Šta je to kompleksan broj?

Kompleksan broj

 

Kompleksni brojevi su u prvobitnoj predstavi izrazi oblika {displaystyle a+bi}, gde su a i {displaystyle b} realni brojevi, {displaystyle i} jedan simbol.

Complex number illustration.svg

Sabiranje, množenje i deljenje kompleksnih brojeva definiše se formulama:

malo

{displaystyle (a+ib)+(x+iy)=(a+x)+(b+y)i,},{displaystyle (a+ib)(x+iy)=(ax-by)+(ay+bx)i,},{displaystyle {frac {a+bi}{x+yi}}={frac {ax+by}{x^{2}+y^{2}}}+{frac {bx-ay}{x^{2}+y^{2}}}cdot i}

U kompleksnom broju {displaystyle z=a+bi} broj {displaystyle a} se naziva realni deo, piše se {displaystyle a=Re(z)}, a broj {displaystyle b} je imaginarni deo, piše se {displaystyle b=Im(z)}.

Kompleksan broj čiji je realni deo jednak nuli naziva se čisto imaginarni broj.

Realni brojevi predstavljaju poseban slučaj kompleksnih brojeva (kad je koeficijent uz {displaystyle i} jednak nuli). Iako se kompleksnim brojevima ne izražavaju količine, kao što je to slučaj s realnim brojevima, njihovo uvođenje koristi u rešavanju problema sastavljenih u terminima realnih brojeva, na primer, problema o prolazu struje kroz provodnik, o profilu krila aviona (koristeći funkcije Žukovskog), itd.

Nije manje važna ni primena kompleksnih brojeva na čisto matematičke probleme. Tako na primer, za nalaženje korena kubne jednačine potrebne su operacije s kompleksnim brojevima. Istorijski, kompleksni brojevi su uvedeni radi rešavanja kvadratne jednačine. Činjenica da kompleksni brojevi ne izražavaju veličine dala je povod za idealističko tumačenje kompleksnih brojeva (G. Lajbnic). velika zasluga u smislu materijalističkog tumačenja kompleksnih brojeva pripada L. Ojleru. Kompleksni broj se aksiomatski definiše kao uređen par realnih brojeva {displaystyle (a,b)}. Formule sabiranja, množenja, deljenja se postuliraju ovako:

{displaystyle (a,b)+(x,y)=(a+x,b+y),},{displaystyle (a,b)cdot (x,y)=(ax-by,ay+bx)},{displaystyle {frac {(a,b)}{(x,y)}}=({frac {ax+by}{x^{2}+y^{2}}},{frac {bx-ay}{x^{2}+y^{2}}})}.

Par {displaystyle (0;1)} se naziva imaginarna jedinica i označava simbolom {displaystyle i}. Iz poslednjih formula proizilazi da je {displaystyle i^{2}=-1}. Operacije sa kompleksnim brojevima zadovoljavaju obične zakone komutativnosti, distributivnosti i asocijativnosti (kao i u slučaju realnih brojeva). Međutim, operacije s kompleksnim brojevima pod radikalima (korenima) donekle se razlikuju od analognih operacija s realnim brojevima. Tako je

{displaystyle -1=i^{2}={sqrt {-1}}cdot {sqrt {-1}}not ={sqrt {(-1)(-1)}}=1}.Definicija

Definiciju kompleksnih brojeva kao uređenih parova dao je William R. Hamilton , irski matematičar (1805– 1865.) Ta se definicija temelji samo na osobini realnih brojeva, čime se izbjegava donekle nerazjašnjeni pojam broja {displaystyle {sqrt {-1}}} .

S druge strane, zapis oblika {displaystyle z=x+yi} pogodniji je za računanje.

Oba oblika kompleksnog broja

{displaystyle z=x+yi} i

{displaystyle z=(x,y)} potpuno su ekvivalentna.

Skup kompleksnih brojeva {displaystyle mathbb {C} } je skup svih brojeva oblika {displaystyle z=x+iy}, gdje su {displaystyle x,yin mathbb {R} }.

Posebno je {displaystyle 0=0+i0}.

{displaystyle x=mathrm {Re} (z)} je realni dio kompleksnog broja {displaystyle z},

{displaystyle y=mathrm {Im} z} je imaginarni dio kompleksnog broja {displaystyle z}.

