Heisenbergov princip neodređenosti za srednjoškolski nivo

U kvantnoj mehanici, Heisenbergovo načelo neodređenosti govori kako je načelno nemoguće istovremeno odrediti tačan položaj i brzinu neke čestice. Da bismo posmatranjem odredili položaj nekog tijela, moramo ga osvijetliti i primiti svjetlost koja se od njega reflektira. Međutim, zbog difrakcije svjetlosti položaj tijela možemo odrediti najpreciznije na talasnu dužinu svjetlosti pa tako možemo pisati da je neodređenost položaja tijela jednaka talasnoj dužini svjetlosti (Δx≈λ). Smanjenjem talasne dužine korištene svjetlosti možemo sve preciznije odrediti položaj tražene čestice, ali u tom slučaju povećavamo energiju zračenja (E=hf=hc/λ), odnosno čestične osobine svjetlosti (elektromagnetskog talasa) čiji foton u tom slučaju ima veću količinu kretanja (p=h/λ) pa tako u “sudaru” s posmatranom česticom više mijenja njenu količinu kretanja (u odnosu na početnu) tako da je i nju nemoguće sasvim tačno odrediti. Povećanjem čestičnih osobina svjetlosti kojom osvjetljavamo (smanjenje talasne dužine) gubi se na preciznosti mjerenja brzine (količine kretanja), a povećanjem talasne dužine gubi se na preciznosti određivanja položaja. Ovo nije posljedica nesavršenosti mjernih instrumenata, nego je kvantno svojstvo samog posmatranog sistema i nemoguće ga je izbjeći i upotrebom usavršenih mjernih instrumenata. Što preciznije mjerimo položaj, manje precizno mjerimo brzinu i obrnuto. Ovo svojstvo otkrio je 1927. godine njemački fizičar Werner Heisenberg a obično se formulira ovako:

Δp·Δx≥ħ/2

gdje je Δp neodređenost količine kretanja, Δx neodređenost položaja, a ħ je reducirana Planckova konstanta (ħ=h/2π) h=6,626·10⁻³⁴ Js

ili drukčije formulirano:

ΔE·Δt≥ħ/2

gdje je ΔE neodređenost energije, a Δt neodređenost mjerenja vremenskog intervala.

Ove relacije vrijede i u makrosvijetu (svijetu klasične mehanike), ali tamo su neprimjetljive jer je neodređenost položaja zanemariva u odnosu na dimenzije tijela, a neodređenost količine kretanja u odnosu na ukupnu količinu kretanja tijela.

Heisenbergovo načelo neodređenosti izazvalo je brojne kritike u svijetu fizike 20. vijeka (najpoznatije od Alberta Einsteina) jer je utjelovljenje kontrarnosti(?) determinističkim principima dotadašnje fizike, otpočelo je eru probabilističkog pristupa kvantnoj fizici i postavilo bitnu granicu preciznosti eksperimenta.

Heisenbergovo načelo neodređenosti za fakultetski nivo

Werner Karl Heisenberg, formulirao je 1927. princip neodređenosti

Heisenbergovo načelo neodređenosti ili relacije neodređenosti su bilo koja inačica nejednakosti koja govori o fundamentalnom ograničenju spoznaje vrijednosti komplementarnih fizikalnih veličina.

Prvi takav princip uvedeo je 1927. godine njemački fizičar Werner Heisenberg, a formuliran je za fizikalne veličine položaja i količine gibanja: što točnije poznajemo položaj, manje točno možemo poznavati količinu gibanja – i obrnuto. Heisenberg je izvorno svoje relacije izrazio preko matrične mehanike (koju je osmislio kao dvadesetdvogodišnjak, za potrebe kvantne mehanike, 1925. godine kada se povukao na otok Helgoland da bi izbjegao jake alergijske napade od kojih je patio ), tj. preko komutacijskih relacija:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42dbbd0db710385288536bcf4f4a1b7cceb75d9a" alt="{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }" width="4402" height="1223.9">

Gdje se $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18d95a7845e4e16ffb7e18ab37a208d0ab18e0e0" alt="{\displaystyle {\hat {x}}}" width="572.5" height="936.9">$ i $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bd4c026f1b3413adc58b9b65e89e62bce92c85a" alt="{\displaystyle {\hat {p}}}" width="623.8" height="1080.4">$ operatori položaja i količine gibanja, a $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de68de3a92517953436c93b5a76461d49160cc41" alt="{\displaystyle \hbar }" width="562.5" height="936.9">$ reducirana Planckova konstanta.

Kada se nejednakost izrazi preko standardne devijacije, kao što su to napravili Earle Hesse Kennard i Hermann Weyl, postaje jasnije da je riječ o organičavanju znanja o položaju i količini gibanja:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa9d9f8633ac3a229161d96ae52aef18d80a6a80" alt="{\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}~~}" width="4860.4" height="2300.3">

Gdje su $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebf4ab08fe163a6c495cad6f4d67653287c4044c" alt="{\displaystyle \sigma _{x}}" width="1076.3" height="865.1">$ i $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd141c4b4b162275b62a7b903a1a065271fae3cb" alt="{\displaystyle \sigma _{p}}" width="1027.5" height="1008.6">$ standardne devijacije položaja i količine gibanja, definirane kao: $^{2}}}}<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb2f8b00d0a80409413ea7591c2a4d6afcb5f0f0" alt="{\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\langle {\hat {x}}^{2}\rangle -\langle {\hat {x}}\rangle ^{2}}}}" width="8244.6" height="2085">$ i $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f734a04ab5323ebefafbef5d797d35afc2773fab" alt="{\displaystyle \sigma _{p}={\sqrt {\langle {\hat {p}}^{2}\rangle -\langle {\hat {p}}\rangle ^{2}}}.}" width="8499.9" height="2085">$

Formulacije

Valno-mehanička formulacija

Ilustrativni prikaz superpozicije nekoliko ravnih valova koji formiraju valni paket. Vidimo da valni paket postaje sve više lokaliziran, dodavanjem novih ravnih valova.

Prema de Broglievoj hipotezi, svaka čestica ima ujedno i valna svojstva. Informacije o položaju čestice, u kvantnoj mehanici, dobiva se iz valne funkcije $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f78f255e641e6cd2cd4bcb63183af3a47d84808e" alt="{\displaystyle \Psi (x,t)}" width="2936.7" height="1223.9">$ . Vremenski neovisna valna funkcija za jednostavni ravni valnog broja k₀ i količine gibanjap₀ je

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28e16662c2e82f9f0d05d896c70f224b6a4f4d73" alt="{\displaystyle \psi (x)\propto e^{ik_{0}x}=e^{ip_{0}x/\hbar }~.}" width="9823.4" height="1439.2">

Vjerojatnost nalaženja čestice između a i b je, po Bornovom pravilu, definirana kao

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8852ff1f2e7c518fce8dfbb77f8e8a7920c63f3" alt="{\displaystyle \operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} x~.}" width="13521.6" height="2730.8">

Očito je da je u slučaju ravnoga valna $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99516be05fd9132a16e5f2dcd0cb03bd632eab12" alt="{\displaystyle |\psi (x)|^{2}}" width="3013.9" height="1439.2">$ funkcija konstanta, odnosno, čestica može biti bilo gdje, u promatranom prostoru, sa jednakom vjerojatnosti. Drugim riječima, položaj čestice je maksimalno neodređen. Ako promatramo valnu funkciju koja je superpozicija više valova (kao na animaciji desno):

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95db00b9b9c4b8e1cc44f06f79a4fb41b2068e0f" alt="{\displaystyle \psi (x)\propto \sum _{n}A_{n}e^{ip_{n}x/\hbar }~,}" width="9490.6" height="2372">

gdje A _n predstavlja koeficijent, odnosno doprinos vala količine gibanja p_n rezultantnom valu. Prijeđemo li sa sume po diskretnim valovima na kontinuirani slučaj, rezultantna valna funkcija biti će integral preko svih mogućih valova

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2ce20623d54c0a5ac8dc4445cecfc69430ea7dc" alt="{\displaystyle \psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\phi (p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp~,}" width="15062.2" height="2730.8">

gdje $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/772d7fe1c5a3439845a87f55d45af038956b3f12" alt="{\displaystyle \phi (p)}" width="1879" height="1223.9">$ predstavlja amplitudu koja je Fourierov transform od $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a596a1fb4130a47f6b88c66150497338bd6cbccc" alt="{\displaystyle \psi (x)}" width="2003" height="1223.9">$ . Sa ovom funkcijom, pozicija je postala preciznije definirana, ali je sada količina gibanja slabije definirana pošto je rezultantni val superpozicija valova sa raznim količinama gibanja. Točnije, smanjili smo standardnu devijaciju pozicije σ_x na račun povećavanja standardne devijacije količine gibanja σ_p.

Stoga, ukoliko povećamo σ_x, smanjiti će se σ_p i obrnuto. Zaključujemo da je odnos σ_x i σ_p obrnuto proporcionalan, što je upravo ono što govore Heisenbergove relacije neodređenosti. Može se pokazati da umnožak σ_x i σ_p daje upravo vrijednost $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4f8178c614e701fae52026f2299b0adcc367dd3" alt="{\displaystyle {\frac {\hbar }{2}}}" width="922.5" height="2300.3">$ .

