“Matematika koristi izmišljena pravila za stvaranje modela i odnosa. Kad učim, pitam:
Kakav odnos predstavlja ovaj model?
Koje stvari u stvarnom svijetu dijele taj odnos?
Ima li taj odnos smisla za mene?
To su jednostavna pitanja, ali mi pomažu razumjeti nove teme.
Udžbenici se rijetko usredotočuju na razumijevanje; uglavnom se rješavaju problemi s “plug and chug” formulama. To mi je tužno da lijepe ideje dobivaju takav tretman:
Pitagorina teorema nije samo o trokutima. Riječ je o odnosu između sličnih oblika, udaljenosti između bilo kojeg skupa brojeva i još mnogo toga.
e nije samo broj. Riječ je o temeljnim odnosima između svih stopa rasta.
Prirodni logaritam nije samo inverzna funkcija. Riječ je o vremenu koje stvari trebaju da bi rasle.
Elegantna, “a – ha!” opažanja trebaju našu pažnju, ali ostavljamo to učenicima da nasumice sami skuže. Doživio sam taj “a – ha” trenutak nakon paklene sesije na koledžu; od tada želim pronaći i dijeliti te spoznaje kako bi druge poštedio iste boli.
Ali to radi obostrano – želim da i vi podijelite uvide sa mnom, također. Postoji više razumijevanja, manje boli, a svi dobivaju.
Matematika se razvija tijekom vremena
Smatram matematiku načinom razmišljanja, i važno je vidjeti kako se to razmišljanje razvilo umjesto da se samo prikazuju rezultati. Pokušajmo primjer.
Zamislite da ste špiljski čovjek koji se bavi matematikom. Jedan od prvih problema će biti kako računati stvari. Nekoliko se sustava razvilo tijekom vremena:
Nijedan sustav nije u pravu, a svaki ima prednosti:
Unarni sustav: crtanje linija u pijesku – jednostavno. Izvrstan za računanje rezultata u igrama; možete dodati broj bez brisanja i ponovnog pisanja.
Rimski brojevi: Napredniji jednodijelni, s prečacima za velike brojeve.
Decimalni: Velika realizacija da brojevi mogu koristiti “pozicijski” sustav s mjestom i nula.
Binarni: Najjednostavniji položajni sustav (dvije znamenke, on vs off) tako da je super za mehaničke uređaje.
Znanstvena notacija: Izuzetno kompaktna, može lako odrediti brojčanu veličinu i preciznost (1E3 vs 1.000E3).
Misliš da smo gotovi? Nema šanse. Za 1000 godina imat ćemo sustav koji čini decimalne brojeve tako čudima kao rimski brojevi.
Negativni brojevi nisu točni
Razmislimo o brojevima malo više. Gornji primjer pokazuje da je naš brojevni sustav jedan od mnogih načina rješavanja problema “brojanja”.
Rimljani bi smatrali da su nula i frakcije čudni, ali to ne znači da “nula” i “dio cjeline” nisu korisni pojmovi. Ali pogledajte kako je svaki sustav ugradio nove ideje.
Frakcije (1/3), decimale (.234) i kompleksni brojevi (3 + 4i) su načini za izražavanje novih odnosa. Oni možda nemaju smisla upravo sada, baš kao što nula nije imala “smisla” Rimljanima. Trebamo nove odnose u stvarnom svijetu (poput duga) za njih da bi ih razumjeli.
Čak i tada, negativni brojevi možda ne postoje u načinu na koji razmišljamo, kao što me uvjeravate ovdje:
Vi: Negativni brojevi su izvrsna ideja, ali ne postoje sami. To je oznaka koju primjenjujemo na koncept.
Me: Naravno da postoje.
Vi: Ok, pokaži mi -3 krave.
Ja: Dobro, pretpostavimo da si poljoprivrednik i izgubio si 3 krave.
Vi: Ok, imaš 0 krava.
Ja: Ne, mislim, dali ste 3 krave prijatelju.
Ti: U redu, on ima 3 krave i vi imate nulu krava.
Ja: Ne, mislim, vratit će ih jednog dana. On vam duguje.
Ti: Ah. Stvarni broj (-3 ili 0) ovisi o tome da li će mi vratiti krave natrag. U mom svijetu nisam cijelo vrijeme imao nula krava.
Ja: uzdah. To nije tako. Kad vam vrati krave, idete od -3 do 3.
Vi: Ok, pa on vraća 3 krave i skok 6, od -3 do 3? Bilo koja druga aritmetika koje bi trebao biti svjestan? Kako izgleda sqrt (-17) krava?
Ja: Izlazi.
Negativni brojevi mogu izraziti odnos:
Pozitivni brojevi predstavljaju višak krava.
Nula ne predstavlja krave.
Negativni brojevi predstavljaju deficit krava za koje se pretpostavlja da se vraćaju natrag.
Ali negativni broj “zapravo nije tamo” – postoje samo odnosi koje predstavljaju (višak / manjak krava). Izradili smo model “negativnog broja” koji će vam pomoći u vođenju knjige, iako ne možete držati -3 krave u ruci. (Namjerno sam koristio drugačije tumačenje onoga što “negativno” znači: to je drugačiji sustav brojenja, baš kao i rimski brojevi i desetke su različiti sustavi brojenja.)
Usput, negativni brojevi nisu prihvaćeni od strane mnogih ljudi, uključujući zapadne matematičare do 1700-ih. Ideja negativnosti smatrale se “apsurdnom”.
Čini se da su negativni brojevi čudni ako ne možete vidjeti kako oni predstavljaju složene odnose u stvarnom svijetu, kao što je dug. Zašto sva ta filozofija? Shvatio sam da je moje razmišljanja ključno za učenje. ** To mi je pomoglo da dođem do dubokih uvida, konkretno: Faktualno znanje nije razumijevanje. Poznavanje da se “čekićem može zakucati ekser” nije isto što i uvid da se svakim tvrdim predmetom (stijenom, ključe) može zakucati ekser. Imajte otvoren um. Razvijte svoju intuiciju dopuštajući vam da ponovno budete početnik. Sveučilišni profesor otišao je posjetiti poznatog Zen majstora. Dok je majstor tiho služio čaj, profesor je razgovarao o Zenu. Majstor je ulijevao čašicu posjetitelja do vrha, a zatim je nastavio natočiti. Profesor je gledao prelijevajuću čašu sve dok se više nije mogao suzdržavati. “Prepuna je! Ne može više u nju stati!” profesor je mrmljao. “Ti si poput ove šalice”, majstor je odgovorio: “Kako vam mogu pokazati Zen ako prvo ne ispraznite šalicu?” Budite kreativni. Potražite čudne odnose. Koristite dijagrame. Koristite humor. Koristite analogije. Koristite mnemoniku. Koristite sve što čini ideje živahnijima. Analogije nisu savršene, ali pomažu u borbi s općom idejom. Zahvaljujući tome možete naučiti. Očekujemo od djece da uče algebru i trigonometriju koji bi zaprepastili drevne Grke. A trebali bi: trebali bismo znati toliko, ako je ispravno objašnjeno. Nemojte se zaustavljati sve dok ne bude imalo smisla, ili će vas taj matematički jaz uloviti. Želim podijeliti ono što sam otkrio, nadajući se da vam pomaže u učenju matematike: Matematika stvara modele koji imaju određene odnose.
Pokušavamo pronaći pojave u stvarnom svijetu koji imaju isti odnos.
Naši modeli uvijek se poboljšavaju.
Moguće je da novi model objašnjava taj odnos (rimski brojevi na decimalni sustav). Sigurno, čini se da neki modeli nemaju koristi: “Koliko su korisni imaginarni brojevi?”, pitaju mnogi studenti. To je važno pitanje s intuitivnim odgovorom. Korištenje imaginarnih brojeva ograničeno je našom maštom i razumijevanjem – baš kao što su negativni brojevi “beskorisni”, osim ako nemate ideju o dugovima, imaginarni brojevi mogu biti zbunjujući ne razumijemo odnos koji predstavljaju. Matematika pruža modele; trebamo razumjeti njihove odnose i primijeniti ih na stvarne objekte u svijetu. Razvijanje intuicije čini učenje zabavnim – čak računovodstvo nije loše kada razumijete probleme koje rješava. Želim pokriti složene brojeve, kalkulacije i druge nedostižne teme usredotočujući se na odnose, a ne na dokaze i mehaniku. Ali ovo je moje iskustvo – kako vi učite najbolje?”, (1)
Izvori:
- https://betterexplained.com/articles/how-to-develop-a-mindset-for-math/
- https://giphy.com/search/math