Algebarski oblik kompleksnog broja je

{displaystyle z=x+iy} za {displaystyle x,yin mathbb {R} }

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je

{displaystyle z=r(costheta +isintheta ),rgeq 0,theta in mathbb {R} }

pri čemu je

{displaystyle r=mid zmid } modul

{displaystyle theta =ARgz} argument

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja je

{displaystyle z=r^{itheta }} za {displaystyle rgeq 0,theta in mathbb {R} }

pri čemu je

{displaystyle r=mid zmid } modul

{displaystyle theta =ARgz} argument

Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni i imaginarni dijelovi.

{displaystyle z_{1}=z_{2},,leftrightarrow ,,(operatorname {Re} (z_{1})=operatorname {Re} (z_{2}),land ,operatorname {Im} (z_{1})=operatorname {Im} (z_{2})).}

Konjugirano kompleksni broj broja {displaystyle z=x+iy} je broj {displaystyle {bar {z}}=x-iy}.

Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja {displaystyle z} je nenegativni realni broj {displaystyle r=vert zvert ={sqrt {x^{2}+y^{2}}}}.

Osobine sabiranja kompleksnih brojeva

{displaystyle (z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}} za {displaystyle forall z_{1},z_{2}in mathbb {C} } komutativnost sabiranja

{displaystyle z_{1}+(z_{2}+z_{3})=(z_{1}+z_{2})+z_{3},} za {displaystyle forall z_{1},z_{2},z_{3}in mathbb {C} } asocijativnost sabiranja

{displaystyle exists 0in mathbb {C} z+0=z} za {displaystyle forall zin mathbb {C} } neutralni element 0(nula) za sabiranje

Kompleksni broj {displaystyle 0=(0,0)=0+0i}

{displaystyle (forall zin mathbb {C} )(exists (-z)in mathbb {C} z+(-z)=0} postojanje inverznog elemanta.

Kompleksni broj {displaystyle -z=(-x,-y)=-x-yi}

Osobine množenja kompleksnih brojeva

{displaystyle (z_{1}*z_{2}=z_{2}*z_{1}} za {displaystyle forall z_{1},z_{2}in mathbb {C} } komutativnost množenja

{displaystyle z_{1}*(z_{2}+z_{3})=(z_{1}+z_{2})+z_{3}} za {displaystyle forall z_{1},z_{2},z_{3}in mathbb {C} } asocijativnost množenja

{displaystyle exists 1in mathbb {C} z*1=z} za {displaystyle forall zin mathbb {C} } neutralni element {displaystyle 1} za množenje

{displaystyle forall zin mathbb {C} )(zneq 0)(exists z'in mathbb {C} z*(-z)=1} postojanje reciproćnog elemanta

{displaystyle z_{1}*(z_{2}+z_{3})=z_{1}*z_{2}+z_{1}*z_{3}} za {displaystyle forall z_{1},z_{2},z_{3}in mathbb {C} } distributivnost množenja u odnosu na sabiranje

Realan proizvod dva kompleksna broja

U skupu kompleksnih brojeva skalarnom proizvodu vektora odgovara pojam realnog proizvoda kompleksnih brojeva koji je skalarni proizvod vektora koji su određeni kompleksnim brojevima koji se množe. Definicija

Realan proizvod kompleksnih brojeva {displaystyle b}, u oznaci {displaystyle acirc b},je realan broj određen kao

{displaystyle acirc b={frac {1}{2}}({overline {a}}b+a{overline {b}})}

Neka su A i B tačke određene kompleksnim brojevima {displaystyle a=mid amid (cosvarphi +isinvarphi )}{displaystyle b=mid bmid (cospsi +isinpsi )} Lako je proveriti da je

{displaystyle acirc b=mid amid mid bmid (cosvarphi +isinpsi )=mid OAmid mid ABmid cos{widehat {AOB}}}

Osobine realnog proizvoda dva kompleksna broja

  1. {displaystyle acirc a=mid amid ^{2}}
  2. {displaystyle acirc b=bcirc a}
  3. {displaystyle {overline {acirc b}}=acirc b}
  4. {displaystyle (alpha a)circ b=alpha (acirc b)=acirc (alpha b)}
  5. {displaystyle (az))bz)=mid zmid ^{2}(acirc b)}
  6. {displaystyle acirc b=0<=>OAperp OB} (za tačke A i B kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima {displaystyle a} i {displaystyle b})

Realan proizvod kompleksnih brojeva {displaystyle a} i {displaystyle b} jednak je potenciji koordinantnog početka {displaystyle O} kompleksne ravni u odnosu na krug čiji je prečnik {displaystyle AB}, gdje su {displaystyle A} i {displaystyle B} tačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima {displaystyle a} i {displaystyle b}.

Tačka {displaystyle M} je sredina duži AB određena kompleksnim brojem{displaystyle {frac {a+b}{2}}}, potencija tačke {displaystyle O} u odnosu na krug sa središtem u tački {displaystyle M} i poluprečnikom

{displaystyle r={frac {a-b}{2}}={frac {mid a-bmid }{2}}} jednaka je

{displaystyle OM^{2}-r^{2}=mid {frac {a+b}{2}}mid -mid {frac {a-b}{2}}mid ={frac {(a+b)({overline {a}}+{overline {b}}}{4}}-{frac {(a-b)({overline {a}}-{overline {b}})}{4}}=acirc b}

Neka su tačke {displaystyle A}{displaystyle B}{displaystyle C}{displaystyle D} taačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima {displaystyle a}, {displaystyle b}, {displaystyle c}, {displaystyle d}. Tada su sledeća tvrđenja ekvivalentna:

  1. {displaystyle ABperp CD}
  2. {displaystyle (a+b)circ (c+d)=0}
  3. {displaystyle {frac {b-a}{d-c}}in imathbb {R}  {begin{Bmatrix}0end{Bmatrix}}}
  4. {displaystyle Re({frac {b-a}{d-c}})=0}

Središte kružnice opisane oko trougla {displaystyle ABC} nalazi se u koordinantnom početku kompleksne ravni. Ako su tjemena {displaystyle A}, {displaystyle B},{displaystyle C} trougla {displaystyle ABC} određena kompleksnim brojevima {displaystyle a}, {displaystyle b}, {displaystyle c} respektivno, tada je ortocentar {displaystyle H} tog trougla određen kompleksnim brojem {displaystyle h=a+b+c}.

Kompleksan proizvod dva kompleksna broja

Kompleksan proizvod dva kompleksna broja je analogan vektorskom proizvodu vektora.

Definicija

Kompleksan broj

{displaystyle atimes b={frac {{overline {a}}b-a{overline {b}}}{2}}} nazivamo kompleksnim proizvodom kompleksnih brojeva {displaystyle a} i {displaystyle b}.

Neka su {displaystyle A} i{displaystyle B} tačke određene kompleksnim brojevima {displaystyle a=mid amid (cosvarphi +isinvarphi )} i {displaystyle a=mid bmid (cospsi +isinpsi )} Lako je provjeriti da je

{displaystyle mid atimes bmid =mid amid mid bmid sin(varphi -psi )=mid OAmid mid ABmid sin{widehat {AOB}}=2P_{AOB}}

Neka su {displaystyle a}, {displaystyle b}, {displaystyle c} kompleksni brojevi. Tada kompleksan proizvod dva kompleksna broja ima sledeće osobine

  1. {displaystyle {overline {atimes b}}=-atimes b}
  2. {displaystyle atimes b=0<=>a=0lor b=0lor a=lambda b} gdje je {displaystyle lambda in mathbb {R}  {begin{Bmatrix}0end{Bmatrix}}}
  3. {displaystyle atimes b=-btimes a}
  4. {displaystyle alpha (atimes b)=(alpha a)times b=atimes (alpha b)} , {displaystyle forall alpha in mathbb {R} } )

Ako su {displaystyle A(a)} i {displaystyle B(b)} dvije različite tačke različite od {displaystyle O(0)}, tada je {displaystyle atimes b=0} onda i samo onda ako su {displaystyle O}, {displaystyle A},{displaystyle B} kolinearne tačke.

Neka su {displaystyle A(a}) i {displaystyle B(b}) dvije različite tačke u kompleksnoj ravni različite od koordinantnog početka. Kompleksan proizvod brojeva {displaystyle a} i {displaystyle b} ima sljedeći geometrijski smisao

{displaystyle atimes b={begin{cases}2iP_{AOB} za trougao AOB pozitivno orijentisan\-2iP_{AOB} za trougao AOB negativno orijentisanend{cases}}} Neka su {displaystyle A(a)}, {displaystyle B(b)} i {displaystyle C(c)} tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada je

{displaystyle P_{ABC}={begin{cases}{frac {1}{2}}(atimes b+btimes c+ctimes a) ako je ABC pozitivno orjentisan\{frac {1}{2}}(atimes b+btimes c+ctimes a) ako je ABC negativno orjentisanend{cases}}}

Neka su {displaystyle A(a)}, {displaystyle B(b)} i {displaystyle C(c)} tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna

  1. Tačke {displaystyle A},{displaystyle B},{displaystyle C} su kolinearne
  2. {displaystyle (b-a)times (c-a)=0}
  3. {displaystyle atimes b+btimes c+ctimes a=0}

Neka su {displaystyle A(a)}, {displaystyle B(b)}, {displaystyle C(c)} i {displaystyle D(d)} četiri tačke od kojih nikoje tri nisu kolinearne. Tada je {displaystyle ABparallel CD} onda i samo onda ako je {displaystyle (b-a)times (d-c)=0}

Dijeljenje kompleksnih brojeva

{displaystyle displaystyle {frac {z_{1}}{z_{2}}}displaystyle ={frac {x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}}cdot {frac {x_{2}-iy_{2}}{x_{2}-iy_{2}}}displaystyle ={frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}+i{frac {y_{1}x_{2}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}},quad {textrm {za}}quad z_{2}neq 0}

U svakom skupu brojeva dijeljenje se definiše kao množenje inverznim elementom. Uvjerimo se da za

{displaystyle forall zin mathbb {C} )(zneq 0)exists z'in mathbb {C} }

Neka je {displaystyle z=x+yineq 0} bilo koji. Onda je {displaystyle x^{2}+y^{2}neq 0} pa je dobro definisan broj

{displaystyle z'={frac {x}{x^{2}+y^{2}}}+{frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}i}

{displaystyle {frac {1}{z}}={frac {bar {z}}{z{bar {z}}}}={frac {bar {z}}{x^{2}+y^{2}}}={frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i.}

imamo

{displaystyle z'*z=z*z'=1}

{displaystyle z'=z^{-1}={frac {1}{z}}}

Konjugovano kompleksni brojevi

Complex conjugate picture.svg

Kompleksan broj {displaystyle {overline {z}} =x-yi=r^{-itheta }} nazivamo konjugovanim broju {displaystyle z=x+yi=r^{itheta }}.

Brojevi {displaystyle z} i {displaystyle {overline {z}}} čine par konjugovanik brojeva. Njihovim sabiranjem i oduzimanjem dobijamo

{displaystyle Rez={frac {1}{2}}(z+{overline {z}})}

{displaystyle Imz={frac {1}{2i}}(z-{overline {z}})}

Lako se provjerava da vrijedi

  1. {displaystyle {overline {z_{1}+z_{2}}}={overline {z_{1}}}+{overline {z_{2}}}}
  2. {displaystyle {overline {z_{1}-z_{2}}}={overline {z_{1}}}-{overline {z_{2}}}}
  3. {displaystyle {overline {z_{1}*z_{2}}}={overline {z_{1}}}*{overline {z_{2}}}}
  4. {displaystyle {overline {({frac {z_{1}}{z_{2}}})}}={frac {overline {z_{1}}}{overline {z_{1}}}}}[6]

Neka je {displaystyle z=r(costheta +isintheta )=r cistheta } trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

{displaystyle z^{2}=z*z}

{displaystyle z^{2}=r cistheta *r cistheta =r^{2} cis(theta +theta )=r^{2} cis2theta }

{displaystyle z^{3}=r^{2} cis2theta *r cistheta =r^{3} cis(2theta +theta )=r^{3} cis3theta }

{displaystyle z^{4}=r^{3} cis3theta *r cistheta =r^{4} cis(3theta +theta )=r^{4} cis4theta }

Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

{displaystyle z^{n}=r^{n} cisntheta } ili

{displaystyle (costheta +isintheta )^{n}=cosntheta +isinntheta (nin Z)}

Stepenovanje kompleksnog broja

{displaystyle z^{n}=r^{n}(cosntheta +isinntheta )=r^{n}e^{intheta }} za {displaystyle nin N}.

{displaystyle z^{m}z^{n}=z^{m+n}}

{displaystyle (z_{1}z_{2})^{n}=(z_{1}z_{2})^{n}}

{displaystyle (z^{m})^{n}=z^{mn}}

Korjenovanje kompleksnog broja

{displaystyle {sqrt[{n}]{z}}={begin{Bmatrix}u_{0},u_{1}...u_{n}end{Bmatrix}}} za {displaystyle nin N}

gdje je

{displaystyle u_{k}={sqrt[{n}]{r}}(cos{frac {sqrt[{n}]{r}}{n}}+isin{frac {theta +2kpi }{n}})} za {displaystyle k=0,1,...(n-1)}

{displaystyle u_{k}={sqrt[{n}]{r}}e^{i(theta +2kpi )/2}} za {displaystyle k=0,1,...(n-1)}

Kvadratni korjen imaginarnog broja

{displaystyle {sqrt {i}}={frac {1}{2}}{sqrt {2}}+i{frac {1}{2}}{sqrt {2}}={frac {sqrt {2}}{2}}(1+i).}

Ovaj rezultat možemo dobiti na sljedeći način

{displaystyle i=(a+bi)^{2}!}

{displaystyle i=a^{2}+2abi-b^{2}.!}

Dobijamo dvije jednačine

{displaystyle {begin{cases}2ab=1!\a^{2}-b^{2}=0!end{cases}}}

čija su rješenja

{displaystyle a=b=pm {frac {1}{sqrt {2}}}.}

Izbor glavnog korjena daje

{displaystyle a=b={frac {1}{sqrt {2}}}.}

Rezultat možemo dobiti pomoću Moavrova formule

{displaystyle i=cos left({frac {pi }{2}}right)+isin left({frac {pi }{2}}right)}

{displaystyle {begin{aligned}{sqrt {i}}&=left(cos left({frac {pi }{2}}right)+isin left({frac {pi }{2}}right)right)^{frac {1}{2}}\&=cos left({frac {pi }{4}}right)+isin left({frac {pi }{4}}right)\&={frac {1}{sqrt {2}}}+ileft({frac {1}{sqrt {2}}}right)={frac {1}{sqrt {2}}}(1+i).\end{aligned}}}

Apsolutna vrijednost argumenta

Apsolutna vrijednost (ili modul ili veličine) kompleksnog broja {displaystyle z=x+yi} je

{displaystyle textstyle r=|z|={sqrt {x^{2}+y^{2}}}.,}

Kvadrat apsolutne vrijednosti je

{displaystyle textstyle |z|^{2}=z{bar {z}}=x^{2}+y^{2}.,}

{displaystyle varphi =arg(z)={begin{cases}arctan({frac {y}{x}})&{mbox{if }}x>0\arctan({frac {y}{x}})+pi &{mbox{if }}x<0{mbox{ and }}ygeq 0\arctan({frac {y}{x}})-pi &{mbox{if }}x<0{mbox{ and }}y<0\{frac {pi }{2}}&{mbox{if }}x=0{mbox{ and }}y>0\-{frac {pi }{2}}&{mbox{if }}x=0{mbox{ and }}y<0\{mbox{indeterminate }}&{mbox{if }}x=0{mbox{ and }}y=0.end{cases}}}

Množenje i dijeljenje u polarnom obliku

Iz trigonometrijskih identiteta

{displaystyle cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)=cos(a+b)}

{displaystyle cos(a)sin(b)+sin(a)cos(b)=sin(a+b)}

imamo

{displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(cos(varphi _{1}+varphi _{2})+isin(varphi _{1}+varphi _{2})).,}

Primjer

{displaystyle (2+i)(3+i)=5+5i.,}

{displaystyle {frac {pi }{4}}=arctan {frac {1}{2}}+arctan {frac {1}{3}}}

Dijeljenje

{displaystyle {frac {z_{1}}{z_{2}}}={frac {r_{1}}{r_{2}}}left(cos(varphi _{1}-varphi _{2})+isin(varphi _{1}-varphi _{2})right).}

Trigonometrijski oblik

Ponekad je kompleksne brojeve pogodno pisati u trigonometrijskom obliku:

{displaystyle a+bi=rho (cos phi +isin phi ),},

{displaystyle rho ={sqrt {a^{2}+b^{2}}}, phi =arctan {frac {b}{a}}}, za {displaystyle a>0} i {displaystyle phi =pi +arctan {frac {b}{a}}} za {displaystyle a<0}; kada je {displaystyle a=0} onda je {displaystyle phi ={frac {pi }{2}}}, ako je {displaystyle b>0} i {displaystyle phi =-{frac {pi }{2}}}, ako je {displaystyle b<0}. Broj {displaystyle rho } se naziva moduo kompleksnog broja, a {displaystyle phi } je argument kompleksnog broja. Množiti kompleksne brojeve je veoma pogodno baš u ovom obliku: u množenju kompleksnih brojeva množe se njihovi moduli, a argumenti se sabiraju. Iz ovog pravila proizilazi Moavrova formula:

{displaystyle (cos phi +isin phi )^{n}=cos nphi +isin nphi ,} .

Kompleksni brojevi se često predstavljaju vektorima u kompleksnoj ravni (slika dole). Geometrijski smisao brojeva {displaystyle a,b,rho ,phi } vidi se na crtežu. U sabiranju kompleksnih brojeva njihovi vektori se sabiraju po pravilu paralelograma.

Dužina vektora {displaystyle rho } je moduo, ili modul kompleksnog broja, a kao što se vidi na gornjoj slici, može se dobiti pomoću Pitagorine teoreme. Modul, intenzitet kompleksnog broja često označavamo kao apsolutnu vrednost, tj. udaljenost broja od ishodišta koordinatnog sistema: {displaystyle |z|=rho ={sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.

Kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku su usko povezani s eksponencijalnom funkcijom imaginarnog argumenta. Važi sledeća Ojlerova formula:

{displaystyle e^{iphi }=cos phi +isin phi ,};

tj.

{displaystyle e^{inphi }=(cos phi +isin phi )^{n},};

pomoću nje se definiše stepenovanje kompleksnih brojeva, logaritam kompleksnog broja i dr.

Kompleksni brojevi obrazuju algebarsko zatvoreno polje. Polje kompleksnih brojeva je proširenje polja realnih brojeva pridruživanjem ovom polju elementa {displaystyle i}, takvog da je {displaystyle i^{2}=-1}.

Množenje

Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku je slično množenju kompleksnih brojeva u standardnom obliku.

Neka su zadani kompleksni brojevi

{displaystyle z_{1}=r_{1}(cosvarphi _{1}+isinvarphi _{1})} i {displaystyle z_{2}=r_{2}(cosvarphi _{2}+isinvarphi _{2})}

onda je

{displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}(cosvarphi _{1}+isinvarphi _{1})r_{2}(cosvarphi _{2}+isinvarphi _{2})=}

{displaystyle r_{1}r_{2}(cosvarphi _{1}cosvarphi _{2}+icosvarphi _{1}sinvarphi _{2}+icosvarphi _{2}sinvarphi _{1}+i^{2}sinvarphi _{1}sinvarphi _{2})=}

{displaystyle r_{1}r_{2}((cosvarphi _{1}cosvarphi _{2}-sinvarphi _{1}sinvarphi _{2})+i(cosvarphi _{1}sinvarphi _{2}cosvarphi _{2}sinvarphi _{1})=}

{displaystyle r_{1}r_{2}(cos(varphi _{1}+varphi _{2})+isin(varphi _{1}+varphi _{2})}

Dijeljenje

Neka su zadani kompleksni brojevi

{displaystyle z_{1}=r_{1}(cosvarphi _{1}+isinvarphi _{1})} i {displaystyle z_{2}=r_{2}(cosvarphi _{2}+isinvarphi _{2})}

{displaystyle {frac {z_{1}}{z_{2}}}={frac {r_{1}(cosvarphi _{1}+isinvarphi _{1})}{r_{2}(cosvarphi _{2}+isinvarphi _{2})}}={frac {r_{1}(cosvarphi _{1}+isinvarphi _{1})}{r_{2}(cosvarphi _{2}+isinvarphi _{2})}}*{frac {r_{1}(cosvarphi _{2}-isinvarphi _{2})}{r_{2}(cosvarphi _{2}-isinvarphi _{2})}}}

{displaystyle {frac {r_{1}}{r_{2}}}*{frac {cosvarphi _{1}cosvarphi _{2}-icosvarphi _{1}sinvarphi _{2}+icosvarphi _{2}sinvarphi _{1}-i^{2}sinvarphi _{1}sinvarphi _{2}}{cos^{2}varphi _{2}+sin^{2}varphi _{2}}}}

{displaystyle {frac {r_{1}}{r_{2}}}(cos(varphi _{1}-varphi _{2})+isin(varphi _{1}-varphi _{2}))={frac {r_{1}}{r_{2}}}(cis(varphi _{1}-varphi _{2})}

De Moavrova formula 

Neka je {displaystyle z=r(costheta +isintheta )=r cistheta } trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

{displaystyle z^{2}=z*z}

{displaystyle z^{2}=r cistheta *r cistheta =r^{2} cis(theta +theta )=r^{2} cis2theta }

{displaystyle z^{3}=r^{2} cis2theta *r cistheta =r^{3} cis(2theta +theta )=r^{3} cis3theta }

{displaystyle z^{4}=r^{3} cis3theta *r cistheta =r^{4} cis(3theta +theta )=r^{4} cis4theta }

Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

{displaystyle (cos phi +isin phi )^{n}=cos nphi +isin nphi ,}

Izvor: Wikipedia

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *