Šta su to nelinearni sistemi?

U matematici i fizičkim naukama, nelinearni sistem je sistem u kojem promjena izlaza nije proporcionalna promjenama ulaza. Nelinearni problemi su od interesa za inženjere, biologe, fizičare, matematičare i mnoge druge naučnike jer je većina sistema inherentno nelinearna po prirodi. Nelinearni dinamički sistemi, koji opisuju promjene tokom vremena, mogu se pojaviti kao haotični, nepredvidljivi ili kontraintuktivni, u kontrastu sa mnogo jednostavnijim linearnim sistemima.

Tipično, ponašanje nelinearnog sistema u matematici je opisano nelinearnim sistemom jednačina, što je skup istovremenih jednačina u kojima se nepoznate (ili nepoznate funkcije u slučaju diferencijalnih jednačina) pojavljuju kao varijable polinoma stepena višeg od jedan ili u argumentu funkcije koja nije polinom od stepena 1. Drugim riječima, u nelinearnom sistemu jednačine koje treba riješiti ne mogu se upisati kao linearna kombinacija nepoznatih varijabli ili funkcija koje se pojavljuju u njima. Sistemi se mogu definisati kao nelinearni, bez obzira da li se u jednačinama pojavljuju poznate linearne funkcije. Posebno, diferencijalna jednačina je linearna ako je linearna u smislu nepoznate funkcije i njenih derivata, čak i ako je nelinearna u smislu drugih varijabli koje se pojavljuju u njoj.

Kako je teško rješiti nelinearne dinamičke jednačine, nelinearni sistemi se uobičajeno aproksimiraju linearnim jednačinama (linearizacija). Ovo dobro funkcioniše do određene tačnosti i nekog opsega za ulazne vrijednosti, ali neki od zanimljivih fenomena poput haosa i singulariteta sakrivaju se linearizacijom. Slijedi da neki aspekti dinamičkog ponašanja nelinearnog sistema mogu biti kontraintuitivni, nepredvidljivi ili čak haotični. Iako takvo haotično ponašanje može da podsjeća na slučajno ponašanje, to zapravo nije slučajno. Na primjer, neki aspekti vremena se vide kao haotični, gdje jednostavne promjene u jednom dijelu sistema proizvode kompleksne efekte u čitavom vremenu. Ova nelinearnost je jedan od razloga zašto je precizna dugoročna prognoza sa trenutnom tehnologijom nemoguća.

Nelinearne algebarske jednačine

Nelinearne algebarske jednačine, koje se takođe zovu polinomske jednačine, definišu se izjednačavanjem polinoma na nulu. Na primjer,

x ^ {2} + x-1 = 0

Za jednu polinomijalnu jednačinu, algoritmi za pronalaženje korjena se mogu koristiti za pronalaženje rješenja jednačine (tj. Skup vrijednosti za varijable koje zadovoljavaju jednačinu). Međutim, sistemi algebarskih jednačina su komplikovaniji; njihova studija je jedna motivacija za oblast algebarske geometrije, teške grane savremene matematike. Čak je i teško odlučiti da li dat algebarski sistem ima složena rješenja. Ipak, u slučaju sistema s ograničenim brojem kompleksnih rešenja, ovi sistemi polinomskih jednačina su sada dobro razumljivi i postoje efikasne metode za njihovo rešavanje.



Nelinearne diferencijalne jednačine

Sistem diferencijalnih jednačina nije linearni ako nije linearni sistem. Problemi koji uključuju nelinearne diferencijalne jednačine su izuzetno raznovrsni, a metode rješavanja ili analize su zavisne od problema. Primjeri nelinearnih diferencijalnih jednačina su Navier-Stokesove jednačine u dinamici fluida i jednačine Lotka-Volterra u biologiji.

Jedna od najvećih poteškoća nelinearnih problema je u tome što generalno nije moguće kombinovati poznata rješenja sa novim rješenjima. U linearnim problemima, na primjer, porodica linearno nezavisnih rješenja može se koristiti za konstruisanje opštih rješenja kroz princip superpozicije. Dobar primjer ovoga je jednodimenzionalni transport toplote sa graničnim uslovima Dirichleta, rješenje koje se može napisati kao vremenski zavisna linearna kombinacija sinusoida različitih frekvencija; ovo čini rješenja veoma fleksibilnim. Često je moguće naći nekoliko vrlo specifičnih rješenja za nelinearne jednačine, ali nedostatak principa superpozicije sprečava izgradnju novih rešenja.

Vrste nelinearnih dinamičkih ponašanja

Smrt amplitude – svaka oscilacija prisutna u sistemu prestaje usljed neke vrste interakcije sa drugim sistemom ili povratnim informacijama od strane istog sistema
Haos – vrijednosti sistema ne mogu se predviđati neograničeno daleko u budućnost, a fluktuacije su aperiodične
Višestepenost – prisustvo dva ili više stabilnih stanja
Solitoni – samo-ojačavajući usamljeni talasi



Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *