Category Archives: Klasična mehanika

Šta je to aerodinamička sila otpora?

Aerodinamička sila otpora

Aerodinamička sila otpora je sila koja djeluje suprotno od smjera kretanja nekog krutog tijela. Tijela imaju najmanju silu otpora ako im je uzdužna os u smjeru strujanja zraka.



Otpor tijela koji se kreće kroz zrak ovisi o:

gustoći zraka kroz koje se tijelo giba,
obliku tijela, njegovoj veličini, položaju u struji zraka i glatkoći površina, tj. površini dodirnih ploha tijela i zraka
površini presjeka tijela na najdebljem mjestu, okomito na pravac gibanja,
brzini gibanja tijela kroz zrak, pri ćemu otpor raste s kvadratom brzine


Veličina otpora tijela računa se pomoću jednadžbe:

gdje je:

Sile koje djeluju na aeroprofil: 1 -Napadni kut krila; 2 -Smjer kretanja; 3 -Uzgon; 4 -Aerodinamična sila otpora; 5 -Težina; 6 -Vučna sila;
R – cjelokupna aerodinamička sila otpora.
Cx – Koeficijent sile otpora tijela. Veličina se određuje istraživanjem, najčešće u aerodinamičkim tunelima, i ovisi o obliku, veličini tijela, položaju u struji zraka i glatkoći površina. Tijela aerodinamičkog oblika imaju najmanji a ravna ploča najveći koeficijent otpora.
S površina presjeka tijela na najdebljem mjestu, okomito na pravac gibanja mjereno u m2
ρ gustoća zraka (ili drugog fluida u kojem se tijelo nalazi) u kg/m3
v brzina kretanja tijela u m/s.

Izvor: https://hr.wikipedia.org/wiki/Aerodinami%C4%8Dka_sila_otpora



Šta je to Hamiltonijan?

Hamiltonijan

 
 

Hamiltonijan je funkcija ili operator, u zavisnosti od toga da li se koristi u kontekstu klasične ili kvantne mehanike, koji je od centralnog značaja za opis vremenske evolucije u fizici.

Hamiltonijan u klasičnoj fizici

U klasičnoj fizici Hamiltonijan je definisan kao Ležandrova transformacija lagranžijana. Naime, kako se uzima da je lagranžijan funkcija genralisanih koordinata, generalisanih brzina i vremena u situaciji u kojoj je pogodnije koristiti generalisane impulse potrebno je izvršiti transformaciju koja će dovesti do pojave tražene zavisnosti. Dotična transformacija je ležandrova transformacija i u njoj se zavisnost od generalisanih brzina smenjuje zavisnošću od generalisanih impulsa. Ona glasi

, gde je i broj stepeni slobode sistema, -{L}- lagranžijan sistema, a  generalisane koordinate, generalisane brzine, generalisani impulsi i vreme respektivno. Ovo je istovremeno definiciona relacija za hamiltonijan. U slučaju kada je kinetička energija sistema homogena kvadratna funkcija generalisanih brzina hamiltonijan je jednak ukupnoj energiji sistema. Ovo je najčešći slučaj i hamiltonijan se često poistovećuje sa ukupnom energijom sistema.

Izražene preko hamiltonijana, jednačine kretanja sistema (koje se zovu Hamiltonove jednačine) glase

, gde  predstavlja nepotencijalne generalisane sile. Ove jednačine pružaju nekoliko pogodnosti, među kojima su: impulsi i koordinate figurišu simetrično u jednačinama i jednačine su diferencijalne jednačine prvog reda.

Hamiltonov formalizam u klasičnoj mehanici je takođe značajan zato što pokazuje analogije između klasične i kvantne mehanike.

Hamiltonijan u kvantnoj mehanici

U kvantnoj mehanici hamiltonijan je hermitski operator i pridružen je opservabli energije. Vremensku evoluciju kvantnog sistema diktira hamiltonijan preko Šredingerove jednačine

, gde je   hamiltonijan, a  stanje sistema.

Kako hamiltonijan predstavlja energiju, njegove svojstvene vrednosti predstavljaju moguće energije koje sistem može da poseduje. Svaka opservabla čiji operator komutira sa hamiltonijanom predstavlja održanu veličinu.

Izvor: Wikipedia

Šta je to centar masa?

Centar masa

 
 

 

Primjer držanja ravnoteže: igračka će ostati u ravnoteži same mako se post nalazi točno ispod centra mase.

 

Kod kosine ako reakcija podloge nije u istoj liniji s težištem (u ovom slučaju i centra mase) dolazi do prevrtanja.
Centar masa, centar mase ili središte mase je točka koja se nalazi na prosječnoj udaljenosti od svih čestica nekog sustava ili pojedinih čestica tijela, hvatište ukupne vanjske sile koja djeluje na sustav čestica ili na tijelo. Ako se sustav čestica ili tijelo giba pod utjecajem vanjske sile, točka u kojoj se nalazi središte mase giba se kao da se u njoj nalazi sva masa sustava ili tijela. Ako tijelo nije jednolike gustoće, središte mase ne mora se nalaziti u geometrijskom središtu tijela. Središte mase katkad se nalazi i izvan volumena tijela (na primjer za tijela u obliku prstena ili potkove, za sustav zvijezda).

Središte mase podudara se s težištem tijela ako je gravitacijsko ubrzanje konstantno i jednako u svim točkama tijela. Koristi se za izračune u mehanici koji postaju jednostavniji kada se pretpostavi da se sva masa tijela nalazi koncentrirana u središtu mase. 

Centar masa ili centar mase nekoga tijela ili sustava čestica je točka u kojoj kao da je sadržana ukupna masa toga tijela ili sustava. Ovakav opis nije dovoljno jasan da bi se mogao smatrati formalnom definicijom, ali intuitivno upućuje na fizikalni smisao i neke primjene centra masa, na primjer: – količina gibanja tijela ili sustava jednaka je umnošku njegove mase i brzine njegovog centra masa; – ako na tijelo ili sustav ne djeluju vanjske sile, njegov centar masa miruje ili se giba jednoliko pravocrtno, dok se pojedini dijelovi tijela ili sustava mogu gibati drugačije (primjena 1. Newtonovog aksioma); – vanjska sila koja djeluje na tijelo ili sustav daje njegovom centru masa akceleraciju koja je jednaka omjeru te sile i mase tijela ili sustava, dok pojedini dijelovi tijela ili sustava mogu imati drugačije akceleracije (primjena 2. Newtonovog aksioma za nerelativističke brzine); – u nekim primjenama klasične mehanike koristi se pojam materijalna točka: to je matematička konstrukcija koja tijelo u cjelosti nadomješta s njegovim centrom masa, to jest prikazuje proizvoljno veliko tijelo kao točku u kojoj je doista sadržana njegova proizvoljno velika masa.

U ovome članku pojam čestica označava neku vrlo malu masu koja stvarno zauzima tako mali volumen da se njezin položaj može dobro opisati (u promatranom kontekstu) samo jednom točkom, to jest njezinim vektorom položaja. Tijelo kojemu dimenzije nisu zanemarivo male smatramo sastavljenim od ogromnog broja međusobnim silama povezanih čestica (ili zamišljamo kontinuiranu razdiobu tijela na diferencijalne elemente). Sustav čestica označava neki skup čestica koje stvarnim ili zamišljenim razgraničenjem možemo razlučiti od okoline (i koje mogu ali i ne moraju djelovati jedna na drugu).

Daljnja razmatranja temelje se na predodžbi da se pojedina čestica podudara sa svojim centrom masa (to jest volumen čestice je tako mali da je praktično sadržan u njezinom centru masa).

Definicija centra masa

Centar masa sustava od N čestica je točka C određena vektorom položaja  prema formuli

       (gdje je      ukupna masa sustava).

Pojedina čestica označena je simbolom “i” (i=1, 2, … N), tj. njezina masa je {displaystyle scriptstyle m_{i}} a njezin vektor položaja je .

Ista jednadžba može se koristiti i za određivanje centra masa sustava sastavljenog od proizvoljno velikih dijelova, ako znamo koordinate centra masa svakoga dijela. Tada je  masa pojedinog dijela, dok  označava vekor položaja centra masa toga dijela (primjer na skici dolje).

Centar masa tijela može se opisati istom gornjom formulom ako se zamišlja da se tijelo sastoji od N čestica. U stvarnom izračunu, međutim, umjesto ogromnog broja diskretnih sastavnih čestica zamišlja se kontinuirana razdioba tijela na sve sitnije dijelove, koji se graničnim procesom prevode u diferencijalne elemente mase {displaystyle scriptstyle dm} odnosno volumena . Tako se sume iz gornje jednadžbe prevode u integrale, što omogućuje korištenje poznatih metoda diferencijalnog računa:

       (gdje je      ukupna masa tijela).

Integriranje je samo simbolički naznačeno donjim indeksom uz integral: podrazumijeva se da su to trostruki određeni integrali po cijelom volumenu (“V”) tijela, kojima se konkretne granice definiraju po vanjskoj konturi tijela. Usto se u stvarnom računu diferencijalni element mase obično opisuje pomoću gustoće ρ (koja je funkcija položaja), tj. , pa formula poprima oblik

       (gdje je      ukupna masa tijela).

Centar masa homogenog tijela računa se samo pomoću njegovog volumena V. Budući da homogeno tijelo ima posvuda jednaku gustoću, ona se u gornjem izrazu za položaj centra masa vadi ispred integrala i pokrati s gustoćom u izrazu za masu  , pa se dobiva:

 .

Obrazloženje definicije: dokaz uloge centra masa

Budući da se gibanje čestice opisuje samo jednim vektorom položaja, njezina brzina i ubrzanje mogu se jednoznačno odrediti kao prva odnosno druga derivacija toga vektora položaja po vremenu. Zato je definiranje veličina i formuliranje zakona klasične mehanike najjednostavnije i najjasnije u slučaju čestice. Primjerice, poznati i praktični oblik 2. Newtonovog aksioma (u nerelativističkoj aproksimaciji) “suma sila jednaka je umnošku mase i akceleracije” predstavlja posve jasnu tvrdnju za pojedinu česticu: radi se o sumi svih sila koje djeluju na česticu, o masi čestice, te o akceleraciji čestice koja je jasno definirana preko njezinog vektora položaja.

No, postavlja se pitanje da li je moguće te zakone i veličine na sličan način formulirati i za sustav čestica, odnosno za tijelo kao cjelinu. Za spomenuti Newtonov aksiom, na primjer, nije unaprijed jasno da li je moguće i kako treba definirati pojam “akceleracija tijela”, budući da se tijelo sastoji od mnoštva čestica koje mogu imati različite akceleracije. Pokazuje se da rješenje problema omogućuje definicija centra masa.

U tu svrhu, analiziramo tijelo kao sustav čestica: za svaku česticu napišemo jednadžbu   (“suma sila jednaka je umnošku mase i akceleracije”), pa zbrojimo sve te jednadžbe. Ako za primjer uzmemo sustav od samo tri čestice s masama m1, m2, m3 odnosno akceleracijama  (a poopćenje na više čestica, odnosno tijelo, je očigledno), nakon zbrajanja dobivamo

gdje je Fv skraćena oznaka za zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na sve čestice (unutarnje sile, kojima čestice eventualno međusobno djeluju, ponište se prilikom zbrajanja zbog zakona akcije i reakcije).

Na desnoj strani dobivenog izraza pojavio se zbroj umnožaka masa i akceleracija, koji nema očiglednoga smisla, ali na prvi pogled podsjeća na zbroj umnožaka masa i vektora položaja u definiciji centra masa. Jasno je da tu definiciju samo treba dva puta derivirati po vremenu da bi se od vektora položaja dobile akceleracije:

Prva od tri gornje jednadžbe je definicija centra masa za sustav od tri čestice (pomnožena s ukupnom masom, tako da na desnoj strani ostanu samo mase i vektori položaja pojedinih čestica). Njezinim deriviranjem po vremenu dobiva se druga jednadžba (vektori položaja prelaze u brzine). Svaki pribrojnik { je količina gibanja  pojedine čestice, npr. za prvu česticu . Ukupna količna gibanja  sustava je, po definiciji, jednaka zbroju količina gibanja svih čestica. No, dobivena jednadžba pokazuje da se ona može dobiti i jednostavnije: kao umnožak ukupne mase sustava i brzine njegovog centra masa

Posljednja u gornjoj skupini od tri analogne jednadžbe dobiva se daljnjim deriviranjem po vremenu, koje prevodi brzine u akceleracije. Ona pokazuje da je zbroj umnožaka  na desnoj strani jednak umnošku ukupne mase sustava i akceleracije njegovog centra masa. To konačno omogućuje tumačenje prethodnog rezultata, koji se dobio primjenom 2. Newtonovog aksioma na pojedinačne čestice:

.

Dakle, zakon “suma sila jednaka je umnošku mase i akceleracije” jednako vrijedi i za cijeli sustav odnosno tijelo, samo što se tvrdnja dnosi na akceleraciju njegovog centra masa, a u sumi sila  preostaju samo sile koje izvana djeluju na sustav odnosno na tijelo.

Ako takvih sila nema (ili se zbrajanjem ponište), centar masa miruje ili se giba jednoliko pravocrtno (nema akceleracije), pa je ukupna količina gibanja konstantna. Pritom se pojedine čestice ili dijelovi sustava ili tijela mogu gibati na različite druge načine, odnosno mijenjati svoje količine gibanja i imati različite akceleracije.

Primjer određivanja centra masa

Centar masa čekića C određuje se pomoću centara masa njegovih dijelova

Umjesto gornjih formula za centra masa, u kojima se koristi vektor položaja  kao oznaka za sve tri koordinate centra masa, u praktičnim se primjenama najčešće pojedina kooordinata zasebno računa. Tako npr. u Kartezijevom sustavu za x-koordinatu centra masa sustava od N čestica imamo (a i preostale dvije koordinate, ako je potrebno, računaju se iz analognih izraza):

.

Račun ilustriramo na jednostavnom primjeru: na skici desno prikazan je čekić kojemu se centar masa nalazi na osi x zbog simetričnog rasporeda masa. Na početnom dijelu osi naznačene su jedinice duljine (npr. centimetri): glava čekića mase m1=2kg ima centar masa u svojemu središtu, na koordinati x1=2cm, a drška mase m2=0,5kg na koordinati x2=6cm.

Centar masa tijela sa ovako opisanim dijelovima računa se (kako je već spomenuto) po formuli za centar masa sustava čestica, pa imamo

.

Odnos centra masa i težišta tijela

Iako među njima ima dosta sličnosti u praktičnim primjenama, u usporedbi s centrom masa pojam težišta nije tako jednoznačno definiran niti ima takav fundamentalni značaj u fizici. Već i njihove opisne definicije, “točka u kojoj kao da je sadržana sva masa tijela” (centar masa) i “točka u kojoj kao da je sadržana sva težina tijela” (težište), razotkrivaju glavne razlike i sličnosti. Za razliku od centra masa, težište ne ovisi samo o građi tijela nego i o gravitacijskom polju u kojemu se tijelo nalazi. No, u homogenom gravitacijskom polju težište tijela je ista točka kao i njegov centar masa.

Gravitacijsko polje na Zemlji skoro je sasvim homogeno, pa u većini praktičnih primjena nema potrebe u računu razlikovati težište tijela od centra masa. Primjerice, tornjevi Petronas u Maleziji visoki su oko 450 metara, a njihovo težište nalazi se samo oko 2 centimetra ispod centra masa (zato što gravitacijsko polje malo opada s visinom, pa je donja polovica mase malo teža od gornje). Stoga je sasvim razumljivo da mnogi jednostavniji tekstovi i elementarni udžbenici ne upozoravju na razliku između centra masa i težišta tijela, a neki te nazive koriste kao sinonime.

Ipak, težište tijela je konceptualno posve različit pojam od centra masa. U nehomogenom gravitacijskom polju njegov položaj nije jednoznačno povezan s tijelom: ako ga je uopće moguće definirati, položaj težišta ovisi o orijentaciji tijela u polju. Usto, čak i spomenuto malo odstupanje težišta od centra masa u približno homogenom Zemljinom polju može biti značajno kod preciznijih mjerenja. Zato su u poznatim standardnim udžbenicima iz fizike ta dva pojma jasno razdvojena. 

U različitim Wikipedijama, međutim, najčešće se pojavljuje samo jedan članak, naslovljen ili kao “Težište” ili kao “Centar masa”. U nekima od tih članaka, razlika između centra masa i težišta tijela opisana je korektno, u nekima je barem spomenuta, a u nekima uopće nije.

Izvori

  1.  središte mase, , “Hrvatska enciklopedija”, Leksikografski zavod Miroslav Krleža, www.enciklopedija.hr, 2015.
  2. Young H. D., Freedman R. A., Sears and Zemansky University Physics, Addison-Wesley, San Francisco (2004)
  3. Richard Feynman, The Feynman Lectures on Physics; Volume 1, Addison Wesley, U.S.A (1964)

Glavni izvor: Tekst je u cjelosti kopiran sa Wikipedije!

Šta je to Coriolisov učinak?

Coriolisov učinak

 

Putanja kugle na podlozi koja se okreće.

 

Coriolisov učinak ili Coriolisova sila je inercijska sila koja djeluje na sve čestice u rotirajućim sustavima kad se gibaju pod nekim kutom u odnosu na rotacijsku os; okomita je na brzinu gibanja i na rotacijsku os. Ovisi o masi m i obodnoj brzini v čestica unutar sustava i kutnoj brzini sustava ω:

Djeluje na sva gibanja u atmosferi i oceanima. Na Sjevernoj polutki djeluje nadesno s obzirom na smjer gibanja, a na Južnoj polutki nalijevo. 

Coriolisov učinak, ponekad, ne sasvim točno, i Coriolisova sila (skraćeno “CorF”), odnosno devijatorna sila spada u prividne sile, kao i tromost. Djeluje na svako tijelo koje se kreće unutar rotirajućeg sustava. Prvi put ga je matematički opisao Gaspard Gustave Coriolis. Učinak je točniji naziv nego sila, jer je rezultat, a ne uzrok. Smjer Coriolisovog učinka okomit je na smjer kretanja tijela kao i na os rotacije određenog sustava. Snaga učinka proporcionalna je masi tijela koje se kreće, frekvenciji rotacije i projekciji vektora brzine na ravninu okomitu osi rotacije. Ako su smjer kretanja i os rotacije paralelni, učinak je ravan nuli.

Pojednostavljeno, sve točke na Zemlji u roku od 24 sata prijeđu puni krug. Kako se ti krugovi, krećući od polova prema ekvatoru, povećavaju, tako su i putanje tih točaka sve duže, pa tako i brzina njihovog kretanja. U meteorologiji i fizikalnoj oceanografiji Coriolisov učinak ima vrlo važnu ulogu. Zbog rotiranja Zemlje zračne i vodene mase kreću se unutar rotirajućeg sustava. Posljedica Coriolisovog učinka je da te mase na sjevernoj polutci skreću udesno, što se odnosi i na kretanje visokog odnosno niskog atmosferskog tlaka, dok su ova kretanja na južnoj polutci obrnuta. Ovaj učinak ima odraz na čitav niz drugih pojava, a pogotovo u ljudskim aktivnostima kao što je balistika i slično.

Coriolisov učinak u popularnoj kulturi

Postoji urbana legenda koja kaže da zbog Coriolisovog učinka pri istjecanju iz kade voda rotira udesno na sjevernoj polutci, a na južnoj polutci u kadama voda istječe ulijevo (prema analogiji sa zračnim masama).

Ovakvo mišljenje je netočno, a može se vrlo jednostavno provjeriti i u praksi. Budući da je Coriolisova sila rezultat umnoška mase i Coriolisovog ubrzanja, koje je jednako vektorskom umnošku kutne brzine rotacije i brzine kretanja tijela. Budući da su i masa i brzina istjecanja vode iz kade malenog reda veličine, rezultirajuća Coriolisova sila je toliko zanemarivo malog intenziteta da ne može imati nikakav učinak na smjer rotacije vode pri istjecanju iz kade. Na rotaciju vode pri istjecanju prvenstveno utječe oblik i nesimetričnost kade, te početno gibanje vode pri početku istjecanja iz kade.

Ova pojava fizikalno je zabilježena tek u laboratorijskim uvijetima gdje je simetrični kružni spremnik konusnog dna promjera 1 m napunjen do vrha, te je voda ostavljena u njemu tjedan dana kako bi se potpuno smirila te se neutraliziralo bilo kakvo početno gibanje vode. Nakon tjedan dana otvorena je mala rupa na sredini dna spremnika, te je tek nakon dugog vremena istjecanja došlo do predviđene rotacije usred izuzetno slabe Coriolisove sile. U svakodnevnim situacijama drugi su učinci koji utječu na smjer rotacije jer je Coriolisova sila preslaba da bi bila od ikakvog utjecaja.

U BBC-jevom dokumentarcu Michaela Palina “Put od pola do pola” prikazani su lokalni prevaranti iz jednog sela u Keniji koje se nalazi na samom ekvatoru, gdje turistima kao atrakciju pokazuju kako se voda koja istječe iz lavora okreće u jednom smjeru sa jedne strane linije ekvatora, dok sa druge strane te linije voda rotira u drugom smjeru. U dokumentarcu nije objašnjeno kako se radi o prijevari, međutim Coriolisov učinak oko ekvatora je ravan nuli, tako da ovakva demonstracija fizikalno neutemeljena. Demonstrator međutim pokazujući lavor okupljenim turistima svjesno okreće lavor u jednom, odnosno drugom smjeru dajući pri tome početni impuls vodi, određujući na taj način u kojem će se smjeru voda rotirati pri prezentaciji, a turisti ostaju u uvjerenju kako je posrijedi Coriolisov učinak.

Ova je navodna pojava opisana i u jednom od epizoda stripa Martin Mystère u kojem Martin na osnovu rotacije vode u kadi shvaća da se ne nalazi u Južnoj Americi, kako je do tada mislio.

Ovo krivo tumačenje je nažalost vrlo rašireno među srednjoškolskim profesorima pri podučavanju coriolisovog učinka u školama, što samo potiče dodatno širenje ove urbane legende.

Izvori

  1. Coriolisova sila, “Hrvatska enciklopedija”, Leksikografski zavod Miroslav Krleža, www.enciklopedija.hr, 2015.
  2. Bad Meteorology: The water in a sink (or toilet) rotates one way as it drains in the northern hemisphere and the other way in the southern hemisphere. (vidi pitanje “Why do teachers claim that a draining sink reflects the rotation of the Earth?”)

Glavni izvor: Wikipedia

Šta je to rezonancija i kako se postiže?

Rezonancija

 
 
 

Ovisnost amplitude titranja o frekvenciji pobude i prigušenju.

Primjer mehaničkog rezonantnog sustava: Oscilacije jednog njihala se prenosi na drugo preko užeta.
 

Titranje opruge.

 

Prikaz njihala koje se njiše uslijed gravitacijske sile. Prikazano je i naprezanje u niti T.

 

Povučemo li gudalom po sredini žice, ona će izvoditi harmonijsko titranje i pri tom ćemo čuti ton. Ton se ne bi dobro čuo bez rezonantne kutije glazbala.

 

Električni rezonantni krug može stvoriti vrlo visoke električne napone. Teslin transformator je isto primjer rezonantnog kruga.

 

Električni rezonantni sustav može biti predočen, na primjer, serijskim titrajnim krugom sastavljenim od idealnog induktiviteta L i idealnog kapaciteta C, gdje titrajni krug ne sadrži radne otpore koji bi uzrokovali gubitke energije. Pobudimo li takav titrajni krug na titranje, strujnim krugom će poteći struja kao odziv titrajnog kruga na pobudu.

 

Titrajni krug ili LC krug (lijevo) se sastoji od električne zavojnice s feritnom (feromagnetskom) jezgrom i električnog kondenzatora, a koristi se za radio sat.

 

Supravodljivi magnet NMR-spektrometra.

 

EPR spektrometar.

 

Rezonancija (kasnolat. resonantia: odjek, odzvuk) je titranje fizikalnoga sustava pobuđenog nekom vanjskom periodičnom silom kojoj se frekvencija podudara sa svojstvenom (vlastitom, karakterističnom) frekvencijom sustava. [1]Rezonancija nastaje kod sustava koji prisilno titra kada se pri određenoj frekvenciji pobude postiže maksimalna amplituda titranja. Izraženost rezonancije ovisi o prigušenju, to jest omjeru energije gubitaka i ukupne energije u sustavu.

Pojave rezonancije se uočavaju u mnogim područjima fizike: mehanici, akustici, elektrotehnici, atomskoj i nuklearnoj fizici. Na primjer u mehanici je se rezonanciji uočava kod vibriranja tijela oko njegove vlastite frekvencije vibracija. Mala i ponavljana pokretna sila proizvodi vibracije većih amplituda. Gibanje njihala primjer je pravilnog izmjenjivanja gibanja nazvanog oscilacija. Bilo da se njihalo njiše brzo ili sporo, prema i od, svaki potpuni njihaj treba isto vrijeme. Frekvencija njihanja ovisi samo o duljini užeta ili žice koja nosi masu koja se njiše na njihalu.

Pojam rezonancije povezan je s porastom jakosti (intenziteta) titraja kada se učestalost vanjske sile koja uzrokuje titraje podudara s učestalošću rezonantne frekvencije sustava. Tijekom tog procesa dolazi najčešće do naizmjenične pretvorbe jednog oblika energije u drugi, kao na primjer kinetičke u potencijalnu ili energije električnog polja u energiju magnetskog polja. Pojave vezane za rezonanciju mogu se, međutim, uočiti i u drugim fizikalnim sustavima. Prepoznatljivo je svojstvo rezonantnih sustava da, jednom pobuđeni, mogu samostalno titrati još neko vrijeme koje ovisi o prigušenju titrajnog sustava. U zamišljenom idealnom rezonantnom sustavu gdje nema prigušenja, rezonantni sustav bi nastavio titrati zauvijek.

 

Mehanička rezonancija

Za razliku od električnih rezonantnih sustava koji se temelje na električnim veličinama, mehanički rezonantni sustavi temelje se na mehaničkim veličinama kao što su, na primjer, sila i masa. Premda se mogu razmatrati fizikalno različiti mehanički rezonantni sustavi, najpoznatiji predstavnici ovakvih sustava su sustav utega i opruge te sustav njihala. Fizikalni sustav na koji ne djeluju vanjske periodične sile titra frekvencijama svojstvenima sustavu. Ako na sustav djeluju vanjske periodične sile frekvencijama različitim od svojstvenih, on će titrati u frekvencijama vanjskih sila, ali amplituda tih titraja bit će uvijek malena. Kada je frekvencija uzbudne sile upravo jednaka svojstvenoj frekvenciji sustava, amplituda je titranja velika, te nastaje rezonancija. Svojstvene frekvencije nekoga mehaničkog sustava ovise o njegovoj masi, dimenzijama i silama naprezanja koje u njem postoje. Za elastičnu šipku duljine l, mase m, podvrgnutu sili naprezanja f, karakteristične frekvencije νn dane su izrazom:

gdje je n – cijeli broj.

Mehanička rezonancija može izazvati neželjene posljedice u radu strojeva te njihovo oštećivanje, pa se pri projektiranju nastoji izbjeći. Također je važno i temeljenje strojeva da se oscilacije ne bi prenosile na građevinske elemente koji bi se u slučaju rezonancije također mogli oštetiti. Iz mehanike je pojam rezonancije prenesen i u druga područja fizike, gdje označuje niz analognih pojava kao što su električna, nuklearna, kvantnomehanička rezonancija i tako dalje.

Rezonantni sustav utega i opruge

Ovjesimo li uteg o prikladno učvršćenu oprugu, pomaknemo li zatim uteg iz ravnotežnog položaja i otpustimo ga, uteg će otpočeti periodičko gibanje tijekom kojeg će se naizmjence kinetička energija gibanja utega pretvarati u unutrašnju potencijalnu energiju opruge i obratno. Razmatanjem sila u rezonantnom sustavu utega i opruge dolazimo do sljedeće jednadžbe:

gdje je: m – masa utega, k – konstanta opruge, a x – pomak utega. Rješenje ove diferencijalne jednadžbe u stacionarnom stanju je periodička funkcija oblika:

koja se pojavljuje nakon probude, gdje je A – amplituda titranja, a

kružna frekvencija. Titrajni krug će, dakle, neprigušeno periodički zatitrati kružnom frekvencijom koja je određena veličinom mase utega i konstantom opruge. U stvarnosti valja uračunati određena prigušenja koja se javljaju u obliku trenja zraka (otpor sredstva) i energetskih gubitaka uslijed promjene oblika opruge, te će stvarna rezonantna frekvencija biti nešto niža, a titranje će biti eksponencijalno prigušeno i ovisno o rezultantnom otporu trenja koji prouzrokuje energetske gubitke.

Ovakav rezonantni sustav u frekvencijskom području rezonancije ima i neke dodatne osobine. Pod utjecajem vanjske mehaničke sile dolazi do odziva sustava u obliku gibanja, gdje je brzina gibanja utega mjera tog odziva. U stvarnosti je takva brzina ograničena rezultantnim energetskim gubicima u mehaničkom titrajnom sustavu. Međutim, uz dovoljno male gubitke u titrajnom krugu brzina gibanja može i uz malu veličinu sile poprimiti velike vrijednosti (slabo prigušen titrajni sustav) što se vidi iz jednakosti:

gdje su: v i F – brzina gibanja, odnosno mehanička sila kao funkcije kružne frekvencije, Rm – rezultantno mehaničko trenje i ostalih gubici, m – masa utaga i k – konstanta opruge.

Rezonantni sustav njihala

Ovjesimo li neku masu o nerastezljivu nit, pomaknemo li zatim masu iz ravnotežnog položaja i otpustimo je, ona će otpočeti periodičko gibanje tijekom kojeg će se naizmjence kinetička energija gibanja utega pretvarati u potencijalnu gravitacijsku energiju utega i obratno. Razmatanjem sila u rezonantnom sustavu njihala, a za male pomake mase u odnosu na duljinu niti, dolazimo do sljedeće jednadžbe:

gdje je m – ovješena masa , g – ubrzanje zemljine sile teže, l – duljina niti, a x – pomak mase iz ravnotežnog položaja. Rješenje ove diferencijalne jednadžbe u stacionarnom stanju je periodička funkcija oblika

koja se pojavljuje nakon probude, gdje je A – amplituda titranja, a

kružna frekvencija. Njihalo će, dakle, neprigušeno periodički zatitrati kružnom frekvencijom koja je ovisna o gravitacijskom ubrzanju i duljini niti. U stvarnosti valja uračunati utjecaj trenja zraka, te će stvarna rezonantna frekvencija biti nešto niža, a titranje će biti eksponencijalno prigušeno i ovisno o trenju do kojeg dolazi prilikom gibanja mase i niti kroz zrak..

Ostali mehanički rezonantni sustavi

Brojni su primjeri mehaničkih sustava koji ispoljavaju rezonantna svojstva, kao što su na primjer glazbene viljuške, različite šipke, odgovarajuće učvršćena užad i drugi. Razmatranje rezonantnih svojstava kod takvih fizikalnih sustava je, međutim, znatno složenije jer ovisi ne samo o veličini, masi i elastičnosti, već i o raspodjeli mase, te vrlo često i o pojavi stojnih valova kao oblika titranja. Rezonantne tvorevine mogu biti i veće cjeline kao dijelovi strojeva, uređaja ili građevinskih konstrukcija. Ekstremni primjer u tom smislu je razorno djelovanje rezonancije na mostu Tacoma Narrows Bridge u Washingtonu, SAD 1940. Vjetar odgovarajućeg smjera i brzine pobudio je most na gibanje (njihanje) te kako je frekvencija gibanja bila u blizini rezonantne frekvencije mosta, amplituda gibanja postajala je iz sata u sat sve veća, te konstrukcija mosta naposljetku nije izdržala i most se srušio.

Akustička rezonancija

Akustička rezonancija nastaje kada se na titranje pobudi zračni stupac u određenom prostoru i u njem stvore stojni valovi. Poželjna je kod glazbala sa žicama (rezonantne kutije, na primjer violine i gitare) te u određenim uvjetima u koncertnim dvoranama ili kazalištima, a nepoželjna u radnim prostorima kao što su tvorničke dvorane u kojima povećava buku. Akustički rezonatni sustavi su tvorevine unutar kojih titra zrak. To titranje se, u osnovi, može pojaviti u dva oblika. Prvi oblik se pojavljuje, na primjer, u zvučničkoj bas-refleksnoj kutiji gdje masa zraka u otvoru bas-refleksa stupa u rezonanciju s elastičnošću zraka zatvorenog u samoj zvučničkoj kutiji. Drugi oblik takvog titranja javlja se u obliku stojnog vala stupca zraka zatvorenog u dugoljast prostor s otvorom na vrhu i osnova je konstrukcije brojnih glazbenih instrumenata.

Električna rezonancija

Premda postoje brojne vrste fizikalno različitih vrsta titranja, posebno je zanimljiva pojava rezonancije u električnim titrajnim krugovima koja ima mnogobrojne primjene u elektrotehnici. Najjednostavniji titrajni električni sustav sastoji se od električne zavojnice i električnog kondezatora s odgovarajućim nazivnim električnim induktivitetom, odnosno električnim kapacitetom. Pobuđeni impulsom iz odgovarajućeg električnog izvora, titrajni krug će zatitrati na način da će energija određenom učestalošću naizmjence prelaziti sa zavojnice na kondenzator i natrag na zavojnicu. Tijekom tog procesa dolazi do naizmjenične pretvorbe energije magnetskog polja u zavojnici u energiju električnog polja u kondenzatoru i natrag u energiju magnetskog polja u zavojnici. Energija prelazi u obliku izmjenične električne struje periodičkog sinusoidalnog oblika i to one frekvencije koja je određena rezonantnim svojstvima titrajnog kruga.

Električni rezonantni sustav može biti predočen, na primjer, serijskim titrajnim krugom sastavljenim od idealnog induktiviteta L i idealnog kapaciteta C, gdje titrajni krug ne sadrži radne otpore koji bi uzrokovali gubitke energije. Pobudimo li takav titrajni krug na titranje, strujnim krugom će poteći struja kao odziv titrajnog kruga na pobudu. Prilike su za takav, neprigušen, slučaj općenito zadane integralno-diferencijalnom jednadžbom:

Rješenje ove diferencijalne jednadžbe u stacionarnom stanju je periodička funkcija oblika

koja se pojavljuje nakon probude, gdje je A amplituda titranja, a

kružna frekvencija. Titrajni krug će, dakle, neprigušeno periodički zatitrati kružnom frekvencijom koja je određena veličinom induktiviteta i kapaciteta. Ukoliko je u titrajnom krugu prisutan i otpor, titrajni krug će zatitrati na nešto nižoj frekvenciji uz eksponencijalno prigušenje ovisno o rezultantnom otporu koji prouzrokuje energetske gubitke.

Električni rezonantni sustavi imaju svojstvo da im u frekvencijskom području rezonancije električna impedancija poprima ekstremne vrijednosti što ima i odgovarajući utjecaj na veličinu električne struje u strujnom krugu kao odziva na vanjsku pobudu. Električna impedancija serijskog titrajnog kruga bi u idealnim uvjetima na rezonantnoj frekvenciji postala jednaka nuli, a električna impedancija paralelnog titrajnog kruga u istim uvjetima beskonačno velika. Međutim, u stvarnim uvjetima postizanje ekstrema je ograničeno rezultantnim otporom gubitaka u titrajnom krugu (radni otpor zavojnice, odn. otpor izolacije kondenzatora) te je za slučaj serijskog titrajnog kruga električna struja u serijskom titrajnom krugu određena kao

gdje su: I, U i Z – električna struja, napon i impedancija kao funkcije kružne frekvencije, Rs – nadomjestni otpor gubitaka u serijskom spoju, L – induktivitet zavojnice i C – kapacitet kondenzatora u titrajnom krugu. Na samoj rezonantnoj frekvenciji električna struja u strujnom krugu bit će ograničena nadomjestnim otporom gubitaka Rs u serijskom spoju.

Kvantnomehanička rezonancija

Kvantnomehanički sustavi, na primjer molekule ili skupine molekula, također imaju vlastite vibracijske frekvencije, a rezonancija se pojavljuje kada energija pobuđivanja odgovara razlici energija dvaju mogućih energetskih stanja sustava. Amplituda, koja u tom slučaju odgovara vjerojatnosti prijelaza, naglo se povećava kada se energija pobuđivanja:

(gdje je: h – Planckova konstanta, a ν – frekvencija) približava razlici energija dvaju kvantnih stanja. Danas su u fizici poznate mnoge pojave koje se tumače kvantnomehaničkom rezonancijom, na primjer rezonantno zračenje, rezonantno raspršenje, nuklearna rezonancija, te je na tom načelu razrađeno više metoda za određivanje energetskih stanja sustava (elektronska paramagnetska rezonancija; nuklearna magnetska rezonancija).

Nuklearna magnetska rezonancija

Nuklearna magnetska rezonancija ili NMR je apsorpcija radiofrekvencijskoga zračenja pri prijelazu između kvantnih stanja atomskih jezgri neke tvari koja se nalazi u jakom magnetskom polju. Atomske jezgre mnogih elemenata imaju kutni moment nazvan spin (engl. spin: vrtnja), koji se pojednostavnjeno može shvatiti kao vrtnja jezgre oko vlastite osi. Tomu je spinu pridružen magnetski moment jezgre. U homogenom magnetskom polju os vrtnje jezgre otklonit će se pod nekim kutom s obzirom na smjer polja, pa će se jezgra ujedno okretati (precesirati) oko osi magnetskoga polja. U skladu sa zakonima kvantne mehanike, dopuštene su samo neke orijentacije u magnetskom polju. U najjednostavnijem slučaju, za atomske jezgre sa spinom ½ (atomske jezgre vodika, ugljika, fluora, fosfora), jedine su dvije moguće orijentacije spinskih kvantnih stanja paralelna i antiparalelna orijentacija s obzirom na smjer magnetskoga polja. Ako se zatim na precesirajuću jezgru primijeni rastuće radiofrekvencijsko zračenje, jezgra će apsorbirati zračenje onda kada frekvencija zračenja postane jednaka frekvenciji precesije jezgre, te će jezgra pritom prijeći u višu energetsku razinu (antiparalelna orijentacija). Opisani proces apsorpcije zračenja naziva se magnetska rezonancija. Energija toga prijelaza ovisi o neposrednom kemijskom okruženju apsorbirajuće jezgre u molekuli, pa je to osnova primjene nuklearne magnetske rezonancije.

Posebno je važna magnetska rezonancija jezgri vodika (protona) i ugljikova izotopa 13C u organskim molekulama i biomolekulama. Zbog nedestruktivnosti i mogućnosti detekcije čak stotinjak različitih jezgri, nuklearna magnetska rezonancija se proširila iz fizike u kemiju, biokemiju, biologiju, medicinu i drugo, te je postala nezaobilaznom tehnikom za određivanje strukture tvari, ali i za proučavanja dinamike i svojstava molekula u kapljevitom i čvrstom stanju. Iznimno važno mjesto ima danas u medicinskoj dijagnostici (magnetska rezonancija). Nuklearna magnetska rezonancija se rabi i u primijenjenim istraživanjima, na primjer u poljoprivredi za utvrđivanje vlažnosti i sastava žitarica, praćenje štetnih tvari u tlu i drugo, u kemijskoj industriji za određivanje čistoće i sastava proizvoda reakcija, otapala, eksploziva, boja, u prehrambenoj industriji za kontrolu masnoća, praćenje procesa zamrzavanja, određivanje autentičnosti vina, maslinova ulja, za atestiranje mlijeka, čokolade i slično.

Elektronska paramagnetska rezonancija

Elektronska paramagnetska rezonancija (kratica EPR) ili elektronska spinska rezonancija (kratica ESR) je prijelaz između spinskih stanja nesparenog elektrona u atomima, ionima i molekulama paramagnetskih tvari u magnetskom polju. Spinski je kvantni broj elektrona 1/2, pa elektron ima dva spinska stanja. Rezonanciju elektronskoga spina pokazuju samo nespareni elektroni, jer se pri sparivanju elektrona njihovi spinovi poništavaju. Spektrometrijom EPR-a prijelazi između spinskih stanja rezonantno se pobuđuju elektromagnetskim zračenjem u mikrovalnom području. Spektar apsorbiranoga zračenja (broj, položaj, širina i relativni intenzitet spektralnih linija te međusobni razmak) odražava stanje okoline u izravnoj blizini nesparenog elektrona. Zbog njegove velike reaktivnosti malo je tvari u stabilnom stanju koje se tom tehnikom mogu istraživati. Takve su tvari električni vodiči i poluvodiči, u kojima se opažaju slobodni elektroni ili elektroni uhvaćeni u stupice, kompleksi prijelaznih metala (posebno u nekim enzimima) i nereaktivni ili slabo reaktivni slobodni radikali. Stabilni slobodni radikali često se upotrebljavaju kao priljepci na makromolekulama ili kao sonde u većim molekulskim strukturama (biološkim membranama, organelama, lipoproteinima, polimernim materijalima), pa se iz spektra EPR-a slobodnih radikala dobivaju informacije o organizaciji tih struktura.

Izvori

  1. rezonancija, “Hrvatska enciklopedija”, Leksikografski zavod Miroslav Krleža, www.enciklopedija.hr, 2016.
  2. nuklearna magnetska rezonancija (NMR), “Hrvatska enciklopedija”, Leksikografski zavod Miroslav Krleža, www.enciklopedija.hr, 2016.
  3. elektronska paramagnetska rezonancija, “Hrvatska enciklopedija”, Leksikografski zavod Miroslav Krleža, www.enciklopedija.hr, 2016.

Izvor: Wikipedia