Postoji li beskonačnost?

Ovo je iznenađujuće drevno pitanje. To je bio Aristotel koji je prvi put uveo jasnu
razliku kako bi pomogao napraviti smisao od ovog. On je razlikovao između dvije vrste beskonačnosti. Jednu
od njih je nazvao potencijalnu beskonačnost: ovo je
vrsta beskonačnosti koja karakterizira beskrajan Svemir ili beskrajan popis, na primjer prirodni brojevi 1,2,3,4,5, …, koji se nastavljaju
zauvijek. To su popisi ili rasporedi koji nemaju kraj ili granicu: nikad ne možete doći do kraja svih brojeva unosom ih, ili kraj beskrajanog svemira putujući u
svemirskom brodu. Aristotel je bio vrlo sretan zbog tih potencijalnih beskonačnosti, priznao je da one postoje i one nisu stvorile nikakav veliki skandal u načinu razmišljanja o Svemiru.

Aristotel je razlikovao potencijalne beskonačnosti od onoga što je zvao stvarna beskonačnost. To bi bilo nešto što možete mjeriti, nešto lokalno, na primjer gustoća ili sijaj ili temperatura objekta, postaje beskonačna na određenom mjestu ili vremenu. Ti bi mogao susresti ovu beskonačnost na lokalnoj razini
Svemira. Aristotel je zabranio stvarne beskonačnosti: rekao je da ne mogu postojati. Ovo je povezano s njegovim drugim uvjerenjem
da ne može biti savršeni vakuum u prirodi. Ako bi mogao, vjerovao je da možeš gurati i ubrzati objekt
do beskonačne brzine, jer se neće susresti s otporom.

Za nekoliko hiljada godina Aristotelova filozofija podupirala je zapadnu dogmu i uvjerenje o prirodi Svemira. Ljudi su i dalje vjerovali da stvarne beskonačnosti ne postoje, zapravo jedina stvarna beskonačnost koja je trebala da postoji bila je božanska.



Matematičke beskonačnosti
Ali u svijetu matematike stvari su se promijenile krajem 19.-og vijeka kada je matematičar Georg Cantor razvio suptilniji način definisanja
matematičkih beskonačnosti. Kantor je prepoznao da postoji najmanja vrsta beskonačnosti: beskrajna lista prirodnih brojeva 1,2,3,4,5, …. On ih je
nazvalo brojna beskonačnost. Bilo koja druga beskonačnost koja bi mogla biti prebrojajući se svojim članovima u jedan-na-jedan korespondenciji sa prirodnim brojevima takođe se naziva brojnom beskonačnosti.

Ova ideja imala je neke šokantne posljedice. Na primjer, lista svih parnih brojeva su takođe brojne beskonačnosti. Intuitivno mislite
ima samo polovina beskonačnosti prirodnih brojeva jer to bilo bi tačno za konačnu listu. Ali kad postane lista beskrajna to više nije tačno. Možete nacrtati liniju od 1 do 2 i od 2 do 4 i od 3 do 6 i tako dalje za dvije liste. Svaki parni broj biće povezan sa jednim brojem na listi prirodnih brojeva, pa tako
su toliko brojeva na jednoj listi koliko ih ima u drugoj. Ovu činjenicu prvi put je primijetio Galileo (iako je brojao kvadrate 1, 4, 9, 16, …, umjesto parnih brojeva) koji je pomislio da je to tako previše čudno da dalje razmišlja o beskonačnim zbirkama stvari. On
je mislio je da je beskonačnost nešto opasno paradoksalno. Za Cantor, ipak, ova mogućnost stvaranja korespondencije jedan-na-jedan između skupa brojeva i podsetova je osobina beskonačnih nizova.

Kantor je zatim pokazao da postoje i druge vrste beskonačnosti koje su u nekom smislu beskrajno veće jer se na taj način ne mogu računati. Jedna takva beskonačnost spisak svih realnih brojeva. Ne postoji recept za njihovo sistematsko navođenje. Ova
beskrajna beskonačnost se naziva kontinuumom.

Ali pronalazak ovog beskrajno većeg skupa realnih brojeva nije bio kraj priče. Kantor je pokazao da možete naći beskonačno veće komade i tako bez kraja: nije bilo najveće moguće beskonačne
zbirke stvari. Ako vam je neko predstavio beskonačni set A, vi možete stvoriti veći koji nije u pojedinačnoj korespondenciji sa A samo pronalaženjem zbirke svih mogućih podgrupa A. Ova nevjerovatna kula beskonačnosti je ukazala na
nešto nazvano apsolutnom beskonačnošću – na
nedostižan samit kule beskonačnosti.

Matematički, Cantor je tretirao infinitete ne samo kao
potencijal, ali kao stvarnost. Možete dodati
zajedno beskonačnost plus još jedna brojna beskonačnost – i tako dalje. Bila je velika rasprava
u matematici o tome da li je ovo dozvoljeno. Neki matematičari misle da su dozvoljavajući Kantorove transfinitne količine, kako su ih zvali,
u matematiku, uvodili neku vrstu suptilne kontradikcije negdje. A ako uvedete kontradikcije u logičan sistem, onda ćete na kraju moći da dokažete da je sve tačno, tako da bi to dovelo do kolapsa čitavog sistema matematike.

Ova briga je dovela do konstruktivističke matematike, koja samo dozvoljava matematičke objekte koje možete konstruisati konačnim nizom logičkih argumenta. Tada tvoja matematika postaje malo kao što može računar da uradi. Postavili ste određene aksiome i samo stvari koje se od njih mogu zaključiti konačnim nizom
logičnih koraka koje se smatraju istinitim. To znači da nije dozvoljeno koristiti dokaz
kontradiktornosti (ili zakon izuzete sredine) kao aksiom, predlažejući da nešto ne postoji, a zatim da proizvede kontradiktornost iz tog prijedloga da zaključi da mora postojati. Zagovornici konstruktivisti devetnaestog vijeka su bili holandski matematičar
LEJ Brouwer i Leopold Kroneker i iz dvadesetog vijeka Hermann Vejl. Još uvek ima nekih matematičara
koji žele da definišu matematiku na ovaj način iz filozofskih razloga i drugi koji su samo zainteresovani za ono što možete dokazati ako to definišete na ovaj ograničen način.

Ali generalno, Kantorove ideje su prihvaćene i danas formiraju svoju vlastitu podružnicu
čiste matematike. To je dovelo da neki filozofi pa čak i neki teolozi preispitaju svoje drevne stavove prema beskonačnosti. Zato što su sasvim drugačije
varijante beskonačnosti, jasno je da
ne morate gledati na izgled matematičke beskonačnosti kao neke vrste izazova za
božanstveno kao što su vjerovali srednjovekovni teolozi. Kantorove ideje su u početku zapravo uzvišeni je uzimali savremeni teolozi nego matematičari.

Naučnici su takođe počeli razlikovati između matematičkih i fizičkih beskonačnosti. U matematici, ako nešto kažeš “postoji”, mislite da ne predstavlja logičnu kontradikcija uz određeni skup pravila. Ali to ne znači to može da sjedi na stolu ili da trči negdje naokolo. Jednorozi nisu logična nemogućnost, ali to ne znači da postoje biološki. Kada matematičari su pokazali da ne-evklidske geometrije mogu postojati,
oni su pokazali da postoji aksiomatski sistem koji ih dozvoljava, a da nije samo-kontradiktoran.



Fizičke beskonačnosti

Tako su beskonačnosti u modernoj fizici
odvojene od istraživanja beskonačnosti u matematici. Jedna oblast u fizici u kojoj se nekada predviđa beskonačnost je mehanika fluida. Na primjer talas može postati vrlo, vrlo strm i
nelinearan i onda formirati šok. U jednačinama to
formiranje udarnog talasa neke količine može postati
beskonačno. Ali kada se to dogodi, obično pretpostavljate da je to samo neuspjeh
vašeg modela. Možda ste zanemarili da uzmete u obzir trenje ili viskozitet i kada to uključite u svoje jednačine
brzina gradijenta postaje konačna – ipak bi mogla biti vrlo strma, ali viskoznost u stvarnosti gladi preko beskonačnosti. U većini dijelova nauke ako vidite beskonačnost, pretpostavljate da to posljedica
netačnosti ili nepotpunosti vašeg modela. U fizici čestica postojao je mnogo dugotrajniji i suptilniji problem. Kvantna elektrodinamika je najbolja teorija
u čitavoj nauci, njena predviđanja su tačnija od
svega što znamo o Univerzumu. Pa ipak
iznošenje navedenih predviđanja uzrokuje neugodan problem: kada ste izvršili obračun za prikaz
šta biste trebali posmatrati u eksperimentu dobili bi uvijek odgovor beskonačno sa dodatnim konačnim dijelom. Ako ste se onda oduzeli
beskonačnost, konačni dio sa kojim ste ostali, bio je
predviđanje koje ste očekivali u laboratoriji. I to je uvijek odgovaralo rezultatu eksperimenta fantastično tačno. Ovaj proces uklanjanja beskonačnosti se naziva renormalizacijom. Mnogi poznati fizičari su to smatrali duboko nezadovoljavajućim. Mislili su da bi to mogao biti simptom pogrešne teorije.

Zbog toga je teorija struna stvorila veliko uzbuđenje u osamdesetim godinama i zašto je to iznenada postalo istraženo od strane velikog broja fizičara. Bilo je
prvi put da su fizičari čestica našli konačnu teoriju, teoriju koja nije imala ove beskonačnosti. To
je zamenilo tradicionalni pojam da najosnovniji
entiteti u teoriji (na primjer fotoni ili elektroni) treba da budu objekti poput tačke koji se kreću kroz prostor i
vrijeme. Umjesto toga, teorija struna
smatra da su najosnovniji entiteti linije ili male
petlje koje prave cijevi dok se kreću. Kada imate dvije tačkaste čestice koje se kreću kroz prostor i interaguju, to je kao da dvije linije udaraju jedna u drugu i formiraju oštar ugao na mjestu gdje se susreću. Taj je oštar ugao slika koja je izvor beskonačnosti u opisu. Ali
ako imate dvije petlje koje se nalaze zajedno, to je više kao dvije nogavice od pantalona. Zatim još dva para izlaze iz interakcije što je slično kao da ste zašili jedne pantalone za druge. Dobijete blag prijelaz. Zbog toga je teorija struna bila privlačna, jer je bila prva konačna teorija fizike čestica.



Kosmološke beskonačnosti

Pojavljuje se još jedna vrsta beskonačnosti
u gravitacionoj teoriji i kosmologiji. Einsteinova teorija opšte relativnost sugeriše da je sveobuhvatni univerzum započet u vremenu u krajnjoj prošlosti kada je bila njegova gustina
beskonačna- to je ono što zovemo Big Bang. Einsteinova teorija takođe predviđa da ako padnete u crnu rupu i ima mnogo crnih rupa u našoj Galaksiji i
u blizini, nalazili biste u beskonačnoj
gustini u centru. Ove beskonačnosti, ako postoje, biće
stvarne beskonačnosti.

Ljudi različito gledaju na ove beskonačnosti. Kosmolozi koji dolaze iz fizike čestica i zainteresovani su za šta
teorija struna ima reći o početku Univerzuma
imaju tendenciju da smatraju da ove beskonačnosti nisu stvarne, da su one samo
artefakt nedovršenog karaktera naše teorije. Ima i drugih, Rodžer
Penrose na primjer, misli da početna beskonačnost
Univerzuma igra veoma važnu ulogu u
strukturi fizike. Ali čak i ako su ove beskonačnosti artefakat,
gustina i dalje postaje nevjerovatno visoka: 1096 puta veća od vode. Za sve praktične svrhe gustine su toliko visoke da nam treba bolji opis efekata kvantne teorije na karakter prostora, vremena i gravitacije da bi se razumjelo šta se tamo dešava.

Nešto vrlo čudno može se dogoditi ako pretpostavimo da će naš Univerzum eventualno prestati da se širi i sklapa ugovor nazad u drugu beskonačnost, Big crunch (veliko sažimanje). To bi moglo biti ne-simultano, jer neki dijelovi Univerzuma, gde postoje galaksije i tako dalje, gušći su od
drugih. Mjesta koja su gušća će se naći u njihovoj budućnosti u beskonačnosti prije regiona niske gustine. Prema ovom mi bi mogli vidjeti već sad da se kraj
Univerzuma dešava na drugim mestima – vidjeli bi smo nešto beskonačno. Možda ćete vidjeti dokaze o kraju vremena i prostora drugdje.

Ali teško je precizno predvideti šta ćete vidjeti ako se negdje stvori beskonačnost. Naš Univerzuma
u ovom trenutku, ima čudan odbrambeni mehanizam. A jednostavno tumačenje stvari sugeriše da se javlja beskonačna gustina
u centru svake crne rupe, što je baš kao beskonačnost
na kraju svemira. Ali crna rupa stvara horizont oko ovog fenomena: čak ni svjetlost ne može
pobjeći iz njene okoline. Znači, mi smo izolovani, ne vidimo šta se dešava
na mjesta gdje gustina izgleda kao da će biti beskonačna. I
na nas ne utiče beskonačnost. Ovi horizonti štite nas od posljedica mjesta gdje je
bi gustina mogla biti beskonačna i sprečavaju nas da vidimo šta se dešava
tamo, osim ako smo naravno u crnoj rupi.

Drugo pitanje je da li je naš Univerzum prostorski ograničen ili
beskonačan.Mogao bi
biti konačan, ali veličine koja je proizvoljno velika. Ali mnogim ljudima ideja o
kraju Univerzuma odmah postavlja pitanje o tome šta je iza njega. Ne postoji ništa iza- Univerzum je sve što jest. Da shvatimo ovo, razmislimo o dvodimenzionalnim univerzumima
jer je lakše
predvidjeti. Ako podignemo list A4 papira, vidimo da ima
ivice, tako
kako je moguće da konačni univerzum nema prednosti? Ali
poenta je da je
parče papira ravno. Ako razmišljamo o zatvorenoj 2D površini koja je zakrivljena, recimo
površina sfere, onda je područje sfere konačno. Ali ako hodate okolo
na njoj, za razliku od ravnog papira, nikada se ne susrećete sa ivicom. Dakle
zakrivljeni prostori mogu biti konačni, ali nemaju granice ili ivice.

Da bismo razumjeli rastući dvodimenzionalni Univerzum, prvo pomislimo na
beskonačni slučaj u kojem Svemir izgleda isto u prosjeku gdje god
gledali. Onda, gdje god da stojite i pogledate oko sebe, to izgleda kao da se Svemir širi od vas u centru jer svako mjesto
je kao centar. Za konačni sferni univerzum zamislite
sferu kao balon sa galaksijama označenim na površini. Kada
počnete da ga naduvavate, galaksije počinju da odstupaju jedna od druge. Gde god da stojite na površini balona
vidjeli biste da se sve te galaksije šire od vas kako
guma se širi. Centar ekspanzije nije površina, u drugoj dimenziji, u ovom slučaju trećoj
dimenziji. Dakle, naš trodimenzionalni Univerzum, ako je on konačan i
pozitivno zakrivljen,
ponaša se kao da je to trodimenzionalna površina imaginarne
četvorodimenzionalne lopte.

Ajnštajn nam je rekao da geometriju prostora određuje gustina materijala u njemu. Npr. ako stavljate materijal na trampolin, zakrivi se. Ako u prostoru postoji puno materijala, on izaziva ogromnu depresiju i prostor se zatvara. Dakle, univerzum visoke gustine zahtjeva sferičnu geometriju i imaće konačni volumen. Ali, ako imate relativno malo materijala
koji deformira prostor, dobijate negativno zakrivljeni prostor, oblikovan kao sedlo. Tako negativno
zakrivljeni prostor može nastaviti da se isteže i širi
zauvijek. Univerzum u maloj gustini, ako
ima jednostavnu geometriju, imaće beskonačnu veličinu i zapreminu. Ali ako
on ima egzotičniju topologiju, poput torusa, može takođe imati i konačni volumen. Jedna od
misterija Ajnštajnovih jednadžbi je to što oni kažu kako možete izraditi geometriju iz distribucije materije, ali njegove jednačine nemaju šta da kažu o topologiji Univerzuma. Možda dublja teorija
kvantna gravitacija će reći nešto o tome.

Izvor: www.maths.org


Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *