Materijalna točka je idealizirano tijelo kojemu je ukupna masa koncentrirana u jednoj točki, misaona tvorevina kojom se, radi pojednostavnjivanja, u klasičnim fizikalnim tumačenjima nadomješta tijelo kad se pri ispitivanju njegova gibanja ne mora paziti na unutarnju građu i razlike između gibanja pojedinih njegovih dijelova i kad je svaka njegova dimenzija neusporedivo manja od ostalih prostornih dimenzija u razmatranom problemu.
Težište je materijalna točka u kojoj djeluje rezultanta sila što djeluju na neko tijelo ili sustav materijalnih točaka u polju sile teže; u toj točki može se zamisliti kao da je sabrana sva masa tijela, odnosno sustava materijalnih točaka. Ako kruto tijelo ima središte, os ili ravninusimetrije, njegovo se težište podudara s tim središtem ili leži na toj osi, odnosno u toj ravnini. U praksi se težište krutoga tijela određuje tako da se tijelo objesi u nekoj od svojih točaka; tada, u položaju ravnoteže, težište tijela leži na okomici ispod objesišta. Ako se to isto ponovi u nekoj drugoj točki tijela, težište će ponovno ležati na okomici ispod objesišta. Sjecište tako određenih okomica bit će težište tijela. Ako se tijelo ili sustav materijalnih točaka ne nalazi u polju sile teže, određuje se na sličan način središte mase, što je općenitiji pojam od težišta. Središte mase podudara se s težištem tijela ako je gravitacijsko ubrzanje konstantno i jednako u svim točkama tijela. Pravac u kojem djeluje težina tijela, a prolazi kroz njegovo težište, zove se težišnica. Tijelo, poduprto u težištu, nalazi se u ravnoteži. Težište tijela ne mora se nalaziti u samom tijelu, ono može biti i izvan tijela, na primjer kod prstena.
Kosi hitac je složeno ili krivocrtno gibanje nastalo kada vektor početne brzine izbačenog tijela (obično projektil) zatvara oštri kut prema vodoravnoj ravnini. Putanja tijela ima oblik parabole s tjemenom na vrhu. Na izbačeno tijelo djeluje vektor kose početne brzine te ubrzanje zemljine sile teže.
Hitac je izbačaj tijela u prostor i složeno gibanje koje nastane kada na izbačeno tijelo djeluje sila teža. Ovisno o smjeru vektora početne brzine prema sili teži, hitac može biti horizontalni ili vodoravni (gibanje materijalne točke koja je izbačena vodoravno u polju sile teže), okomiti (gibanje materijalne točke koja je izbačena u polju sile teže okomito prema gore ili prema dolje) i kosi (gibanje materijalne točke koja je izbačena u polju sile teže pod kutom prema vodoravnoj ravnini). Ako je otpor zraka zanemariv, putanja gibanja je parabola.
Glavni izvor: Wikipedia
Periodično kretanje je kretanje koje se posle izvesnog vremena ponavlja na isti način. Najjednostavniji oblici periodičnog kretanja su ravnomerno kružno kretanje i oscilatorno kretanje. Ravnomerno kružno kretanje je periodicno kretanje koje se odvija u okviru kruga i ima stalnu brzinu. Oscilatorno kretanje je periodično kretanje kod koga je amplituda male dužine u odnosu na dimenzije sistema. Veličine periodičnog kretanja su: elongacija, amplituda, period oscilovanja i frekvencija.
Elongacija je rastojanje oscilujućeg tela od ravnotežnog položaja. Najveća elongacija ili najveće rastojanje oscilujućeg tela od ravnotežnog položaja naziva se amplituda.
Najmanji interval vremena za koji telo izvrši jednu oscilaciju naziva se period oscilovanja. Jedinica je sekunda. Obeležava se sa T.
Gde je t = vreme, n = broj oscilacija i T = period.
Frekvencija je broj oscilacija u jedinici vremena. Obeležava se sa ν. Jedinica je Hz (herc).
Pod krutim telom se podrazumeva zamišljen mehanički sistem od velikog broja materijalnih tačaka, čija se međusobna rastojanja ne menjaju tokom vremena bez obzira da li telo miruje ili se kreće. Tokom kretanja svaka njegova tačka opisuje svoju putanju. U slučaju rotacionog kretanja sve tačke opisuju kružne putanje u ravnima koje su normalne na osu rotacije i čiji se centri nalaze na toj osi. Iz ovog se može primetiti sledeće: a) tačke koje pripadaju osi rotacije ostaju nepokretne za sve vreme kretanja tela; b) da svaka tačka tela ima svoju putanju, brzinu i ubrzanje, usled čega ove veličine ne mogu da posluže za određivanje kretanja celog tela; c) da se radijus vektori svih tačaka (vektor povučen iz centra odgovarajuće kružnice u datu tačku) zaokrenu za isti ugao Δφ u toku rotacije. Ugao Δφ naziva se ugao zaokreta ili ugaoni pomeraj celog krutog tela.
Ugaoni pomeraj uzima se kao jedna od kinematičkih karakteristika rotacionog kretanja krutog tela, jer je isti za sve njegove tačke. Da bi smo definisali kretanje, vezaćemo za osu rotacije z-osu Dekartovog pravouglog koordinatnog sistema i smatraćemo da je smer rotacije tela pozitivan ako ugaoni pomeraj raste od nepomične ravni I u smeru koji je suprotan smeru obrtanja kazaljke na satu (za posmatrača koji gleda iz pozitivnog smera z-ose) a da je negativan – ako raste u smeru obrtanja kazaljke na satu.
Rotaciono kretanje čvrstih tela
Pri rotaciji tela veličina ugaonog pomeraja Δφ raste u toku vremena po zakonu:
Funkcija koja u odnosu na datu osu određuje položaj tela u svakom trenutku smatra se da je jednoznačna, neprekidna i diferencijabilna u toku celog kretanja.
Da bi ugaoni pomeraj definisao rotaciju tela mora se prikazati kao uslovni vektor:
Intenzitet vektora Δφ ⃗ je brojno jednak ugaonom pomeraju Δφ , pravac se poklapa sa osom rotacije a smer je na onu stranu odakle se vidi da se rotacija vrši u pozitivnom smeru. Vektor ω ⃗o je ort ose rotacije. Treba naglasiti da se samo vrlo mali ugaoni pomeraji ?φ mogu tretirati kao vektori, jer podležu vektorskom sabiranju odnosno vektorskoj algebri
Pored ugaonog pomeraja kinematičke karakteristike obrtanja krutog tela oko nepokretne ose su još i ugaona brzina ω i ugaono ubrzanje α .
Srednja ugaona brzina (za dati vremenski interval) jednaka je količniku priraštaja ugaonog pomeraja i vremenskog intervala u kojem je taj priraštaj nastao.
Granična vrednost količnika Δφ ⃗ / Δ? , kada Δ? teži nuli , naziva se trenutna ugaona brzina ,
Prema ovoj jednačini se vidi da je ugaona brzina tela jednaka prvom izvodu vektora pomeraja po vremenu. Vektor ugaone brzine ω ⃗ ima intenzitet jednak ?φ / ?? , pravac duž ose rotacije tela, a smer joj se određuje po pravilu desnog zavrtnja.Odnosno to je vektor kolinearan sa vektorom ugaonog pomeraja , pa se može predstaviti u obliku :
Rotacija tela sa konstantnom ugaonom brzinom ω ⃗ = const naziva se jednako rotaciono kretanje – periodično kretanje.
Pri neravnomernom obrtanju tela oko nepokretne ose, ugaona brzina je promenljiva. Promena vektora ugaone brzine u nekom intervalu vremena Δ? naziva se srednje ugaono ubrzanje :
Granična vrednost kojoj teži odnos (Δω ⃗)/Δt , kad Δ? teži nuli, naziva se trenutnim ugaonim ubrzanjem:
jer je ω ⃗ 0 = const.
Dakle, ugaono ubrzanje obrtnog tela jednako je prvom izvodu vektora ugaone brzine po vremenu. Vektor ugaonog ubrzanja α ⃗ leži na osi rotacije kao i vektor ugaone brzine, a njegov smer zavisi od znaka priraštaja ugaone brzine. Ako je obrtanje tela ubrzano onda se smer vektora ugaonog ubrzanja poklapa sa smerom vektora ugaone brzine, a ako je obrtanje usporeno onda ovi vektori imaju suprotne smerove.
Jedinica ugaone brzine je jedan radijan u sekundi ( rad/s) , dok je jedinica ugaonog ubrzanja radijan u sekundi na kvadrat ( rad/s2 ).
Ako je ugaona brzina ω ⃗ tela koje rotira konstantna u nekom vremenskom intervalu, takvo rotaciono kretanje naziva se ravnomerno rotaciono . U tom slučaju, integraljenjem jednačine
možemo dobiti zakon ravnomernog obrtanja tela. Pretpostavićemo da je u početnom trenutku ?=0 vrednost ugla φ = φ0 , tada integraljenjem dobijamo:
Prema tome ravnomerno rotaciono kretanje karakteriše se sledećim jednačinama:
Ako je vektor ugaonog ubrzanja α ⃗ = const u nekom vremenskom intervalu, takvo kretanje tela naziva se ravnomerno ubrzanim, pa na osnovu definicije imamo:
Zakon ravnomerno promenljivog obrtanja tela dobijamo integraljenjem ove jednačine uz uslov da je u početnom trenutku ?=0 ugaona brzina bila ω = ω0 :
ovu jednačinu možemo napisati u obliku
posle njenog integraljenja sa istim početnim uslovima, dobijamo zakon promenljivog obrtanja krutog tela oko nepokretne ose u obliku
Na osnovu dobijenih jednačina vidi se analogija formula sa ravnomernim i jednako ubrzanim translatornim kretanjem.
Pomnožimo li jednačinu s nazivnikom dobijemo da je:
Uz to formula za vrijeme glasi:
Formula za s se može zaključiti i iz prikaza v-t grafika jednolikog kretanja, gdje dobijemo lik pravougaonika ili kvadrata nakon prikazivanja dobivenih vrijednosti v u odnosu na t. Budući da se površina tih geometrijskih likova prikazuje proizvodom njihovih suprotnih stranica, tako i ovdje za traženi s možemo pomnožiti stranice v i t.
Formula za v dobije se iz s-t grafika, gdje se dobije lik trokuta, pa se tako i ta formula zaključi.
Vodoravni hitac je gibanje čestice koja je izbačena vodoravno početnom brzinom u polju sile teže. Ako je zanemariv otpor zraka, staza čestice je parabola.
Pri vodoravnom hitcu važno je znati dvije stvari:
1. Brzina se u vodoravnom smjeru s vremenom ne povećava, niti smanjuje, a put je u istom vremenskom razmaku jednak te se izračunava pomoću formule za jednoliko gibanje:
2. Brzina u okomitom smjeru raste po formuli za jednoliko ubrzano gibanje:
Pri promjeni početne brzine v0 ukupno vrijeme trajanja puta tijela do dna je jednako. Trajanje puta, dakle ovisi jedino o visini tijela od tla.
Za izračunavanje ukupno prijeđenog puta: prvo treba izračunati vrijeme t, za koje tijelo padne na tlo, pomoću formule t2=2s/a; a zatim uvrstiti to vrijeme t u formulu
Za izračunavanje brzine na kraju puta: treba izračunati samo v-okomitu, pošto je vodoravna brzina konstantna.
Isto tako računamo brzinu v i put s u nekom vremenu t.
Vodoravni hitac spada u posebne slučajeve hica u zrakopraznom prostoru, u koje još spada okomiti hitac u vis, okomiti hitac dolje i slobodni pad. Vodoravni hitac je posebna vrsta kosog hitca, koji predstavlja sastavljeno gibanje slobodne materijalne točke M na koju djeluje jednoliko gravitacijsko polje. Kad je kosi hitac u vodoravnom smjeru, predstavlja jednoliko gibanje po pravcu brzinom koja je konstantna.
Kosi hitac je kretanje tijela bačenog početnom brzinom pod određenim uglom. Putanja je parabola s tjemenom na vrhu. Ugao pod kojim je tijelo bačeno zove se ugao elevacije ili elevacioni ugao.
Vektor početne brzine v0 zaklapa ugao α sa horizontalom. Zbog toga se on rastavlja na dvije komponente: horizontalnu i okomitu.
Horizontalna komponenta brzine
Ona je odgovorna za kretanje tijela po x-osi, odnosno po horizontali. Što je veća horizontalna komponenta brzine, tijelo će imati veći domet.
Vertikalna komponenta brzine
U početnom trenutku
Iz ovoga se vidi da je kretanje po y-osi zapravo vertikalni hitac uvis, a sam kosi hitac je slaganje dvaju kretanja: jednakopromjenjivog po y-osi i ravnomjernog pravolinijskog po x-osi, zbog čega je putanja krivulja – parabola. Ukoliko otpor zraka ima uticaj na putanju, onda je putanja tzv. balistička kriva.
Obilježimo sa t1 vrijeme penjanja do maksimalne visine h. Posmatrajmo kretanje po y-osi. Na osnovu formule za vertikalnu brzinu
Komponente početne brzine i putanja kosog hica
ili
Ukupno vrijeme t ćemo naći ako u jednačinu puta po y-osi
ili
Odavde vidimo da je
Tijelo će doći u najvišu tačku ta vrijeme
Maksimalna visina hica
ili
Domet je pređeni put po x-osi, odnosno po horizontali. Domet kosog hica zavisi, kao i sve ostalo, od početne brzine i elevacionog ugla. Pošto je kretanje po x-osi ravnomjerno pravolinijsko, domet je jednak proizvodu horizontalne brzine vx i ukupnog vremena kretanja t.
Domet kosog hica
Domet je najveći za ugao α = 45° i iznosi
Vertikalni hitac je kretanje tijela u vertikalnom smjeru, najčešće se podrazumjeva da se to kretanje odvija na Zemlji (tj. u aproksimativno-homogenom polju). Pri vertikalnom hitcu tijelu dajemo početnu komponentu brzine u vertikalnom smjeru
