Jedan od načina za rješavanje problema je da izbrojite sve trouglove. Ako imamo dvije unutrašnje horizontalne linije i 2 unutrašnje vertikalne kose onda postoji ih 18, kako je ilustrovano ovdje:
Da bi ste vidjeli univerzalnu formulu za bilo koji broj linija pročitajte do kraja.
Problem sa prebrojavanjem je da to morate raditi na svakoj varijanti. Kao šta je ako dodamo još jednu vertikalnu liniju? Ili još jednu horizontalnu liniju? Ne bi bilo načina da učenik može izaći iz svake varijacije na ispitu pod vremenskim ograničenjima.
Ono što čini problem zanimljivim, zapravo je sistematski način da se računa od matematičkog obrazca.
Matematički trik
Jedan trokut (bez unutrašnje linije) ima samo jedan trougao.
Šta ako ima 1 kosu liniju u unutrašnjosti? Koliko je ukupno trouglova?
Postoji tri trougla. Postoji 1 veliki trougao (od slučaja bez unutrašnjih linija), a zatim postoje 2 nova trougla, što čini 3 = 1 + 2.
Ako dodamo drugu kosu vertikalnu liniju, završimo sa 6 = 1 + 2 + 3. To je zato što imamo 1 + 2 iz 1 nagnutog linijskog slučaja, plus imamo još tri trougla. Još jedan način da to vidimo je da imamo veliki trougao, dva srednja trougla, a zatim tri mala trougla:
Sada smo identifikovali obrazac. Jedan trougao podjeljen sa n vertikalnih linija imaće ukupan broj trouglova jednak 1 + 2 + 3 + … + n + (n + 1) = (n + 1) (n + 2) / 2.
Kako možemo opravdati ovu formulu? Imajte na umu da ako dodamo 2 vertikalne strane trougla, postoji ukupno n + 2 vertikalnih kosih linija. Trougao se formira sa bilo koje 2 kose linije plus horizontalna osnova trougla. Stoga je broj trouglova:
C (n + 2, 2) = (n + 1) (n + 2) / 2
Pa kako nam to pomaže u prvobitnom problemu?
Rješavanje prvobitnog izazova
Znamo da trougao sa 2 vertikalne linije ima 1 + 2 + 3 = 6 trouglova. To važi za sve takve figure.
Ako kombinujemo tri oblika, cijela figura ima ukupno 6 + 6 + 6 = 18 trouglova (možete provjeriti da nismo stvorili neki drugi trougao).
To je prilično uredan trik i možemo ga koristiti za rješavanje još složenijih figura.
Formula se takođe može generalizovati. Obratite pažnju na trougao koji se formira ako postoji samo ako kombinujemo dvije vertikalne linije i jednu horizontalnu liniju. Ako u unutrašnjosti postoje n kosih linija, a u unutrasnjosti postoje k horizontalne linije, onda je ukupan broj trouglova:
C(n + 2, 2) × (k + 1) = (n + 1)(n + 2)(k + 1)/2
Dokaz je trougao formiran sa bilo kojih 2 kosih linija i 1 horizontalne linije. Postoji ukupno n + 2 ukupno kosih linija (uključujući i dve strane trougla), a postoje ukupno k + 1 horizontalne linije (uključujući i 1 horizontalnu liniju strane trougla).
Ili možete samo prebrojiti ukupne linije, a ne samo unutrašnje linije. Pošto postoje n = n + 2 totalne kosih linija i K = k + 1 horizontalne linije, možemo napisati formulu kao:
C (N, 2) × K = N (N – 1) K / 2
Ako uvrstimo da je broj kosih linija N = 4 (2 unutrašnje i 2 vanjske) i broj horizontalnih linija K = 4 (3 unutrašnje i 1 vanjska), onda dobijemo kao rezultat za sljedeći problem:
24!
Ko bi znao da bi ovaj zanimljiv problem otkrio takav interesantan obrazac?
