Kompleksni brojevi su u prvobitnoj predstavi izrazi oblika ${displaystyle a+bi}$ , gde su a i ${displaystyle b}$ realni brojevi, ${displaystyle i}$ jedan simbol.

Sabiranje, množenje i deljenje kompleksnih brojeva definiše se formulama:

${displaystyle (a+ib)+(x+iy)=(a+x)+(b+y)i,}$ , ${displaystyle (a+ib)(x+iy)=(ax-by)+(ay+bx)i,}$ , ${displaystyle {frac {a+bi}{x+yi}}={frac {ax+by}{x^{2}+y^{2}}}+{frac {bx-ay}{x^{2}+y^{2}}}cdot i}$

U kompleksnom broju ${displaystyle z=a+bi}$ broj ${displaystyle a}$ se naziva realni deo, piše se ${displaystyle a=Re(z)}$ , a broj ${displaystyle b}$ je imaginarni deo, piše se ${displaystyle b=Im(z)}$ .

Kompleksan broj čiji je realni deo jednak nuli naziva se čisto imaginarni broj.

Realni brojevi predstavljaju poseban slučaj kompleksnih brojeva (kad je koeficijent uz ${displaystyle i}$ jednak nuli). Iako se kompleksnim brojevima ne izražavaju količine, kao što je to slučaj s realnim brojevima, njihovo uvođenje koristi u rešavanju problema sastavljenih u terminima realnih brojeva, na primer, problema o prolazu struje kroz provodnik, o profilu krila aviona (koristeći funkcije Žukovskog), itd.

Nije manje važna ni primena kompleksnih brojeva na čisto matematičke probleme. Tako na primer, za nalaženje korena kubne jednačine potrebne su operacije s kompleksnim brojevima. Istorijski, kompleksni brojevi su uvedeni radi rešavanja kvadratne jednačine. Činjenica da kompleksni brojevi ne izražavaju veličine dala je povod za idealističko tumačenje kompleksnih brojeva (G. Lajbnic). velika zasluga u smislu materijalističkog tumačenja kompleksnih brojeva pripada L. Ojleru. Kompleksni broj se aksiomatski definiše kao uređen par realnih brojeva ${displaystyle (a,b)}$ . Formule sabiranja, množenja, deljenja se postuliraju ovako:

${displaystyle (a,b)+(x,y)=(a+x,b+y),}$ , ${displaystyle (a,b)cdot (x,y)=(ax-by,ay+bx)}$ , ${displaystyle {frac {(a,b)}{(x,y)}}=({frac {ax+by}{x^{2}+y^{2}}},{frac {bx-ay}{x^{2}+y^{2}}})}$ .

Par ${displaystyle (0;1)}$ se naziva imaginarna jedinica i označava simbolom ${displaystyle i}$ . Iz poslednjih formula proizilazi da je ${displaystyle i^{2}=-1}$ . Operacije sa kompleksnim brojevima zadovoljavaju obične zakone komutativnosti, distributivnosti i asocijativnosti (kao i u slučaju realnih brojeva). Međutim, operacije s kompleksnim brojevima pod radikalima (korenima) donekle se razlikuju od analognih operacija s realnim brojevima. Tako je

${displaystyle -1=i^{2}={sqrt {-1}}cdot {sqrt {-1}}not ={sqrt {(-1)(-1)}}=1}$ .Definicija

Definiciju kompleksnih brojeva kao uređenih parova dao je William R. Hamilton , irski matematičar (1805– 1865.) Ta se definicija temelji samo na osobini realnih brojeva, čime se izbjegava donekle nerazjašnjeni pojam broja ${displaystyle {sqrt {-1}}}$ .

S druge strane, zapis oblika ${displaystyle z=x+yi}$ pogodniji je za računanje.

Oba oblika kompleksnog broja

${displaystyle z=x+yi}$ i

${displaystyle z=(x,y)}$ potpuno su ekvivalentna.

Skup kompleksnih brojeva ${displaystyle mathbb {C} }$ je skup svih brojeva oblika ${displaystyle z=x+iy}$ , gdje su ${displaystyle x,yin mathbb {R} }$ .

Posebno je ${displaystyle 0=0+i0}$ .

${displaystyle x=mathrm {Re} (z)}$ je realni dio kompleksnog broja ${displaystyle z}$ ,

${displaystyle y=mathrm {Im} z}$ je imaginarni dio kompleksnog broja ${displaystyle z}$ .

Algebarski oblik kompleksnog broja je

${displaystyle z=x+iy}$ za ${displaystyle x,yin mathbb {R} }$

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je

${displaystyle z=r(costheta +isintheta ),rgeq 0,theta in mathbb {R} }$

pri čemu je

${displaystyle r=mid zmid }$ modul

${displaystyle theta =ARgz}$ argument

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja je

${displaystyle z=r^{itheta }}$ za ${displaystyle rgeq 0,theta in mathbb {R} }$

pri čemu je

${displaystyle r=mid zmid }$ modul

${displaystyle theta =ARgz}$ argument

Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni i imaginarni dijelovi.

${displaystyle z_{1}=z_{2},,leftrightarrow ,,(operatorname {Re} (z_{1})=operatorname {Re} (z_{2}),land ,operatorname {Im} (z_{1})=operatorname {Im} (z_{2})).}$

Konjugirano kompleksni broj broja ${displaystyle z=x+iy}$ je broj ${displaystyle {bar {z}}=x-iy}$ .

Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja ${displaystyle z}$ je nenegativni realni broj ${displaystyle r=vert zvert ={sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ .

Osobine sabiranja kompleksnih brojeva

${displaystyle (z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}}$ za ${displaystyle forall z_{1},z_{2}in mathbb {C} }$ komutativnost sabiranja

${displaystyle z_{1}+(z_{2}+z_{3})=(z_{1}+z_{2})+z_{3},}$ za ${displaystyle forall z_{1},z_{2},z_{3}in mathbb {C} }$ asocijativnost sabiranja

${displaystyle exists 0in mathbb {C} z+0=z}$ za ${displaystyle forall zin mathbb {C} }$ neutralni element 0(nula) za sabiranje

Kompleksni broj ${displaystyle 0=(0,0)=0+0i}$

${displaystyle (forall zin mathbb {C} )(exists (-z)in mathbb {C} z+(-z)=0}$ postojanje inverznog elemanta.

Kompleksni broj ${displaystyle -z=(-x,-y)=-x-yi}$

Osobine množenja kompleksnih brojeva

${displaystyle (z_{1}*z_{2}=z_{2}*z_{1}}$ za ${displaystyle forall z_{1},z_{2}in mathbb {C} }$ komutativnost množenja

${displaystyle z_{1}*(z_{2}+z_{3})=(z_{1}+z_{2})+z_{3}}$ za ${displaystyle forall z_{1},z_{2},z_{3}in mathbb {C} }$ asocijativnost množenja

${displaystyle exists 1in mathbb {C} z*1=z}$ za ${displaystyle forall zin mathbb {C} }$ neutralni element ${displaystyle 1}$ za množenje

${displaystyle forall zin mathbb {C} )(zneq 0)(exists z'in mathbb {C} z*(-z)=1}$ postojanje reciproćnog elemanta

${displaystyle z_{1}*(z_{2}+z_{3})=z_{1}*z_{2}+z_{1}*z_{3}}$ za ${displaystyle forall z_{1},z_{2},z_{3}in mathbb {C} }$ distributivnost množenja u odnosu na sabiranje

Realan proizvod dva kompleksna broja

U skupu kompleksnih brojeva skalarnom proizvodu vektora odgovara pojam realnog proizvoda kompleksnih brojeva koji je skalarni proizvod vektora koji su određeni kompleksnim brojevima koji se množe. Definicija

Realan proizvod kompleksnih brojeva ${displaystyle b}$ , u oznaci ${displaystyle acirc b}$ ,je realan broj određen kao

${displaystyle acirc b={frac {1}{2}}({overline {a}}b+a{overline {b}})}$

Neka su A i B tačke određene kompleksnim brojevima ${displaystyle a=mid amid (cosvarphi +isinvarphi )}$ i ${displaystyle b=mid bmid (cospsi +isinpsi )}$ Lako je proveriti da je

${displaystyle acirc b=mid amid mid bmid (cosvarphi +isinpsi )=mid OAmid mid ABmid cos{widehat {AOB}}}$

Osobine realnog proizvoda dva kompleksna broja

${displaystyle acirc a=mid amid ^{2}}$
${displaystyle acirc b=bcirc a}$
${displaystyle {overline {acirc b}}=acirc b}$
${displaystyle (alpha a)circ b=alpha (acirc b)=acirc (alpha b)}$
${displaystyle (az))bz)=mid zmid ^{2}(acirc b)}$
${displaystyle acirc b=0<=>OAperp OB}$ (za tačke A i B kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima ${displaystyle a}$ i ${displaystyle b}$ )

Realan proizvod kompleksnih brojeva ${displaystyle a}$ i ${displaystyle b}$ jednak je potenciji koordinantnog početka ${displaystyle O}$ kompleksne ravni u odnosu na krug čiji je prečnik ${displaystyle AB}$ , gdje su ${displaystyle A}$ i ${displaystyle B}$ tačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima ${displaystyle a}$ i ${displaystyle b}$ .

Tačka ${displaystyle M}$ je sredina duži AB određena kompleksnim brojem ${displaystyle {frac {a+b}{2}}}$ , potencija tačke ${displaystyle O}$ u odnosu na krug sa središtem u tački ${displaystyle M}$ i poluprečnikom

${displaystyle r={frac {a-b}{2}}={frac {mid a-bmid }{2}}}$ jednaka je

${displaystyle OM^{2}-r^{2}=mid {frac {a+b}{2}}mid -mid {frac {a-b}{2}}mid ={frac {(a+b)({overline {a}}+{overline {b}}}{4}}-{frac {(a-b)({overline {a}}-{overline {b}})}{4}}=acirc b}$

Neka su tačke ${displaystyle A}$ , ${displaystyle B}$ , ${displaystyle C}$ , ${displaystyle D}$ taačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima ${displaystyle a}$ , ${displaystyle b}$ , ${displaystyle c}$ , ${displaystyle d}$ . Tada su sledeća tvrđenja ekvivalentna:

${displaystyle ABperp CD}$
${displaystyle (a+b)circ (c+d)=0}$
${displaystyle {frac {b-a}{d-c}}in imathbb {R} {begin{Bmatrix}0end{Bmatrix}}}$
${displaystyle Re({frac {b-a}{d-c}})=0}$

Središte kružnice opisane oko trougla ${displaystyle ABC}$ nalazi se u koordinantnom početku kompleksne ravni. Ako su tjemena ${displaystyle A}$ , ${displaystyle B}$ , ${displaystyle C}$ trougla ${displaystyle ABC}$ određena kompleksnim brojevima ${displaystyle a}$ , ${displaystyle b}$ , ${displaystyle c}$ respektivno, tada je ortocentar ${displaystyle H}$ tog trougla određen kompleksnim brojem ${displaystyle h=a+b+c}$ .

Kompleksan proizvod dva kompleksna broja

Kompleksan proizvod dva kompleksna broja je analogan vektorskom proizvodu vektora.

Definicija

Kompleksan broj

${displaystyle atimes b={frac {{overline {a}}b-a{overline {b}}}{2}}}$ nazivamo kompleksnim proizvodom kompleksnih brojeva ${displaystyle a}$ i ${displaystyle b}$ .

Neka su ${displaystyle A}$ i ${displaystyle B}$ tačke određene kompleksnim brojevima ${displaystyle a=mid amid (cosvarphi +isinvarphi )}$ i ${displaystyle a=mid bmid (cospsi +isinpsi )}$ Lako je provjeriti da je

${displaystyle mid atimes bmid =mid amid mid bmid sin(varphi -psi )=mid OAmid mid ABmid sin{widehat {AOB}}=2P_{AOB}}$

Neka su ${displaystyle a}$ , ${displaystyle b}$ , ${displaystyle c}$ kompleksni brojevi. Tada kompleksan proizvod dva kompleksna broja ima sledeće osobine

${displaystyle {overline {atimes b}}=-atimes b}$
${displaystyle atimes b=0<=>a=0lor b=0lor a=lambda b}$ gdje je ${displaystyle lambda in mathbb {R} {begin{Bmatrix}0end{Bmatrix}}}$
${displaystyle atimes b=-btimes a}$
${displaystyle alpha (atimes b)=(alpha a)times b=atimes (alpha b)}$ , ${displaystyle forall alpha in mathbb {R} }$ )

Ako su ${displaystyle A(a)}$ i ${displaystyle B(b)}$ dvije različite tačke različite od ${displaystyle O(0)}$ , tada je ${displaystyle atimes b=0}$ onda i samo onda ako su ${displaystyle O}$ , ${displaystyle A}$ , ${displaystyle B}$ kolinearne tačke.

Neka su ${displaystyle A(a}$ ) i ${displaystyle B(b}$ ) dvije različite tačke u kompleksnoj ravni različite od koordinantnog početka. Kompleksan proizvod brojeva ${displaystyle a}$ i ${displaystyle b}$ ima sljedeći geometrijski smisao

${displaystyle atimes b={begin{cases}2iP_{AOB} za trougao AOB pozitivno orijentisan\-2iP_{AOB} za trougao AOB negativno orijentisanend{cases}}}$ Neka su ${displaystyle A(a)}$ , ${displaystyle B(b)}$ i ${displaystyle C(c)}$ tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada je

${displaystyle P_{ABC}={begin{cases}{frac {1}{2}}(atimes b+btimes c+ctimes a) ako je ABC pozitivno orjentisan\{frac {1}{2}}(atimes b+btimes c+ctimes a) ako je ABC negativno orjentisanend{cases}}}$

Neka su ${displaystyle A(a)}$ , ${displaystyle B(b)}$ i ${displaystyle C(c)}$ tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna

Tačke ${displaystyle A}$ , ${displaystyle B}$ , ${displaystyle C}$ su kolinearne
${displaystyle (b-a)times (c-a)=0}$
${displaystyle atimes b+btimes c+ctimes a=0}$

Neka su ${displaystyle A(a)}$ , ${displaystyle B(b)}$ , ${displaystyle C(c)}$ i ${displaystyle D(d)}$ četiri tačke od kojih nikoje tri nisu kolinearne. Tada je ${displaystyle ABparallel CD}$ onda i samo onda ako je ${displaystyle (b-a)times (d-c)=0}$

Dijeljenje kompleksnih brojeva

${displaystyle displaystyle {frac {z_{1}}{z_{2}}}displaystyle ={frac {x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}}cdot {frac {x_{2}-iy_{2}}{x_{2}-iy_{2}}}displaystyle ={frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}+i{frac {y_{1}x_{2}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}},quad {textrm {za}}quad z_{2}neq 0}$

U svakom skupu brojeva dijeljenje se definiše kao množenje inverznim elementom. Uvjerimo se da za

${displaystyle forall zin mathbb {C} )(zneq 0)exists z'in mathbb {C} }$

Neka je ${displaystyle z=x+yineq 0}$ bilo koji. Onda je ${displaystyle x^{2}+y^{2}neq 0}$ pa je dobro definisan broj

${displaystyle z'={frac {x}{x^{2}+y^{2}}}+{frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}i}$

${displaystyle {frac {1}{z}}={frac {bar {z}}{z{bar {z}}}}={frac {bar {z}}{x^{2}+y^{2}}}={frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i.}$

imamo

${displaystyle z'*z=z*z'=1}$

${displaystyle z'=z^{-1}={frac {1}{z}}}$

Konjugovano kompleksni brojevi

Kompleksan broj ${displaystyle {overline {z}} =x-yi=r^{-itheta }}$ nazivamo konjugovanim broju ${displaystyle z=x+yi=r^{itheta }}$ .

Brojevi ${displaystyle z}$ i ${displaystyle {overline {z}}}$ čine par konjugovanik brojeva. Njihovim sabiranjem i oduzimanjem dobijamo

${displaystyle Rez={frac {1}{2}}(z+{overline {z}})}$

${displaystyle Imz={frac {1}{2i}}(z-{overline {z}})}$

Lako se provjerava da vrijedi

${displaystyle {overline {z_{1}+z_{2}}}={overline {z_{1}}}+{overline {z_{2}}}}$
${displaystyle {overline {z_{1}-z_{2}}}={overline {z_{1}}}-{overline {z_{2}}}}$
${displaystyle {overline {z_{1}*z_{2}}}={overline {z_{1}}}*{overline {z_{2}}}}$
${displaystyle {overline {({frac {z_{1}}{z_{2}}})}}={frac {overline {z_{1}}}{overline {z_{1}}}}}$ ^[6]

Neka je ${displaystyle z=r(costheta +isintheta )=r cistheta }$ trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

${displaystyle z^{2}=z*z}$

${displaystyle z^{2}=r cistheta *r cistheta =r^{2} cis(theta +theta )=r^{2} cis2theta }$

${displaystyle z^{3}=r^{2} cis2theta *r cistheta =r^{3} cis(2theta +theta )=r^{3} cis3theta }$

${displaystyle z^{4}=r^{3} cis3theta *r cistheta =r^{4} cis(3theta +theta )=r^{4} cis4theta }$

Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

${displaystyle z^{n}=r^{n} cisntheta }$ ili

${displaystyle (costheta +isintheta )^{n}=cosntheta +isinntheta (nin Z)}$

Stepenovanje kompleksnog broja

${displaystyle z^{n}=r^{n}(cosntheta +isinntheta )=r^{n}e^{intheta }}$ za ${displaystyle nin N}$ .

${displaystyle z^{m}z^{n}=z^{m+n}}$

${displaystyle (z_{1}z_{2})^{n}=(z_{1}z_{2})^{n}}$

${displaystyle (z^{m})^{n}=z^{mn}}$

Korjenovanje kompleksnog broja

${displaystyle {sqrt[{n}]{z}}={begin{Bmatrix}u_{0},u_{1}...u_{n}end{Bmatrix}}}$ za ${displaystyle nin N}$

gdje je

${displaystyle u_{k}={sqrt[{n}]{r}}(cos{frac {sqrt[{n}]{r}}{n}}+isin{frac {theta +2kpi }{n}})}$ za ${displaystyle k=0,1,...(n-1)}$

${displaystyle u_{k}={sqrt[{n}]{r}}e^{i(theta +2kpi )/2}}$ za ${displaystyle k=0,1,...(n-1)}$

Kvadratni korjen imaginarnog broja

${displaystyle {sqrt {i}}={frac {1}{2}}{sqrt {2}}+i{frac {1}{2}}{sqrt {2}}={frac {sqrt {2}}{2}}(1+i).}$

Ovaj rezultat možemo dobiti na sljedeći način

${displaystyle i=(a+bi)^{2}!}$

${displaystyle i=a^{2}+2abi-b^{2}.!}$

Dobijamo dvije jednačine

${displaystyle {begin{cases}2ab=1!\a^{2}-b^{2}=0!end{cases}}}$

čija su rješenja

${displaystyle a=b=pm {frac {1}{sqrt {2}}}.}$

Izbor glavnog korjena daje

${displaystyle a=b={frac {1}{sqrt {2}}}.}$

Rezultat možemo dobiti pomoću Moavrova formule

${displaystyle i=cos left({frac {pi }{2}}right)+isin left({frac {pi }{2}}right)}$

${displaystyle {begin{aligned}{sqrt {i}}&=left(cos left({frac {pi }{2}}right)+isin left({frac {pi }{2}}right)right)^{frac {1}{2}}\&=cos left({frac {pi }{4}}right)+isin left({frac {pi }{4}}right)\&={frac {1}{sqrt {2}}}+ileft({frac {1}{sqrt {2}}}right)={frac {1}{sqrt {2}}}(1+i).\end{aligned}}}$

Apsolutna vrijednost argumenta

Apsolutna vrijednost (ili modul ili veličine) kompleksnog broja ${displaystyle z=x+yi}$ je

{displaystyle textstyle r=|z|={sqrt {x^{2}+y^{2}}}.,}

Kvadrat apsolutne vrijednosti je

${displaystyle textstyle |z|^{2}=z{bar {z}}=x^{2}+y^{2}.,}$

${displaystyle varphi =arg(z)={begin{cases}arctan({frac {y}{x}})&{mbox{if }}x>0\arctan({frac {y}{x}})+pi &{mbox{if }}x<0{mbox{ and }}ygeq 0\arctan({frac {y}{x}})-pi &{mbox{if }}x<0{mbox{ and }}y<0\{frac {pi }{2}}&{mbox{if }}x=0{mbox{ and }}y>0\-{frac {pi }{2}}&{mbox{if }}x=0{mbox{ and }}y<0\{mbox{indeterminate }}&{mbox{if }}x=0{mbox{ and }}y=0.end{cases}}}$

Množenje i dijeljenje u polarnom obliku

Iz trigonometrijskih identiteta

${displaystyle cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)=cos(a+b)}$

${displaystyle cos(a)sin(b)+sin(a)cos(b)=sin(a+b)}$

imamo

${displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(cos(varphi _{1}+varphi _{2})+isin(varphi _{1}+varphi _{2})).,}$

Primjer

${displaystyle (2+i)(3+i)=5+5i.,}$

${displaystyle {frac {pi }{4}}=arctan {frac {1}{2}}+arctan {frac {1}{3}}}$

Dijeljenje

${displaystyle {frac {z_{1}}{z_{2}}}={frac {r_{1}}{r_{2}}}left(cos(varphi _{1}-varphi _{2})+isin(varphi _{1}-varphi _{2})right).}$

Trigonometrijski oblik

Ponekad je kompleksne brojeve pogodno pisati u trigonometrijskom obliku:

${displaystyle a+bi=rho (cos phi +isin phi ),}$ ,

${displaystyle rho ={sqrt {a^{2}+b^{2}}}, phi =arctan {frac {b}{a}}}$ , za ${displaystyle a>0}$ i ${displaystyle phi =pi +arctan {frac {b}{a}}}$ za ${displaystyle a<0}$ ; kada je ${displaystyle a=0}$ onda je ${displaystyle phi ={frac {pi }{2}}}$ , ako je ${displaystyle b>0}$ i ${displaystyle phi =-{frac {pi }{2}}}$ , ako je ${displaystyle b<0}$ . Broj ${displaystyle rho }$ se naziva moduo kompleksnog broja, a ${displaystyle phi }$ je argument kompleksnog broja. Množiti kompleksne brojeve je veoma pogodno baš u ovom obliku: u množenju kompleksnih brojeva množe se njihovi moduli, a argumenti se sabiraju. Iz ovog pravila proizilazi Moavrova formula:

${displaystyle (cos phi +isin phi )^{n}=cos nphi +isin nphi ,}$ .

Kompleksni brojevi se često predstavljaju vektorima u kompleksnoj ravni (slika dole). Geometrijski smisao brojeva ${displaystyle a,b,rho ,phi }$ vidi se na crtežu. U sabiranju kompleksnih brojeva njihovi vektori se sabiraju po pravilu paralelograma.

Dužina vektora ${displaystyle rho }$ je moduo, ili modul kompleksnog broja, a kao što se vidi na gornjoj slici, može se dobiti pomoću Pitagorine teoreme. Modul, intenzitet kompleksnog broja često označavamo kao apsolutnu vrednost, tj. udaljenost broja od ishodišta koordinatnog sistema: ${displaystyle |z|=rho ={sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ .

Kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku su usko povezani s eksponencijalnom funkcijom imaginarnog argumenta. Važi sledeća Ojlerova formula:

${displaystyle e^{iphi }=cos phi +isin phi ,}$ ;

tj.

${displaystyle e^{inphi }=(cos phi +isin phi )^{n},}$ ;

pomoću nje se definiše stepenovanje kompleksnih brojeva, logaritam kompleksnog broja i dr.

Kompleksni brojevi obrazuju algebarsko zatvoreno polje. Polje kompleksnih brojeva je proširenje polja realnih brojeva pridruživanjem ovom polju elementa ${displaystyle i}$ , takvog da je ${displaystyle i^{2}=-1}$ .

Množenje

Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku je slično množenju kompleksnih brojeva u standardnom obliku.

Neka su zadani kompleksni brojevi

${displaystyle z_{1}=r_{1}(cosvarphi _{1}+isinvarphi _{1})}$ i ${displaystyle z_{2}=r_{2}(cosvarphi _{2}+isinvarphi _{2})}$

onda je

${displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}(cosvarphi _{1}+isinvarphi _{1})r_{2}(cosvarphi _{2}+isinvarphi _{2})=}$

${displaystyle r_{1}r_{2}(cosvarphi _{1}cosvarphi _{2}+icosvarphi _{1}sinvarphi _{2}+icosvarphi _{2}sinvarphi _{1}+i^{2}sinvarphi _{1}sinvarphi _{2})=}$

${displaystyle r_{1}r_{2}((cosvarphi _{1}cosvarphi _{2}-sinvarphi _{1}sinvarphi _{2})+i(cosvarphi _{1}sinvarphi _{2}cosvarphi _{2}sinvarphi _{1})=}$

${displaystyle r_{1}r_{2}(cos(varphi _{1}+varphi _{2})+isin(varphi _{1}+varphi _{2})}$

Dijeljenje

Neka su zadani kompleksni brojevi

${displaystyle z_{1}=r_{1}(cosvarphi _{1}+isinvarphi _{1})}$ i ${displaystyle z_{2}=r_{2}(cosvarphi _{2}+isinvarphi _{2})}$

${displaystyle {frac {z_{1}}{z_{2}}}={frac {r_{1}(cosvarphi _{1}+isinvarphi _{1})}{r_{2}(cosvarphi _{2}+isinvarphi _{2})}}={frac {r_{1}(cosvarphi _{1}+isinvarphi _{1})}{r_{2}(cosvarphi _{2}+isinvarphi _{2})}}*{frac {r_{1}(cosvarphi _{2}-isinvarphi _{2})}{r_{2}(cosvarphi _{2}-isinvarphi _{2})}}}$

${displaystyle {frac {r_{1}}{r_{2}}}*{frac {cosvarphi _{1}cosvarphi _{2}-icosvarphi _{1}sinvarphi _{2}+icosvarphi _{2}sinvarphi _{1}-i^{2}sinvarphi _{1}sinvarphi _{2}}{cos^{2}varphi _{2}+sin^{2}varphi _{2}}}}$

${displaystyle {frac {r_{1}}{r_{2}}}(cos(varphi _{1}-varphi _{2})+isin(varphi _{1}-varphi _{2}))={frac {r_{1}}{r_{2}}}(cis(varphi _{1}-varphi _{2})}$

De Moavrova formula

Neka je ${displaystyle z=r(costheta +isintheta )=r cistheta }$ trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

${displaystyle z^{2}=z*z}$

${displaystyle z^{2}=r cistheta *r cistheta =r^{2} cis(theta +theta )=r^{2} cis2theta }$

${displaystyle z^{3}=r^{2} cis2theta *r cistheta =r^{3} cis(2theta +theta )=r^{3} cis3theta }$

${displaystyle z^{4}=r^{3} cis3theta *r cistheta =r^{4} cis(3theta +theta )=r^{4} cis4theta }$

Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

${displaystyle (cos phi +isin phi )^{n}=cos nphi +isin nphi ,}$

Izvor: Wikipedia

[6]

Šta je to kompleksan broj?

Kompleksan broj

Osobine sabiranja kompleksnih brojeva

Osobine množenja kompleksnih brojeva

Realan proizvod dva kompleksna broja

Kompleksan proizvod dva kompleksna broja

Dijeljenje kompleksnih brojeva

${displaystyle displaystyle {frac {z_{1}}{z_{2}}}displaystyle ={frac {x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}}cdot {frac {x_{2}-iy_{2}}{x_{2}-iy_{2}}}displaystyle ={frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}+i{frac {y_{1}x_{2}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}},quad {textrm {za}}quad z_{2}neq 0}$

Konjugovano kompleksni brojevi

Stepenovanje kompleksnog broja

Korjenovanje kompleksnog broja

${displaystyle {sqrt[{n}]{z}}={begin{Bmatrix}u_{0},u_{1}...u_{n}end{Bmatrix}}}$ za ${displaystyle nin N}$

Kvadratni korjen imaginarnog broja

Apsolutna vrijednost argumenta

Množenje i dijeljenje u polarnom obliku

Trigonometrijski oblik

De Moavrova formula

Izvor: Wikipedia

Leave a Reply Cancel reply

You May Have Missed

Vještačka inteligencija (AI) će da promijeni svijet kakav znamo

Zašto postoji više materije nego antimaterije u Svemiru?

Kroz kameru vašeg mobitela možete vidjeti infracrvenu svjetlost i otkriti skrivene kamere

Stranci su samo rođaci koje još niste upoznali

Kompleksan broj

Osobine sabiranja kompleksnih brojeva

Osobine množenja kompleksnih brojeva

Realan proizvod dva kompleksna broja

Kompleksan proizvod dva kompleksna broja

Dijeljenje kompleksnih brojeva

Konjugovano kompleksni brojevi

Stepenovanje kompleksnog broja

Korjenovanje kompleksnog broja

Kvadratni korjen imaginarnog broja

Apsolutna vrijednost argumenta

Množenje i dijeljenje u polarnom obliku

Trigonometrijski oblik

De Moavrova formula

Izvor: Wikipedia

Related Posts

Šta je to Grahamov broj?

Historija matematike od 70000 pne do danas

Šta su logaritmi i kakvu primjenu imaju u fizici?

Leave a Reply Cancel reply

You May Have Missed

Vještačka inteligencija (AI) će da promijeni svijet kakav znamo

Zašto postoji više materije nego antimaterije u Svemiru?

Kroz kameru vašeg mobitela možete vidjeti infracrvenu svjetlost i otkriti skrivene kamere

Stranci su samo rođaci koje još niste upoznali