Šta je to topologija?

Topologija (od grčkog τόπoς „mesto“ i λόgoς „nauka, znanje, reč“) je grana matematike koja proučava globalne (geometrijske) strukture i topološke prostore. Topologija je jedna od najmlađih grana matematike, koja je nadovezujući se na matematičku analizu i teoriju skupova, svojim dinamičnim razvojem tokom dvadesetog veka dovela do rešenja nekoliko značajnih klasičnih matematičkih problema.

Osnovni objekat u topologiji je topološki prostor, koji se definiše kao uređeni par (X, tau) nekog skupa X i podskupa njegovog partitivnog skupa u oznaci tau.

Podela

Topologija se deli na:

1. opštu topologiju, koja se bavi samim topološkim prostorima
2. algebarsku topologiju, u kojoj se proučavaju topološke invarijante, odnosno osobine topoloških prostora koje se ne menjaju pri neprekidnim preslikavanjima. U okviru algebarske topologije se nalaze još i

• geometrijska topologija, koja proučava mnogostrukosti i
• diferencijalna topologija, koja proučava diferencijalna preslikavanja.

Istorija

 

Kenigzberški mostovi, čuveni topološki problem.

Grana matematike koja se danas naziva topologijom je nastala izučavanjem određenih geometrijskih pitanja. Ojlerov rad iz 1736. o Kenigzberškim mostovima spada među prve topološke rezultate.

Izraz topologija je u nemački jezik uveo Johan Benedikt Listing 1847, u radu Vorstudien zur Topologie, Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen, pp. 67, 1848. Međutim, Listing je već deset godina koristio ovaj izraz u prepiskama.

Moderna topologija se u velikoj meri zasniva na teoriji skupova, koju je razvio Georg Kantor krajem devetnaestog veka. Kantor je, osim što je postavio osnovne ideje teorije skupova, takođe razmatrao skupove tačaka u Euklidskom prostoru, u sklopu proučavanja Furijeovih redova.

Anri Poenkare je 1895. godine objavio knjigu Analysis Situs, u kojoj je uveo koncepte homotopije i homologije, koji se danas smatraju delom algebarske topologije.

Moris Freše je, objedinjujući rad Kantora, Voltere, Arcele, Adamara, Askolija i drugih, 1906. uveo metrički prostor. Metrički prostor se danas smatra posebnim slučajem opšteg topološkog prostora. 1914, Feliks Hausdorf je skovao izraz topološki prostor i dao definiciju za ono šta se danas naziva Hausdorfovim prostorom. U današnjem značenju, topološki prostor je blago uopštavanje Hausdorfovih prostora, koje je 1922. dao Kazimir Kuratovski.

Topološki prostor i topologija

Topološki prostor je uređeni par skupa X i kolekcijom podskupova od X (podskup partitivnog skupa X) u oznaci tau, koji zadovoljavaju sledeće osobine:

1. prazan skup i X nalaze se u tau.
2. unija svih kolekcija skupova iz tau je takođe skup u tau.
3. presek svake konačne kolekcije skupova iz tau  je takođe u tau.

Kolekcija tau se naziva topologijom nad X. Elementi skupa X se obično nazivaju tačkama, mada mogu biti proizvoljni matematički objekti. Topološki prostor u kome su tačke predstavljene nekim funkcijama, naziva se funkcionalni ili funkcijski prostor.

Homotopija

 

Šolja i krofna (torus) su u topologiji međusobno ekvivalentne strukture. Na slici je prikazana kontinualna deformacija (homotopija) između njih.

Homotopija H dve neprekidne funkcije f i g koje slikaju topološki prostor X u topološki prostor Y je neprekidna transformacija H : X × [0,1] → Y tako da je za sve tačke x iz X, važi H(x,0)=f(x) i H(x,1)=g(x).