Šta je to Hamiltonijan?

Hamiltonijan

 
 

Hamiltonijan je funkcija ili operator, u zavisnosti od toga da li se koristi u kontekstu klasične ili kvantne mehanike, koji je od centralnog značaja za opis vremenske evolucije u fizici.

Hamiltonijan u klasičnoj fizici

U klasičnoj fizici Hamiltonijan je definisan kao Ležandrova transformacija lagranžijana. Naime, kako se uzima da je lagranžijan funkcija genralisanih koordinata, generalisanih brzina i vremena u situaciji u kojoj je pogodnije koristiti generalisane impulse potrebno je izvršiti transformaciju koja će dovesti do pojave tražene zavisnosti. Dotična transformacija je ležandrova transformacija i u njoj se zavisnost od generalisanih brzina smenjuje zavisnošću od generalisanih impulsa. Ona glasi

{displaystyle H(q_{i},p_{i},t)=sum _{k=1}^{n}p_{k}{dot {q}}_{k}-L(q_{i},{dot {q}}_{i},t)}

, gde je i broj stepeni slobode sistema, -{L}- lagranžijan sistema, a {displaystyle q_{i},{dot {q}}_{i},p_{i},t} generalisane koordinate, generalisane brzine, generalisani impulsi i vreme respektivno. Ovo je istovremeno definiciona relacija za hamiltonijan. U slučaju kada je kinetička energija sistema homogena kvadratna funkcija generalisanih brzina hamiltonijan je jednak ukupnoj energiji sistema. Ovo je najčešći slučaj i hamiltonijan se često poistovećuje sa ukupnom energijom sistema.

Izražene preko hamiltonijana, jednačine kretanja sistema (koje se zovu Hamiltonove jednačine) glase

{displaystyle {dot {q}}_{i}={frac {partial H}{partial p_{i}}}}

{displaystyle {dot {p}}_{i}=-{frac {partial H}{partial q_{i}}}+Q_{i}^{nepot}}

, gde {displaystyle Q_{i}^{nepot}} predstavlja nepotencijalne generalisane sile. Ove jednačine pružaju nekoliko pogodnosti, među kojima su: impulsi i koordinate figurišu simetrično u jednačinama i jednačine su diferencijalne jednačine prvog reda.

Hamiltonov formalizam u klasičnoj mehanici je takođe značajan zato što pokazuje analogije između klasične i kvantne mehanike.

Hamiltonijan u kvantnoj mehanici

U kvantnoj mehanici hamiltonijan je hermitski operator i pridružen je opservabli energije. Vremensku evoluciju kvantnog sistema diktira hamiltonijan preko Šredingerove jednačine

{displaystyle ihbar {frac {partial |psi rangle }{partial t}}={hat {H}}|psi rangle }

, gde je {displaystyle {hat {H}}}  hamiltonijan, a {displaystyle |psi rangle } stanje sistema.

Kako hamiltonijan predstavlja energiju, njegove svojstvene vrednosti predstavljaju moguće energije koje sistem može da poseduje. Svaka opservabla čiji operator komutira sa hamiltonijanom predstavlja održanu veličinu.

Izvor: Wikipedia

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *