Šta je to pravilo derivacije složene funkcije?

U kalkulusu, pravilo derivacije složene funkcije je formula za derivaciju kompozicije dvije funkcije.

U intuitivnim uvjetima, ako varijabla y zavisi od druge varijable u, koja, na kraju, zavisi od treće varijable x, tada se način promjene y o odnosu na x može izračunati kao promjena y o odnosu na u pomnoženo sa načinom promjene u u odnosu na x. Jednostavnije rečeno, derivacija složene funkcije računa se tako da se pomnoži derivacija glavne funkcije sa derivacijom podfunkcije unutar te glavne funkcije (pogledajte primjer I).

 

Definicija

Pravilo derivacija složene funkcije kaže da je

 {\displaystyle (f\circ g)'(x)=(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x),\,}

koje se kraće piše u formi ( f ∘ g ) ′ = f ′ ∘ g ⋅ g ′ {\displaystyle {\displaystyle (f\circ g)'=f'\circ g\cdot g'}

.

Alternativno, u Leibnizovoj notaciji, pravilo derivacije složene funkcije je

{\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dx}}.}

U integraciji, nasuprot pravilu derivacije složene funkcije, stoji pravilo substitucije.

Dokaz pravila derivacije složene funkcije

Neka f i g budu funkcije i neka x bude broj takav da je f idiferencijabilna kod g(x) i da je g diferencijabilno kod x. Tada je definicija diferencijabilnosti,

 {\displaystyle g(x+\delta )-g(x)=\delta g'(x)+\epsilon (\delta )\delta \,}

gdje ε(δ) → 0 kada δ → 0. Slično,

 {\displaystyle f(g(x)+\alpha )-f(g(x))=\alpha f'(g(x))+\eta (\alpha )\alpha \,}

gdje η(α) → 0 kada α → 0. Također definišimo da je

{\displaystyle \eta (0)=0\,}

Sada je

{\displaystyle f(g(x+\delta ))-f(g(x))\,}{\displaystyle =f(g(x)+\delta g'(x)+\epsilon (\delta )\delta )-f(g(x))\,}
 {\displaystyle =\alpha _{\delta }f'(g(x))+\eta (\alpha _{\delta })\alpha _{\delta }\,}

gdje je

{\displaystyle \alpha _{\delta }=\delta g'(x)+\epsilon (\delta )\delta .\,}

Uočite da kada δ → 0, αδ/δg′(x) i αδ → 0, te zbog toga η(αδ) → 0. Slijedi da je

{\displaystyle {\frac {f(g(x+\delta ))-f(g(x))}{\delta }}\to g'(x)f'(g(x)){\mbox{ as }}\delta \to 0.}

Primjeri

Primjer I

Razmotrimo f ( x ) = ( x 2 + 1 ) 3  {\displaystyle f(x)=(x^{2}+1)^{3}}. Imamo f ( x ) = h ( g ( x ) ) {\displaystyle f(x)=h(g(x))} gdje je g ( x ) = x 2 + 1  {\displaystyle g(x)=x^{2}+1} i h ( x ) = x 3 .  {\displaystyle h(x)=x^{3}.} Zbog toga,

{\displaystyle f'(x)\,}{\displaystyle =3(x^{2}+1)^{2}(2x)\,}
  {\displaystyle =6x(x^{2}+1)^{2}.\,}

Kako bi diferencirali trigonometrijsku funkciju

{\displaystyle f(x)=\sin(x^{2}),\,}

možemo pisati f ( x ) = h ( g ( x ) ) {\displaystyle f(x)=h(g(x))} sa  {\displaystyle h(x)=\sin x} {\displaystyle g(x)=x^{2}}. Tada dobijamo

 {\displaystyle f'(x)=2x\cos(x^{2})\,}

pošto je {\displaystyle h'(g(x))=\cos(x^{2})} {\displaystyle g'(x)=2x}.

IZVOR: WIKIPEDIA

 

 

 1,782 total views,  4 views today

Arnes K.

Ja sam nastavnik i profesor fizike koji nastoji da ispuni rupe u svom i svačijem znanju kako bi svi bili bolje informisani i mogli da donosimo bolje odluke i živimo bolji život.

Šta vi mislite o ovom? Ostavite vaš komentar i podijelite mišljenje sa svima.

Sva Fizika
%d bloggers like this: