valno-mehanička formulacija

Ilustrativni prikaz superpozicije nekoliko ravnih valova koji formiraju valni paket. Vidimo da valni paket postaje sve više lokaliziran, dodavanjem novih ravnih valova.

Prema de Broglievoj hipotezi, svaka čestica ima ujedno i valna svojstva. Informacije o položaju čestice, u kvantnoj mehanici, dobiva se iz valne funkcije . Vremenski neovisna valna funkcija za jednostavni ravni valnog broja k0 i količine gibanjap0 je

Vjerojatnost nalaženja čestice između a i b je, po Bornovom pravilu, definirana kao

Očito je da je u slučaju ravnoga valna funkcija konstanta, odnosno, čestica može biti bilo gdje, u promatranom prostoru, sa jednakom vjerojatnosti. Drugim riječima, položaj čestice je maksimalno neodređen. Ako promatramo valnu funkciju koja je superpozicija više valova (kao na animaciji desno):

gdje A n predstavlja koeficijent, odnosno doprinos vala količine gibanja pn rezultantnom valu. Prijeđemo li sa sume po diskretnim valovima na kontinuirani slučaj, rezultantna valna funkcija biti će integral preko svih mogućih valova

gdje predstavlja amplitudu koja je Fourierov transform od . Sa ovom funkcijom, pozicija je postala preciznije definirana, ali je sada količina gibanja slabije definirana pošto je rezultantni val superpozicija valova sa raznim količinama gibanja. Točnije, smanjili smo standardnu devijaciju pozicije σx na račun povećavanja standardne devijacije količine gibanja σp.

Stoga, ukoliko povećamo σx, smanjiti će se σp i obrnuto. Zaključujemo da je odnos σx i σp obrnuto proporcionalan, što je upravo ono što govore Heisenbergove relacije neodređenosti. Može se pokazati da umnožak σx i σp daje upravo vrijednost .

Matrična formulacija

U matričnoj mehanici, izvornom načinu na kojem je Heisenberg došao do svojih relacija, opservable poput položaja i količine gibanja samoadjungirani operatori. Za početak, definirajmo komutacijske relacije između dva operatora kao

U slučaju operatora položaja i količine gibanja, imamo

Neka je vlastita funkcija operatora položaja sa konstantnom vlastitom vrijednosti x0, što per definitionem znači da je . Primijenimo spomenuti komutator na i dobit ćemo:

gdje je Î operator identiteta.

Pretpostavimo, radi reductio ad absurdum, da je {\displaystyle |\psi \rangle } ujedno i vlastita funkcija operatora količine gibanja, sa vlastitom vrijednosti p0; tada bismo imali

Međutim, takav rezultat je upravo u kontradikciji sa Heisenbergovim relacijama neodređenosti koje zahtijevaju

Što implicira da kvantna stanja ne mogu biti istovremeno vlastita funkcija položaja i količine gibanja. Drugim riječima: mjerenjem položaja, količina gibanja će biti neodređena, i obrnuto.

Važne relacije neodređenosti

Osim spomenutih relacija neodređenosti između položaja i količine gibanja, u kvantnoj mehanici često se koriste i relacije neodređenosti za: komponente kutne količine gibanja, komponente spina čestice i relacije između energije i vremena.

Za kutnu količinu gibanja vrijedi

Gdje je Levi-Civita simbol. Što znači da nije moguće istovremeno poznavati vrijednosti dviju komponenta kutne količine gibanja.

Za komponente spina vrijedne analogne relacije kao kod kutne količine gibanja, odnosno

Što znači da nije moguće istovremeno poznavati vrijednosti dviju komponenta spina.

Pošto vrijeme u nerelativističkoj kvantnoj mehanici nije opservabla, umjesto vremena koristi se životni vijek stanja u odnosu na opservablu B, pa relacije imaju oblik

gdje je σE standardna devijacija Hamiltonijana (operatora energije) u stanju {\displaystyle \psi } , a σB standardna devijacija nekog operatora B. , gdje je {\displaystyle a\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}

Heisenbergov mikroskop

Relacije neodređenosti izmeđ položaj i brzinu neke čestice možemo predočiti slikovitim teorijskim primjerom Heisenbergova mikroskopa:

Heisenbergov gamma-zrake mikroskop za detekciju pozicije elektrona (obojan plavo).Nadolazeća gamma zraka (obojana zeleno) raspršuje se na elektronu i pada na mikroskop pod kutom θ. Odbijena gamma zraka obojana je crveno.

Da bismo promatranjem odredili položaj nekog tijela, moramo ga osvijetliti i primiti svjetlost koja se od njega reflektira. Međutim, zbog ogiba svjetlosti položaj tijela možemo odrediti najpreciznije na valnu duljinu svjetlosti pa tako možemo pisati da je neodređenost položaja tijela jednaka valnoj duljini svjetlosti (Δx≈λ). Smanjenjem valne duljine korištene svjetlosti možemo sve preciznije odrediti položaj tražene čestice, ali u tom slučaju povećavamo energiju zračenja (E=hf=hc/λ), odnosno čestična svojstva svjetlosti (elektromagnetskog vala) čiji foton u tom slučaju ima veću količinu gibanja (p=h/λ) pa tako u “sudaru” s promatranom česticom više mijenja njenu količinu gibanja (u odnosu na početnu) tako da je i nju nemoguće sasvim točno odrediti. Povećanjem čestičnih svojstava svjetlosti kojom osvjetljavamo (smanjenje valne duljine) gubi se na preciznosti mjerenja brzine (količine gibanja), a povećanjem valnih (povećanje valne duljine) gubi se na preciznosti određivanja položaja.

Ovo nije posljedica nesavršenosti mjernih instrumenata, nego je kvantno svojstvo samog promatranog sustava i nemoguće ga je izbjeći i uporabom savršenih mjernih instrumenata. Što preciznije mjerimo položaj, manje precizno mjerimo brzinu i obrnuto. Ovo svojstvo otkrio je 1927. godine njemački fizičar Werner Heisenberg a obično se formulira ovako:

Δp·Δx≥ħ/2

gdje je Δp neodređenost količine gibanja, Δx neodređenost položaja, a ħ je reducirana Planckova konstanta (ħ=h/2π) h=6,626·10-34 Js

ili drukčije formulirano:

ΔE·Δt≥ħ/2

gdje je ΔE neodređenost energije, a Δt neodređenost mjerenja vremenskog intervala.

Ove relacije vrijede i u makrosvijetu (svijetu klasične mehanike), ali tamo su neprimjetljive jer je neodređenost položaja zanemariva u odnosu na dimenzije tijela, a neodređenost količine gibanja u odnosu na ukupnu količinu gibanja tijela.

Heisenbergovo načelo neodređenosti izazvalo je brojne kritike u svijetu fizike 20. stoljeća (najpoznatije od Alberta Einsteina) jer je utjelovljenje kontrarnosti determinističkim principima dotadašnje fizike, otpočelo je eru probabilističkog pristupa kvantnoj fizici i postavilo bitnu granicu preciznosti eksperimenta.

Primjeri

Čestica u kutiji

Barijere van kutije imaju beskonačno velik potencijal, dok unutar kutuje čestica ima potencijal nula.

Najjednostavniji kvantnomehanički sustav je primjer slobodne čestice u kutiji. Takva čestica se može gibati samo u jednoj dimenziji (lijevo-desno) i ograničena je u beskonačoj potencijalnoj jami (zidovi označavaju barijere u kojima je potencijalna energija beskonačna), dok je potencijalna energija unutar kutije jednaka nuli. Stoga, čestica ima samo kinetičku energiju:

Rješavanjem Schrödingerove jednadžbe za takvu česticu, lako je naći da vlastite funkcije u koordinatnoj i impulsnoj reprezentaciji definirana kao

i

,

gdje je {\displaystyle \omega _{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar n^{2}}{8L^{2}m}}}. Varijanca (koja je korijen standardne devijacije) pozicije i količine gibanja računa se:

.

Vidimo da je umnožak standardnih devijacija:

S obzirom da je najmanja moguća vrijednost vrijable upravo , nalazimo da je najmanji mogući umnožak standardnih devijacija količine gibanja i pozicije jednak

.

S time pokazujemo da Heisenbergove relacije neodređenosti vrijede za česticu u kutiji. Do današnjeg dana nije pronađeno niti jedno odstupanje od Heisenbergovih relacija neodređenosti.

Kvantni harmonički oscilator

Gustoća vjerojatnosti kod kvantnog harmoničkog oscilatora.

Jednodimenzionalni kvantni harmonički oscilator je kvantnomehanička varijantna klasičnoga harmoničkoga oscilatora. U tom slučaju, operatore količine gibanja i pozicije moguće je izraziti preko operatora podizanja i spuštanja:

{\displaystyle a^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle }
,

trivijalno je odrediti varijancu,

Iz toga slijedi da je produkt standardnih devijacija količine gibanja i pozicije:

Što, kao što vidimo, zadovoljava Heisenbergove relacije neodređenosti.

Von Neumannov izvod Heisenbergovih relacija

Neka je:

  • Hilbertov prostor,zajedno sa skalarnim produktom i normom, te sa kao operatorom identiteta u ;
  • i samoadjungirani operatori u i , gdje je;
  • Te sa normom  .

Tada Heisenbergove relacije možemo izvesti u četiri koraka:

Korak 1:

Neka je

Stoga:

Što znači:

Pa iz Cauchy-Schwarzove nejednakosti slijedi:

Korak 2:

Neka su dva prozivoljna skalara, te definirajmo i . Stoga, općenito možemo zaključiti da vrijedi:

Korak 3:

Kao rezultat drugoga koraka, uz , i , imamo:

Korak 4:

Za slučaj kada je , dobivamo rezultat važan za kvantnu mehaniku, odnosno Heisenbergove relacije neodređenosti:

Interpretacija relacija neodređenosti

Interpretacija relacija neodređenosti bila je jedna od glavnih točaka prijepora između Bohra i Einsteina, naročito na petoj Solvayavoj konferenciji. Po Kopenhagenskoj kvantnoj mehanici, ukoliko dvije fizikalne veličine ne komutiraju, one nemaju istovremenu fizikalnu realnost. Što znači da ukoliko poznajemo poziciju, količina gibanja nema realnost (tj. ne postoji). Također, ukoliko čestici poznajemo komponentu spina u x-smjeru, to znači da čestica nema ostale komponente spina.  S druge strane, Einstein je to vidio kao naznaku nepotpunosti teorije, a ne kao znak da neke fizikalne veličine ne postoje ukoliko znamo njihove konjugirane parove.

Izvori

  1. Heisenberg, W. (21. ožujka 1927.). “Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik”. Zeitschrift für Physik 43 (3–4): 172–198.
  2. Trabesinger, A.. “History of quantum mechanics: The path to agreement”. Nature Physics 4: 349.
  3. L.D. Landau, E.M. Lifshitz (1977). Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory, 3rd, Pergamon Press. ISBN 978-0-08-020940-1 Online copy.
  4. Hilgevoord, Jan (1998). “The uncertainty principle for energy and time. II.”. American Journal of Physics 66 (5): 396–402.
  5.  Predložak:Literatur
  6. Mehra, J. (1987.). “Niels Bohr’s discussions with Albert Einstein, Werner Heisenberg, and Erwin Schrödinger: The origins of the principles of uncertainty and complementarity”. Foundations of Physics 17 (5): 461–506.
  7.  Bohr N. Discussions with Einstein on Epistemological Problems in Atomic Physics. The Value of Knowledge: A Miniature Library of Philosophy. Marxists Internet Archive. pristupljeno 2016-01-09 From Albert Einstein: Philosopher-Scientist (1949), publ. Cambridge University Press, 1949. Niels Bohr’s report of conversations with Einstein.
  8. Paul Arthur Schilpp. Albert Einstein: Philosopher Scientist, Tudor Publishing Company (1951), str. 672.

Glavni izvor:

Tekst je u cjelosti preuzet sa Wikipedije!

Šta je to Heisenbergovo načelo neodređenosti?

Heisenbergov princip neodređenosti za srednjoškolski nivo

U kvantnoj mehanici, Heisenbergovo načelo neodređenosti govori kako je načelno nemoguće istovremeno odrediti tačan položaj i brzinu neke čestice. Da bismo posmatranjem odredili položaj nekog tijela, moramo ga osvijetliti i primiti svjetlost koja se od njega reflektira. Međutim, zbog difrakcije svjetlosti položaj tijela možemo odrediti najpreciznije na talasnu dužinu svjetlosti pa tako možemo pisati da je neodređenost položaja tijela jednaka talasnoj dužini svjetlosti (Δx≈λ). Smanjenjem talasne dužine korištene svjetlosti možemo sve preciznije odrediti položaj tražene čestice, ali u tom slučaju povećavamo energiju zračenja (E=hf=hc/λ), odnosno čestične osobine svjetlosti (elektromagnetskog talasa) čiji foton u tom slučaju ima veću količinu kretanja (p=h/λ) pa tako u “sudaru” s posmatranom česticom više mijenja njenu količinu kretanja (u odnosu na početnu) tako da je i nju nemoguće sasvim tačno odrediti. Povećanjem čestičnih osobina svjetlosti kojom osvjetljavamo (smanjenje talasne dužine) gubi se na preciznosti mjerenja brzine (količine kretanja), a povećanjem talasne dužine gubi se na preciznosti određivanja položaja. Ovo nije posljedica nesavršenosti mjernih instrumenata, nego je kvantno svojstvo samog posmatranog sistema i nemoguće ga je izbjeći i upotrebom usavršenih mjernih instrumenata. Što preciznije mjerimo položaj, manje precizno mjerimo brzinu i obrnuto. Ovo svojstvo otkrio je 1927. godine njemački fizičar Werner Heisenberg a obično se formulira ovako:

Δp·Δx≥ħ/2

gdje je Δp neodređenost količine kretanja, Δx neodređenost položaja, a ħ je reducirana Planckova konstanta (ħ=h/2π) h=6,626·10−34 Js

ili drukčije formulirano:

ΔE·Δt≥ħ/2

gdje je ΔE neodređenost energije, a Δt neodređenost mjerenja vremenskog intervala.

Ove relacije vrijede i u makrosvijetu (svijetu klasične mehanike), ali tamo su neprimjetljive jer je neodređenost položaja zanemariva u odnosu na dimenzije tijela, a neodređenost količine kretanja u odnosu na ukupnu količinu kretanja tijela.

Heisenbergovo načelo neodređenosti izazvalo je brojne kritike u svijetu fizike 20. vijeka (najpoznatije od Alberta Einsteina) jer je utjelovljenje kontrarnosti(?) determinističkim principima dotadašnje fizike, otpočelo je eru probabilističkog pristupa kvantnoj fizici i postavilo bitnu granicu preciznosti eksperimenta.

Heisenbergovo načelo neodređenosti za fakultetski nivo

Werner Karl Heisenberg, formulirao je 1927. princip neodređenosti

Heisenbergovo načelo neodređenosti ili relacije neodređenosti su bilo koja inačica nejednakosti koja govori o fundamentalnom ograničenju spoznaje vrijednosti komplementarnih fizikalnih veličina.

Prvi takav princip uvedeo je 1927. godine njemački fizičar Werner Heisenberg, a formuliran je za fizikalne veličine položaja i količine gibanja: što točnije poznajemo položaj, manje točno možemo poznavati količinu gibanja – i obrnuto.  Heisenberg je izvorno svoje relacije izrazio preko matrične mehanike (koju je osmislio kao dvadesetdvogodišnjak, za potrebe kvantne mehanike, 1925. godine kada se povukao na otok Helgoland da bi izbjegao jake alergijske napade od kojih je patio ), tj. preko komutacijskih relacija:

Gdje se operatori položaja i količine gibanja, a reducirana Planckova konstanta.

Kada se nejednakost izrazi preko standardne devijacije, kao što su to napravili Earle Hesse Kennard i Hermann Weyl, postaje jasnije da je riječ o organičavanju znanja o položaju i količini gibanja:

Gdje su i standardne devijacije položaja i količine gibanja, definirane kao: ^{2}}}} i  

Formulacije

Valno-mehanička formulacija

Ilustrativni prikaz superpozicije nekoliko ravnih valova koji formiraju valni paket. Vidimo da valni paket postaje sve više lokaliziran, dodavanjem novih ravnih valova.

Prema de Broglievoj hipotezi, svaka čestica ima ujedno i valna svojstva. Informacije o položaju čestice, u kvantnoj mehanici, dobiva se iz valne funkcije . Vremenski neovisna valna funkcija za jednostavni ravni valnog broja k0 i količine gibanjap0 je

Vjerojatnost nalaženja čestice između a i b je, po Bornovom pravilu, definirana kao

Očito je da je u slučaju ravnoga valna funkcija konstanta, odnosno, čestica može biti bilo gdje, u promatranom prostoru, sa jednakom vjerojatnosti. Drugim riječima, položaj čestice je maksimalno neodređen. Ako promatramo valnu funkciju koja je superpozicija više valova (kao na animaciji desno):

gdje A n predstavlja koeficijent, odnosno doprinos vala količine gibanja pn rezultantnom valu. Prijeđemo li sa sume po diskretnim valovima na kontinuirani slučaj, rezultantna valna funkcija biti će integral preko svih mogućih valova

gdje predstavlja amplitudu koja je Fourierov transform od . Sa ovom funkcijom, pozicija je postala preciznije definirana, ali je sada količina gibanja slabije definirana pošto je rezultantni val superpozicija valova sa raznim količinama gibanja. Točnije, smanjili smo standardnu devijaciju pozicije σx na račun povećavanja standardne devijacije količine gibanja σp.

Stoga, ukoliko povećamo σx, smanjiti će se σp i obrnuto. Zaključujemo da je odnos σx i σp obrnuto proporcionalan, što je upravo ono što govore Heisenbergove relacije neodređenosti. Može se pokazati da umnožak σx i σp daje upravo vrijednost .

Matrična formulacija

U matričnoj mehanici, izvornom načinu na kojem je Heisenberg došao do svojih relacija, opservable poput položaja i količine gibanja samoadjungirani operatori. Za početak, definirajmo komutacijske relacije između dva operatora kao

U slučaju operatora položaja i količine gibanja, imamo

Neka je vlastita funkcija operatora položaja sa konstantnom vlastitom vrijednosti x0, što per definitionem znači da je . Primijenimo spomenuti komutator na i dobit ćemo:

gdje je Î operator identiteta.

Pretpostavimo, radi reductio ad absurdum, da je {displaystyle |psi rangle } ujedno i vlastita funkcija operatora količine gibanja, sa vlastitom vrijednosti p0; tada bismo imali

Međutim, takav rezultat je upravo u kontradikciji sa Heisenbergovim relacijama neodređenosti koje zahtijevaju

Što implicira da kvantna stanja ne mogu biti istovremeno vlastita funkcija položaja i količine gibanja. Drugim riječima: mjerenjem položaja, količina gibanja će biti neodređena, i obrnuto.

Važne relacije neodređenosti

Osim spomenutih relacija neodređenosti između položaja i količine gibanja, u kvantnoj mehanici često se koriste i relacije neodređenosti za: komponente kutne količine gibanja, komponente spina čestice i relacije između energije i vremena.

Za kutnu količinu gibanja vrijedi

Gdje je Levi-Civita simbol. Što znači da nije moguće istovremeno poznavati vrijednosti dviju komponenta kutne količine gibanja.

Za komponente spina vrijedne analogne relacije kao kod kutne količine gibanja, odnosno

Što znači da nije moguće istovremeno poznavati vrijednosti dviju komponenta spina.

Pošto vrijeme u nerelativističkoj kvantnoj mehanici nije opservabla, umjesto vremena koristi se životni vijek stanja u odnosu na opservablu B, pa relacije imaju oblik

gdje je σE standardna devijacija Hamiltonijana (operatora energije) u stanju {displaystyle psi } , a σB standardna devijacija nekog operatora B. , gdje je {displaystyle ain mathbb {C} setminus {0}}

Heisenbergov mikroskop

Relacije neodređenosti izmeđ položaj i brzinu neke čestice možemo predočiti slikovitim teorijskim primjerom Heisenbergova mikroskopa:

Heisenbergov gamma-zrake mikroskop za detekciju pozicije elektrona (obojan plavo).Nadolazeća gamma zraka (obojana zeleno) raspršuje se na elektronu i pada na mikroskop pod kutom θ. Odbijena gamma zraka obojana je crveno.

Da bismo promatranjem odredili položaj nekog tijela, moramo ga osvijetliti i primiti svjetlost koja se od njega reflektira. Međutim, zbog ogiba svjetlosti položaj tijela možemo odrediti najpreciznije na valnu duljinu svjetlosti pa tako možemo pisati da je neodređenost položaja tijela jednaka valnoj duljini svjetlosti (Δx≈λ). Smanjenjem valne duljine korištene svjetlosti možemo sve preciznije odrediti položaj tražene čestice, ali u tom slučaju povećavamo energiju zračenja (E=hf=hc/λ), odnosno čestična svojstva svjetlosti (elektromagnetskog vala) čiji foton u tom slučaju ima veću količinu gibanja (p=h/λ) pa tako u “sudaru” s promatranom česticom više mijenja njenu količinu gibanja (u odnosu na početnu) tako da je i nju nemoguće sasvim točno odrediti. Povećanjem čestičnih svojstava svjetlosti kojom osvjetljavamo (smanjenje valne duljine) gubi se na preciznosti mjerenja brzine (količine gibanja), a povećanjem valnih (povećanje valne duljine) gubi se na preciznosti određivanja položaja.

Ovo nije posljedica nesavršenosti mjernih instrumenata, nego je kvantno svojstvo samog promatranog sustava i nemoguće ga je izbjeći i uporabom savršenih mjernih instrumenata. Što preciznije mjerimo položaj, manje precizno mjerimo brzinu i obrnuto. Ovo svojstvo otkrio je 1927. godine njemački fizičar Werner Heisenberg a obično se formulira ovako:

Δp·Δx≥ħ/2

gdje je Δp neodređenost količine gibanja, Δx neodređenost položaja, a ħ je reducirana Planckova konstanta (ħ=h/2π) h=6,626·10-34 Js

ili drukčije formulirano:

ΔE·Δt≥ħ/2

gdje je ΔE neodređenost energije, a Δt neodređenost mjerenja vremenskog intervala.

Ove relacije vrijede i u makrosvijetu (svijetu klasične mehanike), ali tamo su neprimjetljive jer je neodređenost položaja zanemariva u odnosu na dimenzije tijela, a neodređenost količine gibanja u odnosu na ukupnu količinu gibanja tijela.

Heisenbergovo načelo neodređenosti izazvalo je brojne kritike u svijetu fizike 20. stoljeća (najpoznatije od Alberta Einsteina) jer je utjelovljenje kontrarnosti determinističkim principima dotadašnje fizike, otpočelo je eru probabilističkog pristupa kvantnoj fizici i postavilo bitnu granicu preciznosti eksperimenta.

Primjeri

Čestica u kutiji

Barijere van kutije imaju beskonačno velik potencijal, dok unutar kutuje čestica ima potencijal nula.

Najjednostavniji kvantnomehanički sustav je primjer slobodne čestice u kutiji. Takva čestica se može gibati samo u jednoj dimenziji (lijevo-desno) i ograničena je u beskonačoj potencijalnoj jami (zidovi označavaju barijere u kojima je potencijalna energija beskonačna), dok je potencijalna energija unutar kutije jednaka nuli. Stoga, čestica ima samo kinetičku energiju:

Rješavanjem Schrödingerove jednadžbe za takvu česticu, lako je naći da vlastite funkcije u koordinatnoj i impulsnoj reprezentaciji definirana kao

i

,

gdje je {displaystyle omega _{n}={frac {pi ^{2}hbar n^{2}}{8L^{2}m}}}. Varijanca (koja je korijen standardne devijacije) pozicije i količine gibanja računa se:

.

Vidimo da je umnožak standardnih devijacija:

S obzirom da je najmanja moguća vrijednost vrijable upravo , nalazimo da je najmanji mogući umnožak standardnih devijacija količine gibanja i pozicije jednak

.

S time pokazujemo da Heisenbergove relacije neodređenosti vrijede za česticu u kutiji. Do današnjeg dana nije pronađeno niti jedno odstupanje od Heisenbergovih relacija neodređenosti.

Kvantni harmonički oscilator

Gustoća vjerojatnosti kod kvantnog harmoničkog oscilatora.

Jednodimenzionalni kvantni harmonički oscilator je kvantnomehanička varijantna klasičnoga harmoničkoga oscilatora. U tom slučaju, operatore količine gibanja i pozicije moguće je izraziti preko operatora podizanja i spuštanja:

{displaystyle a^{dagger }|nrangle ={sqrt {n+1}}|n+1rangle }
,

trivijalno je odrediti varijancu,

Iz toga slijedi da je produkt standardnih devijacija količine gibanja i pozicije:

Što, kao što vidimo, zadovoljava Heisenbergove relacije neodređenosti.

Von Neumannov izvod Heisenbergovih relacija

Neka je:

  • Hilbertov prostor,zajedno sa skalarnim produktom i normom, te sa kao operatorom identiteta u ;
  • i samoadjungirani operatori u i , gdje je;
  • Te sa normom  .

Tada Heisenbergove relacije možemo izvesti u četiri koraka:

Korak 1:

Neka je

Stoga:

Što znači:

Pa iz Cauchy-Schwarzove nejednakosti slijedi:

Korak 2:

Neka su dva prozivoljna skalara, te definirajmo i . Stoga, općenito možemo zaključiti da vrijedi:

Korak 3:

Kao rezultat drugoga koraka, uz , i , imamo:

Korak 4:

Za slučaj kada je , dobivamo rezultat važan za kvantnu mehaniku, odnosno Heisenbergove relacije neodređenosti:

Interpretacija relacija neodređenosti

Interpretacija relacija neodređenosti bila je jedna od glavnih točaka prijepora između Bohra i Einsteina, naročito na petoj Solvayavoj konferenciji. Po Kopenhagenskoj kvantnoj mehanici, ukoliko dvije fizikalne veličine ne komutiraju, one nemaju istovremenu fizikalnu realnost. Što znači da ukoliko poznajemo poziciju, količina gibanja nema realnost (tj. ne postoji). Također, ukoliko čestici poznajemo komponentu spina u x-smjeru, to znači da čestica nema ostale komponente spina.  S druge strane, Einstein je to vidio kao naznaku nepotpunosti teorije, a ne kao znak da neke fizikalne veličine ne postoje ukoliko znamo njihove konjugirane parove.

Izvori

  1. Heisenberg, W. (21. ožujka 1927.). “Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik”. Zeitschrift für Physik 43 (3–4): 172–198.
  2. Trabesinger, A.. “History of quantum mechanics: The path to agreement”. Nature Physics 4: 349.
  3. L.D. Landau, E.M. Lifshitz (1977). Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory, 3rd, Pergamon Press. ISBN 978-0-08-020940-1 Online copy.
  4. Hilgevoord, Jan (1998). “The uncertainty principle for energy and time. II.”. American Journal of Physics 66 (5): 396–402.
  5.  Predložak:Literatur
  6. Mehra, J. (1987.). “Niels Bohr’s discussions with Albert Einstein, Werner Heisenberg, and Erwin Schrödinger: The origins of the principles of uncertainty and complementarity”. Foundations of Physics 17 (5): 461–506.
  7.  Bohr N. Discussions with Einstein on Epistemological Problems in Atomic Physics. The Value of Knowledge: A Miniature Library of Philosophy. Marxists Internet Archive. pristupljeno 2016-01-09 From Albert Einstein: Philosopher-Scientist (1949), publ. Cambridge University Press, 1949. Niels Bohr’s report of conversations with Einstein.
  8. Paul Arthur Schilpp. Albert Einstein: Philosopher Scientist, Tudor Publishing Company (1951), str. 672.

Glavni izvor:

Tekst je u cjelosti preuzet sa Wikipedije!

Šta je to sablasno djelovanje na daljinu?

Kvantno sprezanje

Kvantna fizika

Kvantno sprezanje je fizikalni fenomen koji se pojavljuje kad parovi ili skupine čestica nastanu ili međudjeluju na načine tako da se kvantno stanje pojedinačnih čestica ne može utvrditi neovisno o drugim česticama, čak i ako čestice u pitanju dijele velike udaljenosti – umjesto toga, mora se uzeti kvantno stanje sustava kao cjeline.

Mjerenja fizikalnih svojstava, poput položaja, momenta, spina, ili polarizacije, na spregnutim česticama blisko su povezana. Na primjer, ako je paru spregnutih čestica ukupni spin nula, a za jednu česticu se zna kako ima spin u smjeru kazaljke na satu na nekoj osi, spin druge čestice, mjeren po istoj osi, uvijek će biti obrnutog smjera, kao što se može i očekivati. Međutim, takvo ponašanje može dovesti do paradoksalnih učinaka: bilo kakvo mjerenje svojstva čestice može se gledati kao utjecanje na tu česticu (npr., kolapsom broja superpozicijskih stanja), što će promijeniti originalno kvantno svojstvo; a u slučaju spregnutih čestica, takvo se mjerenje može izvesti samo na sustavu kao cjelini. Tada izgleda kao da jedna čestica spregnuta sustava “zna” koja su mjerenja izvedena na drugoj čestici, i s kojim rezultatima, iako nema poznatog načina izmjene takvih informacija između čestica, koje mogu biti na bilo kojoj međusobnoj udaljenosti.

Takvi fenomeni bili su tema znanstvenog rada koji su 1935. napisali Albert Einstein, Boris Podolsky, i Nathan Rosen,kao i nekoliko radova Erwina Schrodingera malo poslije,koji opisuju, kasnije nazvani, EPR paradoks. Einstein i drugi smatrali su takvo ponašanje nemogućim jer je kršilo teoriju relativnosti (Einstein je to nazvao “sablasno djelovanje na daljinu”) te je tvrdio kako je zbog toga tadašnja interpretacija kvantne mehanike nepotpuna. Kasnije su kontraintuitivna predviđanja kvantne mehanike potvđena. Izvedeni su eksperimenti koji uključuju mjerenje polarizacije ili spina spregnutih čestica u drugim smjerovima, koji su – kršeći Bellovu nejednakost – statistički demonstrirali kako je Kopenkagenska interpretacija pogrešna. To se događa čak i kad su mjerenja izvedena na dva mjesta brže no što svjetlo može stići od jednog labaratorija do drugog, što dokazuje kako čestice među sobom ne razmjenjuju informacije. Recent experiments have measured entangled particles within less than one hundredth of a percent of the travel time of light between them. Prema formalizaciji kvantne teorije, efekti mjerenja su trenutačni. No, nije moguće koristiti ovaj učinak za prenošenje informacija brzinom bržom od svjetlosti.

Kvantno sprezanje je područje veoma aktivnih istraživanja, čiji su učinci eksperimentalno demonstrirani na fotonima, neutrinima, elektronima,molekulama veličine fulerena, čak i malih dijamanata. Istraživanja se također fokusiraju na iskorištavanje navedenih učinaka za svrhe komunikacije i kvantnih računala.

Izvori

  1. Einstein A, Podolsky B, Rosen N (1935). “Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?”. Phys. Rev. 47 (10): 777–780.
  2. Schrödinger E (1935). “Discussion of probability relations between separated systems”. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 31 (4): 555–563.
  3. Schrödinger E (1936). “Probability relations between separated systems”. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 32 (3): 446–452.
  4. Physicist John Bell depicts the Einstein camp in this debate in his article entitled “Bertlmann’s socks and the nature of reality”, p. 143 of Speakable and unspeakable in quantum mechanics: “For EPR that would be an unthinkable ‘spooky action at a distance’. To avoid such action at a distance they have to attribute, to the space-time regions in question, real properties in advance of observation, correlated properties, which predetermine the outcomes of these particular observations. Since these real properties, fixed in advance of observation, are not contained in quantum formalism, that formalism for EPR is incomplete. It may be correct, as far as it goes, but the usual quantum formalism cannot be the whole story.” And again on p. 144 Bell says: “Einstein had no difficulty accepting that affairs in different places could be correlated. What he could not accept was that an intervention at one place could influence, immediately, affairs at the other.” Downloaded 5 July 2011 from Bell, J. S. (1987). Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics, CERN. Pristupljeno 14. lipnja 2014.. ISBN 0521334950
  5. 75 years of entanglement – Science News. pristupljeno 13. listopada 2014.
  6. Francis, Matthew. Quantum entanglement shows that reality can’t be local, Ars Technica, 30. listopada 2012.
  7.  Juan Yin (2013). “Bounding the speed of ‘spooky action at a distance”. Phys. Rev. Lett. 110, 260407 1303: 614.
  8. Matson, John (13. kolovoza 2012.). Quantum teleportation achieved over record distances. Nature.
  9.  Predložak:Citation
  10.  Roger Penrose, The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe, London, 2004, p. 603.
  11. “New High-Intensity Source of Polarization-Entangled Photon Pairs”. Physical Review Letters 75: 4337–4341.
  12. (Srpanj 2004.)”Experimental demonstration of five-photon entanglement and open-destination teleportation”. Nature 430: 54–58.
  13.  “Experimental entanglement of six photons in graph states”. Nature Physics 3: 91–95.
  14. “Observation of eight-photon entanglement”. Nature Photonics 6: 225–228.
  15.  J. A. Formaggio, D. I. Kaiser, M. M. Murskyj, and T. E. Weiss (2016), “Violation of the Leggett-Garg inequality in neutrino oscillations”. Phys. Rev. Lett. Prihvaćeno 23. lipnja 2016. https://journals.aps.org/prl/accepted/6f072Y00C3318d41f5739ec7f83a9acf1ad67b002
  16. Hensen, B. (21 October 2015). “Loophole-free Bell inequality violation using electron spins separated by 1.3 kilometres”. Nature 526: 682–686. Preuzeto 21. listopada 2015. Vidi i free online access version.
  17. Markoff, Jack. “Sorry, Einstein. Quantum Study Suggests ‘Spooky Action’ Is Real.”, New York Times, objavljeno 21. listopada 2015, pristupljeno 21. listopada 2015.
  18.  (14 October 1999) “Wave–particle duality of C60 molecules”. Nature 401: 680–682. Predložak:Subscription
  19.  Olaf Nairz, Markus Arndt, and Anton Zeilinger, “Quantum interference experiments with large molecules”, American Journal of Physics, 71 (April 2003) 319–325.
  20. (2. prosinca 2011.)”Entangling macroscopic diamonds at room temperature”. Science 334 (6060): 1253–1256.
  21.  sciencemag.org, supplementary materials

Šta je to Schrödingerova jednadžba?

 

Schrödingerova jednadžba

 


gdje je:

reducirana Planckova konstanta
imaginarna jedinica,
parcijalna derivacija po vremenu
valna funkcija
nabla operator
  potencijalna energija

Ova jednadžba na određeni je način postulirana (1925. godine), slično kao i Newtonovi zakoni gibanja. Schrödingerova jednadžba u okviru kvantne mehanike ima ulogu koju u klasičnoj mehanici ima drugi Newtonov zakon gibanja. Iako se do ove jednadžbe ne može doći egzaktnim matematičkim izvodom, ona je plauzibilna sa drugim poznatim fizikalnim činjenicama i očekivanim rezultatim:

– U slučaju slobodne čestice (potencijalna energija je nula), dobiva se valno rješenje, što je u skladu sa pretpostavkom o valnim svojstvima čestica, koju je postavio Louis de Broglie.

– Za makroskopske objekte mogu se zanemariti kvantni efekti, pa uz jednadžba prelazi u Hamilton-Jacobijevu jednadžbu klasične mehanike.

 

Vremenski neovisna Schrödingerova jednadžba

U mnogim slučajevima razmatra se stanje koje je stacionarno u vremenu, pa jednadžba izgleda kao:

ili:

Promatrano sa matematičkog stajališta, valna funkcija, koja je rješenje diferencijalne jednadžbe drugog reda Sturm-Liouville tipa, mora biti kontinuirana i mora imati kontinuiranu derivaciju drugog reda. S obzirom da su električni naboj i struja definirani pomoću valne funkcije, naboj i struja također su kontinuirani. Osim matematičkih uvjeta, valna funkcija, kao rješenje Schrodingerove jednadžbe, mora zadovoljavati i neke fizikalne uvjete. Očito je da valna funkcija mora biti jednoznačna i konačna u cijelom prostoru. Rubni uvjeti na gore navedenu jednadžbu, također su fizikalni uvjeti. Tako za slučaj vezanog stanja, u kojemu je , valna funkcija na velikim udaljenostima  mora težiti prema nuli.

U tom slučaju za svaku vremenski neovisnu Hamiltonovu funkciju postoji skup vlastitih funkcija (eigenfunctions) i odgovarajućih realnih vrijednosti (vlastite vrijednosti, eigenvalues), za koje vrijedi:

Ovo je svojstvo rješenja samo za najjednostavnije slučajeve, npr. jednodimenzionalni problemi. Često se pojavljuje slučaj da jedna vlastita vrijednost tj. jednom stanju energije odgovara nekoliko različitih valnih funkcija. Takav sistem naziva se degeneriranim. Stoga u gornjim izrazima ineks n može zapravo predstavljati nekoliko indeksa (kvantnih brojeva).

 

Općenito rješenje Schrodingerove jednadžbe

Kada postoje određeni , rješenje vremenski ovisne Schrodingerove jednadžbe je:

S obzirom da je Schrodingerova jednadžba linearna, vrijedi princip superpozicije rješenja, ta se generalno rješenje može prikazati kao linearna kombinacija:

Da bi ovo rješenje zadovoljavalo Schrodingerovu jednadžbu u nedegeneriranom slučaju, valne funkcije moraju biti ortogonalne, a odabrano je i da budu normirane na 1, tj. vrijedi:

gdje je:

– Kronecker delta simbol, za , inače  – kompleksno konjugirana funkcija of 
 

Fizikalno značenje valne funkcije

Sama Schrodingerova jednadžba ne daje točno fizikalno značenje valne funkcije:. Do interpretacije značenja valne funkcije može se doći razmotranjem jednadžbe kontinuiteta iz klasične fizike:

gdje je:

– gustoća naboja ovisna o položaju i vremenu

– gustoća struje
operator divergencije

Ako se Schrodingerova jednadžba pomnoži sa , a kompleksno konjugirana Schrodingerova jednadžba pomnoži sa , te dobivene izrazi oduzmu jedan od drugog, dobija se izraz:

Ako se ova jednadžba usporedi sa jednadžbom kontinuiteta, slijede izrazi za gustoću naboja i gustoću struje kao:

Iako jednadžba kontinuiteta vrijedi u klasičnoj i kvantnoj mehanici, postoji fundamentalna razlika u interpretaciji. U klasičnoj fizici gustoća se tretira kao broj čestica (diskretni broj), a struja je tok čestica (opet diskretni broj). U kvantnoj mehanici jednadžba kontinuiteta može se odnositi na ponašanje samo jedne čestice. U kvantnoj mehanici impuls i položaj čestice ne mogu se istovremeno proizvoljno točno odrediti, već je njihovo određivanje ograničeno Heisenbergovim principom neodređenosti. Stoga se i interpretacija u jednadžbi kontinuiteta mora redefinirati.

Danas je pretežito prihvaćena statistička (probabilistička, vjerojatnosna) interpretacija Maxa Borna. Prema takvoj interpretaciji, produkt treba shvatiti kao gustoću vjerojatnosti da se čestica nalazi u točki prostora definiranoj sa  r. To znači da kvantna mehanika čak i pri opisu samo jedne čestice daje statističko ponašanje.

Pri tome, Sama valna funkcija , koja može biti i kompleksna veličina, nije mjerljiva fizikalna veličina.

Prema statističkoj interpretaciji, vjerojatnost da se čestica nalazi u infinitezimalnom volumnom elementu jednaka je . Ovaj izraz može se integrirati preko cijelog prostora, a tada zbog uvjeta ortogonalnosti i normiranosti takva integral daje vrijednost 1. Dakle, čestica se sigurno nalazi negdje u tom prostoru.

Schrodingerova jednadžba ima mnoga bitna ograničenja, ova jednadžba ne može se primjenit na opis fotona. Također, nije uzet u obzir spin čestica, koji je važno fizikalno svojstvo nužno za opis mnogih fizikalnih pojava.

 

 

Šta je to sablasno djelovanje na daljinu?

Kvantno sprezanje

Kvantna fizika

Kvantno sprezanje je fizikalni fenomen koji se pojavljuje kad parovi ili skupine čestica nastanu ili međudjeluju na načine tako da se kvantno stanje pojedinačnih čestica ne može utvrditi neovisno o drugim česticama, čak i ako čestice u pitanju dijele velike udaljenosti – umjesto toga, mora se uzeti kvantno stanje sustava kao cjeline.

Mjerenja fizikalnih svojstava, poput položaja, momenta, spina, ili polarizacije, na spregnutim česticama blisko su povezana. Na primjer, ako je paru spregnutih čestica ukupni spin nula, a za jednu česticu se zna kako ima spin u smjeru kazaljke na satu na nekoj osi, spin druge čestice, mjeren po istoj osi, uvijek će biti obrnutog smjera, kao što se može i očekivati. Međutim, takvo ponašanje može dovesti do paradoksalnih učinaka: bilo kakvo mjerenje svojstva čestice može se gledati kao utjecanje na tu česticu (npr., kolapsom broja superpozicijskih stanja), što će promijeniti originalno kvantno svojstvo; a u slučaju spregnutih čestica, takvo se mjerenje može izvesti samo na sustavu kao cjelini. Tada izgleda kao da jedna čestica spregnuta sustava “zna” koja su mjerenja izvedena na drugoj čestici, i s kojim rezultatima, iako nema poznatog načina izmjene takvih informacija između čestica, koje mogu biti na bilo kojoj međusobnoj udaljenosti.

Takvi fenomeni bili su tema znanstvenog rada koji su 1935. napisali Albert Einstein, Boris Podolsky, i Nathan Rosen,kao i nekoliko radova Erwina Schrodingera malo poslije,koji opisuju, kasnije nazvani, EPR paradoks. Einstein i drugi smatrali su takvo ponašanje nemogućim jer je kršilo teoriju relativnosti (Einstein je to nazvao “sablasno djelovanje na daljinu”) te je tvrdio kako je zbog toga tadašnja interpretacija kvantne mehanike nepotpuna. Kasnije su kontraintuitivna predviđanja kvantne mehanike potvđena. Izvedeni su eksperimenti koji uključuju mjerenje polarizacije ili spina spregnutih čestica u drugim smjerovima, koji su – kršeći Bellovu nejednakost – statistički demonstrirali kako je Kopenkagenska interpretacija pogrešna. To se događa čak i kad su mjerenja izvedena na dva mjesta brže no što svjetlo može stići od jednog labaratorija do drugog, što dokazuje kako čestice među sobom ne razmjenjuju informacije. Recent experiments have measured entangled particles within less than one hundredth of a percent of the travel time of light between them. Prema formalizaciji kvantne teorije, efekti mjerenja su trenutačni. No, nije moguće koristiti ovaj učinak za prenošenje informacija brzinom bržom od svjetlosti.

Kvantno sprezanje je područje veoma aktivnih istraživanja, čiji su učinci eksperimentalno demonstrirani na fotonima, neutrinima, elektronima,molekulama veličine fulerena, čak i malih dijamanata. Istraživanja se također fokusiraju na iskorištavanje navedenih učinaka za svrhe komunikacije i kvantnih računala.

Izvori

  1. Einstein A, Podolsky B, Rosen N (1935). “Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?”. Phys. Rev. 47 (10): 777–780.
  2. Schrödinger E (1935). “Discussion of probability relations between separated systems”. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 31 (4): 555–563.
  3. Schrödinger E (1936). “Probability relations between separated systems”. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 32 (3): 446–452.
  4. Physicist John Bell depicts the Einstein camp in this debate in his article entitled “Bertlmann’s socks and the nature of reality”, p. 143 of Speakable and unspeakable in quantum mechanics: “For EPR that would be an unthinkable ‘spooky action at a distance’. To avoid such action at a distance they have to attribute, to the space-time regions in question, real properties in advance of observation, correlated properties, which predetermine the outcomes of these particular observations. Since these real properties, fixed in advance of observation, are not contained in quantum formalism, that formalism for EPR is incomplete. It may be correct, as far as it goes, but the usual quantum formalism cannot be the whole story.” And again on p. 144 Bell says: “Einstein had no difficulty accepting that affairs in different places could be correlated. What he could not accept was that an intervention at one place could influence, immediately, affairs at the other.” Downloaded 5 July 2011 from Bell, J. S. (1987). Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics, CERN. Pristupljeno 14. lipnja 2014.. ISBN 0521334950
  5. 75 years of entanglement – Science News. pristupljeno 13. listopada 2014.
  6. Francis, Matthew. Quantum entanglement shows that reality can’t be local, Ars Technica, 30. listopada 2012.
  7.  Juan Yin (2013). “Bounding the speed of ‘spooky action at a distance”. Phys. Rev. Lett. 110, 260407 1303: 614.
  8. Matson, John (13. kolovoza 2012.). Quantum teleportation achieved over record distances. Nature.
  9.  Predložak:Citation
  10.  Roger Penrose, The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe, London, 2004, p. 603.
  11. “New High-Intensity Source of Polarization-Entangled Photon Pairs”. Physical Review Letters 75: 4337–4341.
  12. (Srpanj 2004.)”Experimental demonstration of five-photon entanglement and open-destination teleportation”. Nature 430: 54–58.
  13.  “Experimental entanglement of six photons in graph states”. Nature Physics 3: 91–95.
  14. “Observation of eight-photon entanglement”. Nature Photonics 6: 225–228.
  15.  J. A. Formaggio, D. I. Kaiser, M. M. Murskyj, and T. E. Weiss (2016), “Violation of the Leggett-Garg inequality in neutrino oscillations”. Phys. Rev. Lett. Prihvaćeno 23. lipnja 2016. https://journals.aps.org/prl/accepted/6f072Y00C3318d41f5739ec7f83a9acf1ad67b002
  16. Hensen, B. (21 October 2015). “Loophole-free Bell inequality violation using electron spins separated by 1.3 kilometres”. Nature 526: 682–686. Preuzeto 21. listopada 2015. Vidi i free online access version.
  17. Markoff, Jack. “Sorry, Einstein. Quantum Study Suggests ‘Spooky Action’ Is Real.”, New York Times, objavljeno 21. listopada 2015, pristupljeno 21. listopada 2015.
  18.  (14 October 1999) “Wave–particle duality of C60 molecules”. Nature 401: 680–682. Predložak:Subscription
  19.  Olaf Nairz, Markus Arndt, and Anton Zeilinger, “Quantum interference experiments with large molecules”, American Journal of Physics, 71 (April 2003) 319–325.
  20. (2. prosinca 2011.)”Entangling macroscopic diamonds at room temperature”. Science 334 (6060): 1253–1256.
  21.  sciencemag.org, supplementary materials

Šta je to Schrödingerova jednadžba?

 

Schrödingerova jednadžba

 


gdje je:

reducirana Planckova konstanta
imaginarna jedinica,
parcijalna derivacija po vremenu
valna funkcija
nabla operator
  potencijalna energija

Ova jednadžba na određeni je način postulirana (1925. godine), slično kao i Newtonovi zakoni gibanja. Schrödingerova jednadžba u okviru kvantne mehanike ima ulogu koju u klasičnoj mehanici ima drugi Newtonov zakon gibanja. Iako se do ove jednadžbe ne može doći egzaktnim matematičkim izvodom, ona je plauzibilna sa drugim poznatim fizikalnim činjenicama i očekivanim rezultatim:

– U slučaju slobodne čestice (potencijalna energija je nula), dobiva se valno rješenje, što je u skladu sa pretpostavkom o valnim svojstvima čestica, koju je postavio Louis de Broglie.

– Za makroskopske objekte mogu se zanemariti kvantni efekti, pa uz jednadžba prelazi u Hamilton-Jacobijevu jednadžbu klasične mehanike.

 

Vremenski neovisna Schrödingerova jednadžba

U mnogim slučajevima razmatra se stanje koje je stacionarno u vremenu, pa jednadžba izgleda kao:

ili:

Promatrano sa matematičkog stajališta, valna funkcija, koja je rješenje diferencijalne jednadžbe drugog reda Sturm-Liouville tipa, mora biti kontinuirana i mora imati kontinuiranu derivaciju drugog reda. S obzirom da su električni naboj i struja definirani pomoću valne funkcije, naboj i struja također su kontinuirani. Osim matematičkih uvjeta, valna funkcija, kao rješenje Schrodingerove jednadžbe, mora zadovoljavati i neke fizikalne uvjete. Očito je da valna funkcija mora biti jednoznačna i konačna u cijelom prostoru. Rubni uvjeti na gore navedenu jednadžbu, također su fizikalni uvjeti. Tako za slučaj vezanog stanja, u kojemu je , valna funkcija na velikim udaljenostima  mora težiti prema nuli.

U tom slučaju za svaku vremenski neovisnu Hamiltonovu funkciju postoji skup vlastitih funkcija (eigenfunctions) i odgovarajućih realnih vrijednosti (vlastite vrijednosti, eigenvalues), za koje vrijedi:

Ovo je svojstvo rješenja samo za najjednostavnije slučajeve, npr. jednodimenzionalni problemi. Često se pojavljuje slučaj da jedna vlastita vrijednost tj. jednom stanju energije odgovara nekoliko različitih valnih funkcija. Takav sistem naziva se degeneriranim. Stoga u gornjim izrazima ineks n može zapravo predstavljati nekoliko indeksa (kvantnih brojeva).

 

Općenito rješenje Schrodingerove jednadžbe

Kada postoje određeni , rješenje vremenski ovisne Schrodingerove jednadžbe je:

S obzirom da je Schrodingerova jednadžba linearna, vrijedi princip superpozicije rješenja, ta se generalno rješenje može prikazati kao linearna kombinacija:

Da bi ovo rješenje zadovoljavalo Schrodingerovu jednadžbu u nedegeneriranom slučaju, valne funkcije moraju biti ortogonalne, a odabrano je i da budu normirane na 1, tj. vrijedi:

gdje je:

– Kronecker delta simbol, za , inače  – kompleksno konjugirana funkcija of 
 

Fizikalno značenje valne funkcije

Sama Schrodingerova jednadžba ne daje točno fizikalno značenje valne funkcije:. Do interpretacije značenja valne funkcije može se doći razmotranjem jednadžbe kontinuiteta iz klasične fizike:

gdje je:

– gustoća naboja ovisna o položaju i vremenu

– gustoća struje
operator divergencije

Ako se Schrodingerova jednadžba pomnoži sa , a kompleksno konjugirana Schrodingerova jednadžba pomnoži sa , te dobivene izrazi oduzmu jedan od drugog, dobija se izraz:

Ako se ova jednadžba usporedi sa jednadžbom kontinuiteta, slijede izrazi za gustoću naboja i gustoću struje kao:

Iako jednadžba kontinuiteta vrijedi u klasičnoj i kvantnoj mehanici, postoji fundamentalna razlika u interpretaciji. U klasičnoj fizici gustoća se tretira kao broj čestica (diskretni broj), a struja je tok čestica (opet diskretni broj). U kvantnoj mehanici jednadžba kontinuiteta može se odnositi na ponašanje samo jedne čestice. U kvantnoj mehanici impuls i položaj čestice ne mogu se istovremeno proizvoljno točno odrediti, već je njihovo određivanje ograničeno Heisenbergovim principom neodređenosti. Stoga se i interpretacija u jednadžbi kontinuiteta mora redefinirati.

Danas je pretežito prihvaćena statistička (probabilistička, vjerojatnosna) interpretacija Maxa Borna. Prema takvoj interpretaciji, produkt treba shvatiti kao gustoću vjerojatnosti da se čestica nalazi u točki prostora definiranoj sa  r. To znači da kvantna mehanika čak i pri opisu samo jedne čestice daje statističko ponašanje.

Pri tome, Sama valna funkcija , koja može biti i kompleksna veličina, nije mjerljiva fizikalna veličina.

Prema statističkoj interpretaciji, vjerojatnost da se čestica nalazi u infinitezimalnom volumnom elementu jednaka je . Ovaj izraz može se integrirati preko cijelog prostora, a tada zbog uvjeta ortogonalnosti i normiranosti takva integral daje vrijednost 1. Dakle, čestica se sigurno nalazi negdje u tom prostoru.

Schrodingerova jednadžba ima mnoga bitna ograničenja, ova jednadžba ne može se primjenit na opis fotona. Također, nije uzet u obzir spin čestica, koji je važno fizikalno svojstvo nužno za opis mnogih fizikalnih pojava.

 

 

Šta je to kvantna mehanika?

Kvantna mehanika

 

Slika. 1: Talasne funkcije elektrona u vodonikovom atomu. Energija raste nadole: n=1,2,3,… i moment impulsa (ugaoni moment) raste s leva na desno: s, p, d,… Svetlija područja odgovaraju većoj verovatnoći gde bi mogao eksperimentalno nađe elektron.

Kvantna mehanika je fundamentalna grana teorijske fizike kojom su zamenjene klasična mehanika i klasična elektrodinamika pri opisivanju atomskih i subatomskih pojava. Ona predstavlja teorijsku podlogu mnogih disciplina fizike i hemije kao što su fizika kondenzovane materije, atomska fizika, molekulska fizika, fizička hemija, kvantna hemija, fizika čestica i nuklearna fizika. Zajedno sa Opštom teorijom relativnosti Kvantna mehanika predstavlja jedan od stubova savremene fizike.

Uvod

Izraz kvant (od latinskog quantum (množina quanta) = količina, mnoštvo, svota, iznos, deo) odnosi se na diskretne jedinice koje teorija pripisuje izvesnim fizičkim veličinama kao što su energija i moment impulsa (ugaoni moment) atoma kao što je pokazano na slici. Otkriće da talasi mogu da se prostiru kao čestice, u malim energijskim paketima koji se nazivaju kvanti dovelo je do pojave nove grane fizike koja se bavi atomskim i subatomskim sistemima a koju danas nazivamo Kvantna mehanika. Temelje kvantnoj mehanici položili su u prvoj polovini dvadesetog veka Verner Hajzenberg, Maks Plank, Luj de Broj, Nils Bor, Ervin Šredinger, Maks Born, Džon fon Nojman, Pol Dirak, Albert Ajnštajn, Volfgang Pauli i brojni drugi poznati fizičari 20. veka. Neki bazični aspekti kvantne mehanike još uvek se aktivno izučavaju.

Teorija

Postoje brojne matematički ekvivalentne formulacije kvantne mehanike. Jedna od najstarijih i najčešće korišćenih je transformaciona teorija koju je predložio Pol Dirak a koja ujedinjuje i uopštava dve ranije formulacije, matričnu mehaniku (koju je uveo Verner Hajzenberg)  i talasnu mehaniku (koju je formulisao Ervin Šredinger).

Primene

Kvantna mehanika uspeva izvanredno uspešno da objasni brojen fizičke pojave u prirodi. Na primer osobine subatomskih čestica od kojih su sačinjeni svi oblici materije mogu biti potpuno objašnjene preko kvantne mehanike. Isto, kombinovanje atoma u stvaranju molekula i viših oblika organizacije materije može se dosledno objasniti primenom kvantne mehanike iz čega je izrasla kvantna hemija, jedna od disciplina fizičke hemije. Relativistička kvantna mehanika, u principu, može da objasni skoro celokupnu hemiju. Drugim rečima, nema pojave u hemiji koja ne može da bude objašnjena kvantnomehaničkom teorijom.

Filozofske posledice

Zbog brojnih rezultata koji protivureče intuiciji kvantna mehanika je od samog zasnivanja inicirala brojne filozofske debate i tumačenja. Protekle su decenije pre nego što su bili prihvaćeni i neki od temelja kvantne mehanike poput Bornovog tumačenja amplitude verovatnoće.

Istorija

Da bi objasnio spektar zračenja koje emituje crno telo Maks Plank je 1900. godine uveo ideju o diskretnoj, dakle, kvantnoj prirodi energije. Da bi objasnio fotoelektrični efekat Ajnštajn je postulirao da se svetlosna energija prenosi u kvantima koji se danas nazivaju fotonima. Ideja da se energija zračenja prenosi u porcijama (kvantima) predstavlja izvanerdno dostignuće jer je time Plankova formula zračenja crnog tela dobila konačno i svoje fizičko objašnjenje. Godine 1913. Bor je objasnio spektar vodonikovog atoma, opet koristeći kvantizaciju ovog puta i ugaonog momenta. Na sličan način je Luj de Broj 1924. godine izložio teoriju o talasima materije tvrdeći da čestice imaju talasnu prirodu, upotpunjujući Ajnštajnovu sliku o čestičnoj prirodi talasa.

Hronologija utemeljivačkih eksperimenata

  • ~ 1805: Tomas Jungov eksperiment sa dvostrukim prorezom kojim je demonstrirana talasna priroda svetlosti.
  • 1896: Anri Bekerelov pronalazak radioaktivnosti.
  • 1897: Džozef Džon Tomsonovo otkriće elektrona i njegovog negativnog naeletrisanja u eksperimentima sa katodnom cevi.
  • 1850-1900: Ispitivanje zračenja crnog tela koje nije moglo da se objasni bez kvantnog koncepta.
  • 1905: Fotoelektrični efekat: Ajnštajnovo objašnjenje efekta (za šta je i dobio Nobelovu nagradu za fiziku) uvođenjem koncepta fotona, čestice svetlosti sa kvantiranom energijom.
  • 1909: Robert Milikenov eksperiment sa kapljicama ulja koji je pokazao da je eletrično naeletrisanje javlja u diskretnim (kvantiranim) porcijama.
  • 1911: Raderfordov ogled sa rasejanjem alfa čestica na zlatnoj foliji kojim je napušten atomski model “pudinga od šljiva” u kojem je sugerisano da su masa i naeletrisanje atoma uniformno raspoređeni po zapremini atoma.
  • 1920: Štern-Gerlahov eksperiment kojim je demonstrirana kvantna priroda spina čestice.
  • 1927: Devison (Clinton Davisson) i Džermer (Lester Germer) pokazuju talasnu prirodu elektrona in the Electron diffraction experiment.
  • 1955: Kovan (Clyde L. Cowan) i Reines (Frederick Reines) potvrđuju postojanje neutrina u neutrinskom eksperimentu.
  • 1961: Jensonov (Claus Jönsson) eksperiment sa rasejanjem elektrona na na dvostrukom prorezu.
  • 1980: Klaus fon Klicingovo (Klaus von Klitzing) otkriće kvantnog Halovog efekta. Kvantna verzija Halovog efekta omogućila je definiciju novog standarda za električni otpor i vrlo precizno nezavisno određivanje vrednosti konstante fine strukture.

Beleške

  1.  Nakon što je 1932. godine Hajzenberg dobio Nobelovu nagradu za stvaranje kvantne mehanike uloga Maksa Borna u tome bila je umanjena. Biografija Maksa Borna iz 2005. detaljno opisuje njegovu ulogu u stvaranju matrične mehanike. To je i sam Hajzenberg priznao 1950. godine u radu posvećenom Maksu Planku. Videti: Nancy Thorndike Greenspan, “The End of the Certain World: The Life and Science of Max Born (Basic Books, 2005), pp. 124 – 128, and 285 – 286.
  2.  The Davisson-Germer experiment, which demonstrates the wave nature of the electron

Literatura

  • P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics (1930) — the beginning chapters provide a very clear and comprehensible introduction
  • David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, Prentice Hall, 1995. ISBN 0-13-111892-7 — Šablon:Please check ISBN A standard undergraduate level text written in an accessible style.
  • Richard P. Feynman, Robert B. Leighton and Matthew Sands (1965). The Feynman Lectures on Physics, Addison-Wesley. Richard Feynman’s original lectures (given at Caltech in early 1962) can also be downloaded as an MP3 file from www.audible.com
  • Hugh Everett, Relative State Formulation of Quantum Mechanics, Reviews of Modern Physics vol 29, (1957) pp 454-462.
  • Bryce DeWitt, R. Neill Graham, eds, The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics, Princeton Series in Physics, Princeton University Press (1973), ISBN 0-691-08131-X
  • Albert Messiah, Quantum Mechanics, English translation by G. M. Temmer of Mécanique Quantique, 1966, John Wiley and Sons, vol. I, chapter IV, section III.
  • Richard P. Feynman, QED: The Strange Theory of Light and Matter — a popular science book about quantum mechanics and quantum field theory that contains many enlightening insights that are interesting for the expert as well
  • Marvin Chester, Primer of Quantum Mechanics, 1987, John Wiley, N.Y. ISBN 0-486-42878-8
  • Hagen Kleinert, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 3th edition, World Scientific (Singapore, 2004)(also available online here)
  • George Mackey (2004). The mathematical foundations of quantum mechanics. Dover Publications. ISBN 0-486-43517-2.
  • Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
  • Omnes, Roland (1999). Understanding Quantum Mechanics. Princeton University Press. ISBN 0-691-00435-8.
  • J. von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton University Press, 1955.
  • H. Weyl, The Theory of Groups and Quantum Mechanics, Dover Publications 1950.
  • Max Jammer, “The Conceptual Development of Quantum Mechanics” (McGraw Hill Book Co., 1966)
  • Gunther Ludwig, “Wave Mechanics” (Pergamon Press, 1968) ISBN 0-08-203204-1
  • Albert Messiah, Quantum Mechanics (Vol. I), English translation from French by G. M. Temmer, fourth printing 1966, North Holland, John Wiley & Sons.
  • Eric R. Scerri, The Periodic Table: Its Story and Its Significance, Oxford University Press, 2006. Considers the extent to which chemistry and especially the periodic system has been reduced to quantum mechanics. ISBN 0-19-530573-6
  • Slobodan Macura, Jelena Radić-Perić, ATOMISTIKA, Fakultet za fizičku hemiju Univerziteta u Beogradu/Službeni list, Beograd, 2004. (stara kvantna teorija i većina utemeljivaćkih eksperimentata).

Šta je to kvantna mehanika?

Kvantna mehanika

 

Slika. 1: Talasne funkcije elektrona u vodonikovom atomu. Energija raste nadole: n=1,2,3,… i moment impulsa (ugaoni moment) raste s leva na desno: s, p, d,… Svetlija područja odgovaraju većoj verovatnoći gde bi mogao eksperimentalno nađe elektron.

Kvantna mehanika je fundamentalna grana teorijske fizike kojom su zamenjene klasična mehanika i klasična elektrodinamika pri opisivanju atomskih i subatomskih pojava. Ona predstavlja teorijsku podlogu mnogih disciplina fizike i hemije kao što su fizika kondenzovane materije, atomska fizika, molekulska fizika, fizička hemija, kvantna hemija, fizika čestica i nuklearna fizika. Zajedno sa Opštom teorijom relativnosti Kvantna mehanika predstavlja jedan od stubova savremene fizike.

Uvod

Izraz kvant (od latinskog quantum (množina quanta) = količina, mnoštvo, svota, iznos, deo) odnosi se na diskretne jedinice koje teorija pripisuje izvesnim fizičkim veličinama kao što su energija i moment impulsa (ugaoni moment) atoma kao što je pokazano na slici. Otkriće da talasi mogu da se prostiru kao čestice, u malim energijskim paketima koji se nazivaju kvanti dovelo je do pojave nove grane fizike koja se bavi atomskim i subatomskim sistemima a koju danas nazivamo Kvantna mehanika. Temelje kvantnoj mehanici položili su u prvoj polovini dvadesetog veka Verner Hajzenberg, Maks Plank, Luj de Broj, Nils Bor, Ervin Šredinger, Maks Born, Džon fon Nojman, Pol Dirak, Albert Ajnštajn, Volfgang Pauli i brojni drugi poznati fizičari 20. veka. Neki bazični aspekti kvantne mehanike još uvek se aktivno izučavaju.

Teorija

Postoje brojne matematički ekvivalentne formulacije kvantne mehanike. Jedna od najstarijih i najčešće korišćenih je transformaciona teorija koju je predložio Pol Dirak a koja ujedinjuje i uopštava dve ranije formulacije, matričnu mehaniku (koju je uveo Verner Hajzenberg)  i talasnu mehaniku (koju je formulisao Ervin Šredinger).

Primene

Kvantna mehanika uspeva izvanredno uspešno da objasni brojen fizičke pojave u prirodi. Na primer osobine subatomskih čestica od kojih su sačinjeni svi oblici materije mogu biti potpuno objašnjene preko kvantne mehanike. Isto, kombinovanje atoma u stvaranju molekula i viših oblika organizacije materije može se dosledno objasniti primenom kvantne mehanike iz čega je izrasla kvantna hemija, jedna od disciplina fizičke hemije. Relativistička kvantna mehanika, u principu, može da objasni skoro celokupnu hemiju. Drugim rečima, nema pojave u hemiji koja ne može da bude objašnjena kvantnomehaničkom teorijom.

Filozofske posledice

Zbog brojnih rezultata koji protivureče intuiciji kvantna mehanika je od samog zasnivanja inicirala brojne filozofske debate i tumačenja. Protekle su decenije pre nego što su bili prihvaćeni i neki od temelja kvantne mehanike poput Bornovog tumačenja amplitude verovatnoće.

Istorija

Da bi objasnio spektar zračenja koje emituje crno telo Maks Plank je 1900. godine uveo ideju o diskretnoj, dakle, kvantnoj prirodi energije. Da bi objasnio fotoelektrični efekat Ajnštajn je postulirao da se svetlosna energija prenosi u kvantima koji se danas nazivaju fotonima. Ideja da se energija zračenja prenosi u porcijama (kvantima) predstavlja izvanerdno dostignuće jer je time Plankova formula zračenja crnog tela dobila konačno i svoje fizičko objašnjenje. Godine 1913. Bor je objasnio spektar vodonikovog atoma, opet koristeći kvantizaciju ovog puta i ugaonog momenta. Na sličan način je Luj de Broj 1924. godine izložio teoriju o talasima materije tvrdeći da čestice imaju talasnu prirodu, upotpunjujući Ajnštajnovu sliku o čestičnoj prirodi talasa.

Hronologija utemeljivačkih eksperimenata

  • ~ 1805: Tomas Jungov eksperiment sa dvostrukim prorezom kojim je demonstrirana talasna priroda svetlosti.
  • 1896: Anri Bekerelov pronalazak radioaktivnosti.
  • 1897: Džozef Džon Tomsonovo otkriće elektrona i njegovog negativnog naeletrisanja u eksperimentima sa katodnom cevi.
  • 1850-1900: Ispitivanje zračenja crnog tela koje nije moglo da se objasni bez kvantnog koncepta.
  • 1905: Fotoelektrični efekat: Ajnštajnovo objašnjenje efekta (za šta je i dobio Nobelovu nagradu za fiziku) uvođenjem koncepta fotona, čestice svetlosti sa kvantiranom energijom.
  • 1909: Robert Milikenov eksperiment sa kapljicama ulja koji je pokazao da je eletrično naeletrisanje javlja u diskretnim (kvantiranim) porcijama.
  • 1911: Raderfordov ogled sa rasejanjem alfa čestica na zlatnoj foliji kojim je napušten atomski model “pudinga od šljiva” u kojem je sugerisano da su masa i naeletrisanje atoma uniformno raspoređeni po zapremini atoma.
  • 1920: Štern-Gerlahov eksperiment kojim je demonstrirana kvantna priroda spina čestice.
  • 1927: Devison (Clinton Davisson) i Džermer (Lester Germer) pokazuju talasnu prirodu elektrona in the Electron diffraction experiment.
  • 1955: Kovan (Clyde L. Cowan) i Reines (Frederick Reines) potvrđuju postojanje neutrina u neutrinskom eksperimentu.
  • 1961: Jensonov (Claus Jönsson) eksperiment sa rasejanjem elektrona na na dvostrukom prorezu.
  • 1980: Klaus fon Klicingovo (Klaus von Klitzing) otkriće kvantnog Halovog efekta. Kvantna verzija Halovog efekta omogućila je definiciju novog standarda za električni otpor i vrlo precizno nezavisno određivanje vrednosti konstante fine strukture.

Beleške

  1.  Nakon što je 1932. godine Hajzenberg dobio Nobelovu nagradu za stvaranje kvantne mehanike uloga Maksa Borna u tome bila je umanjena. Biografija Maksa Borna iz 2005. detaljno opisuje njegovu ulogu u stvaranju matrične mehanike. To je i sam Hajzenberg priznao 1950. godine u radu posvećenom Maksu Planku. Videti: Nancy Thorndike Greenspan, “The End of the Certain World: The Life and Science of Max Born (Basic Books, 2005), pp. 124 – 128, and 285 – 286.
  2.  The Davisson-Germer experiment, which demonstrates the wave nature of the electron

Literatura

  • P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics (1930) — the beginning chapters provide a very clear and comprehensible introduction
  • David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, Prentice Hall, 1995. ISBN 0-13-111892-7 — Šablon:Please check ISBN A standard undergraduate level text written in an accessible style.
  • Richard P. Feynman, Robert B. Leighton and Matthew Sands (1965). The Feynman Lectures on Physics, Addison-Wesley. Richard Feynman’s original lectures (given at Caltech in early 1962) can also be downloaded as an MP3 file from www.audible.com
  • Hugh Everett, Relative State Formulation of Quantum Mechanics, Reviews of Modern Physics vol 29, (1957) pp 454-462.
  • Bryce DeWitt, R. Neill Graham, eds, The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics, Princeton Series in Physics, Princeton University Press (1973), ISBN 0-691-08131-X
  • Albert Messiah, Quantum Mechanics, English translation by G. M. Temmer of Mécanique Quantique, 1966, John Wiley and Sons, vol. I, chapter IV, section III.
  • Richard P. Feynman, QED: The Strange Theory of Light and Matter — a popular science book about quantum mechanics and quantum field theory that contains many enlightening insights that are interesting for the expert as well
  • Marvin Chester, Primer of Quantum Mechanics, 1987, John Wiley, N.Y. ISBN 0-486-42878-8
  • Hagen Kleinert, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 3th edition, World Scientific (Singapore, 2004)(also available online here)
  • George Mackey (2004). The mathematical foundations of quantum mechanics. Dover Publications. ISBN 0-486-43517-2.
  • Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
  • Omnes, Roland (1999). Understanding Quantum Mechanics. Princeton University Press. ISBN 0-691-00435-8.
  • J. von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton University Press, 1955.
  • H. Weyl, The Theory of Groups and Quantum Mechanics, Dover Publications 1950.
  • Max Jammer, “The Conceptual Development of Quantum Mechanics” (McGraw Hill Book Co., 1966)
  • Gunther Ludwig, “Wave Mechanics” (Pergamon Press, 1968) ISBN 0-08-203204-1
  • Albert Messiah, Quantum Mechanics (Vol. I), English translation from French by G. M. Temmer, fourth printing 1966, North Holland, John Wiley & Sons.
  • Eric R. Scerri, The Periodic Table: Its Story and Its Significance, Oxford University Press, 2006. Considers the extent to which chemistry and especially the periodic system has been reduced to quantum mechanics. ISBN 0-19-530573-6
  • Slobodan Macura, Jelena Radić-Perić, ATOMISTIKA, Fakultet za fizičku hemiju Univerziteta u Beogradu/Službeni list, Beograd, 2004. (stara kvantna teorija i većina utemeljivaćkih eksperimentata).