Matrična formulacija

U matričnoj mehanici, izvornom načinu na kojem je Heisenberg došao do svojih relacija, opservable poput položaja i količine gibanja samoadjungirani operatori. Za početak, definirajmo komutacijske relacije između dva operatora kao

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3133da214f8f0fcf1ba11e907cfd121a2179b1b4" alt="{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}.}" width="8409.7" height="1439.2">

U slučaju operatora položaja i količine gibanja, imamo

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fee0861ae7784cb51a1b43f6c51735c22c23274e" alt="{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar .}" width="4680.5" height="1223.9">

Neka je $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc27f1893b769a08cd6b296e115a29e61cab675e" alt="{\displaystyle |\psi \rangle }" width="1319.5" height="1223.9">$ vlastita funkcija operatora položaja sa konstantnom vlastitom vrijednosti x₀, što per definitionem znači da je $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99974c4e6ad4d675c7552a4228f51c68b184349a" alt="{\displaystyle {\hat {x}}|\psi \rangle =x_{0}|\psi \rangle .}" width="5850.5" height="1223.9">$ . Primijenimo spomenuti komutator na $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc27f1893b769a08cd6b296e115a29e61cab675e" alt="{\displaystyle |\psi \rangle }" width="1319.5" height="1223.9">$ i dobit ćemo:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8255257353e4743e966c106dea5674689ed04690" alt="{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =({\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}})|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle ,}" width="21952.1" height="1439.2">

gdje je Î operator identiteta.

Pretpostavimo, radi reductio ad absurdum, da je ${\displaystyle |\psi \rangle }<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc27f1893b769a08cd6b296e115a29e61cab675e" alt="{\displaystyle |\psi \rangle }" width="1319.5" height="1223.9">$ ujedno i vlastita funkcija operatora količine gibanja, sa vlastitom vrijednosti p₀; tada bismo imali

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49ffc3dad1441f176ffe0df7d6d3001872c9d497" alt="{\displaystyle ({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =(x_{0}{\hat {I}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =0.}" width="25616.7" height="1439.2">

Međutim, takav rezultat je upravo u kontradikciji sa Heisenbergovim relacijama neodređenosti koje zahtijevaju

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04d341bbd1c29d8f96a5ce5ad6e2cf856d1b1f40" alt="{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle \neq 0.}" width="9154.1" height="1223.9">

Što implicira da kvantna stanja ne mogu biti istovremeno vlastita funkcija položaja i količine gibanja. Drugim riječima: mjerenjem položaja, količina gibanja će biti neodređena, i obrnuto.

Važne relacije neodređenosti

Osim spomenutih relacija neodređenosti između položaja i količine gibanja, u kvantnoj mehanici često se koriste i relacije neodređenosti za: komponente kutne količine gibanja, komponente spina čestice i relacije između energije i vremena.

Za kutnu količinu gibanja vrijedi

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d32a97397e35b96330795406f1a55f6c5acfef2d" alt="{\displaystyle [{L_{x}},{L_{y}}]=i\hbar \epsilon _{xyz}{L_{z}}.}" width="8549.5" height="1295.7">

Gdje je $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21525193117bdfc0f3ac71b8ec46e3b6d0637daf" alt="{\displaystyle \varepsilon _{ijk}}" width="1471.2" height="1008.6">$ Levi-Civita simbol. Što znači da nije moguće istovremeno poznavati vrijednosti dviju komponenta kutne količine gibanja.

Za komponente spina vrijedne analogne relacije kao kod kutne količine gibanja, odnosno

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4dedf5de9d2b4259facf15dd9c85a31ecbab75e" alt="{\displaystyle [S_{i},S_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}S_{k}.}" width="8039.2" height="1295.7">

Što znači da nije moguće istovremeno poznavati vrijednosti dviju komponenta spina.

Pošto vrijeme u nerelativističkoj kvantnoj mehanici nije opservabla, umjesto vremena koristi se životni vijek stanja $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e5789e5d9c8f7c79744f43ecaaf8ba42a8553a" alt="{\displaystyle \psi }" width="651.5" height="1080.4">$ u odnosu na opservablu B, pa relacije imaju oblik

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7aef18f93d0ae0050e97df1f5b24e26df14a9f9" alt="{\displaystyle \sigma _{E}~{\frac {\sigma _{B}}{\left|{\frac {\mathrm {d} \langle {\hat {B}}\rangle }{\mathrm {d} t}}\right|}}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}" width="6755.5" height="3807.2">

gdje je σ_E standardna devijacija Hamiltonijana (operatora energije) u stanju ${\displaystyle \psi }<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e5789e5d9c8f7c79744f43ecaaf8ba42a8553a" alt="{\displaystyle \psi }" width="651.5" height="1080.4">$ , a σ_B standardna devijacija nekog operatora B. , gdje je ${\displaystyle a\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39662bfe49531f7333e721d3a3a83143f16ec13b" alt="{\displaystyle a\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}" width="4921.5" height="1223.9">$

Heisenbergov mikroskop

Relacije neodređenosti izmeđ položaj i brzinu neke čestice možemo predočiti slikovitim teorijskim primjerom Heisenbergova mikroskopa:

Heisenbergov gamma-zrake mikroskop za detekciju pozicije elektrona (obojan plavo).Nadolazeća gamma zraka (obojana zeleno) raspršuje se na elektronu i pada na mikroskop pod kutom θ. Odbijena gamma zraka obojana je crveno.

Da bismo promatranjem odredili položaj nekog tijela, moramo ga osvijetliti i primiti svjetlost koja se od njega reflektira. Međutim, zbog ogiba svjetlosti položaj tijela možemo odrediti najpreciznije na valnu duljinu svjetlosti pa tako možemo pisati da je neodređenost položaja tijela jednaka valnoj duljini svjetlosti (Δx≈λ). Smanjenjem valne duljine korištene svjetlosti možemo sve preciznije odrediti položaj tražene čestice, ali u tom slučaju povećavamo energiju zračenja (E=hf=hc/λ), odnosno čestična svojstva svjetlosti (elektromagnetskog vala) čiji foton u tom slučaju ima veću količinu gibanja (p=h/λ) pa tako u “sudaru” s promatranom česticom više mijenja njenu količinu gibanja (u odnosu na početnu) tako da je i nju nemoguće sasvim točno odrediti. Povećanjem čestičnih svojstava svjetlosti kojom osvjetljavamo (smanjenje valne duljine) gubi se na preciznosti mjerenja brzine (količine gibanja), a povećanjem valnih (povećanje valne duljine) gubi se na preciznosti određivanja položaja.

Ovo nije posljedica nesavršenosti mjernih instrumenata, nego je kvantno svojstvo samog promatranog sustava i nemoguće ga je izbjeći i uporabom savršenih mjernih instrumenata. Što preciznije mjerimo položaj, manje precizno mjerimo brzinu i obrnuto. Ovo svojstvo otkrio je 1927. godine njemački fizičar Werner Heisenberg a obično se formulira ovako:

Δp·Δx≥ħ/2

gdje je Δp neodređenost količine gibanja, Δx neodređenost položaja, a ħ je reducirana Planckova konstanta (ħ=h/2π) h=6,626·10^-34 Js

ili drukčije formulirano:

ΔE·Δt≥ħ/2

gdje je ΔE neodređenost energije, a Δt neodređenost mjerenja vremenskog intervala.

Ove relacije vrijede i u makrosvijetu (svijetu klasične mehanike), ali tamo su neprimjetljive jer je neodređenost položaja zanemariva u odnosu na dimenzije tijela, a neodređenost količine gibanja u odnosu na ukupnu količinu gibanja tijela.

Heisenbergovo načelo neodređenosti izazvalo je brojne kritike u svijetu fizike 20. stoljeća (najpoznatije od Alberta Einsteina) jer je utjelovljenje kontrarnosti determinističkim principima dotadašnje fizike, otpočelo je eru probabilističkog pristupa kvantnoj fizici i postavilo bitnu granicu preciznosti eksperimenta.

Primjeri

Čestica u kutiji

Barijere van kutije imaju beskonačno velik potencijal, dok unutar kutuje čestica ima potencijal nula.

Najjednostavniji kvantnomehanički sustav je primjer slobodne čestice u kutiji. Takva čestica se može gibati samo u jednoj dimenziji (lijevo-desno) i ograničena je u beskonačoj potencijalnoj jami (zidovi označavaju barijere u kojima je potencijalna energija beskonačna), dok je potencijalna energija unutar kutije jednaka nuli. Stoga, čestica ima samo kinetičku energiju:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/131d72b87b6e2acbdfa80847a58546a10582e065" alt="{\displaystyle V(x)={\begin{cases}0,&amp;x_{c}-{\tfrac {L}{2}}&lt;x&lt;x_{c}+{\tfrac {L}{2}},\\\infty ,&{\text{za ostalo,}}\end{cases}},}" width="16693.5" height="2802.6">

Rješavanjem Schrödingerove jednadžbe za takvu česticu, lako je naći da vlastite funkcije u koordinatnoj i impulsnoj reprezentaciji definirana kao

$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f2a3f75a6683b797bf32332366f8af0f2a300e1" alt="{\displaystyle \psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin(k_{n}x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{n}t},&0<x<L,\\0,&{\text{za ostalo,}}\end{cases}}}" width="18669.4" height="2659.1">$ i

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d389b52a1b147363a00ddc6d73b01cd6840c4f72" alt="{\displaystyle \phi _{n}(p,t)={\sqrt {\frac {\pi L}{\hbar }}}\,\,{\frac {n\left(1-(-1)^{n}e^{-ikL}\right)e^{-i\omega _{n}t}}{\pi ^{2}n^{2}-k^{2}L^{2}}}}" width="18694.5" height="2874.4">

gdje je ${\displaystyle \omega _{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar n^{2}}{8L^{2}m}}}<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ce781ba66f6a7a882b41b7814f3c36d452dbc" alt="{\displaystyle \omega _{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar n^{2}}{8L^{2}m}}}" width="5486.4" height="2587.3">$ . Varijanca (koja je korijen standardne devijacije) pozicije i količine gibanja računa se:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd6a2e8bfd65babe2bea2ea66906856f1ca26db7" alt="{\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {L^{2}}{12}}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}" width="9711.7" height="2730.8">

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/845d4699e5984ce2debebba5ac669d24abbb7298" alt="{\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}}" width="6385" height="2802.6">

Vidimo da je umnožak standardnih devijacija:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b7051cdf63a3e433817b98489d4c5333bbc19a4" alt="{\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}.}" width="9805.6" height="2659.1">

S obzirom da je najmanja moguća vrijednost vrijable $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" alt="{\displaystyle n}" width="600.5" height="721.6">$ upravo $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ec7e1edc2e6d98f5aec2a39ae5f1c99d1e1425" alt="{\displaystyle n=1}" width="2435.1" height="936.9">$ , nalazimo da je najmanji mogući umnožak standardnih devijacija količine gibanja i pozicije jednak

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c76e7dae230d9d8b09fd370c3c84fbe3bd98e7e8" alt="{\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{3}}-2}}\approx 0.568\hbar &gt;{\frac {\hbar }{2}}}" width="14906.3" height="2659.1">

S time pokazujemo da Heisenbergove relacije neodređenosti vrijede za česticu u kutiji. Do današnjeg dana nije pronađeno niti jedno odstupanje od Heisenbergovih relacija neodređenosti.

Kvantni harmonički oscilator

Gustoća vjerojatnosti kod kvantnog harmoničkog oscilatora.

Jednodimenzionalni kvantni harmonički oscilator je kvantnomehanička varijantna klasičnoga harmoničkoga oscilatora. U tom slučaju, operatore količine gibanja i pozicije moguće je izraziti preko operatora podizanja i spuštanja:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0df220fd111fa795fe792be841d09d13b3d1370" alt="{\displaystyle {\hat {x}}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}(a+a^{\dagger })}" width="8743.8" height="2659.1">

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4f1a279847912c0b3fce6e3ea167e0fdf2c8af6" alt="{\displaystyle a^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle }" width="9695.8" height="1367.4">

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9988ea633fb1529f1592c4133272da364cc2f4c4" alt="{\displaystyle a|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle ~}" width="7808" height="1295.7">

trivijalno je odrediti varijancu,

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb151dac9eee44a14bf6c8a5783049312f85b075" alt="{\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {\hbar }{m\omega }}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}" width="8595" height="2659.1">

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1b6facd1a9fb3fe1799fb946d8791f04959b7b2" alt="{\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\hbar m\omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\,.}" width="9360.5" height="2659.1">

Iz toga slijedi da je produkt standardnih devijacija količine gibanja i pozicije:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2826b52afe988b79570d538ba6be527a44db9707" alt="{\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}=\hbar \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\geq {\frac {\hbar }{2}}.~}" width="11275.7" height="2659.1">

Što, kao što vidimo, zadovoljava Heisenbergove relacije neodređenosti.

Von Neumannov izvod Heisenbergovih relacija

Neka je:

$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ef4c7b923a5125ac91aa491838a95ee15b804f" alt="{\displaystyle {\mathcal {H}}}" width="845.5" height="936.9">$ Hilbertov prostor,zajedno sa skalarnim produktom $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a50080b735975d8001c9552ac2134b49ad534c0" alt="{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }" width="1781.2" height="1223.9">$ i normom $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e20c2c7fb1073047e5284a79f5d685074c17e01" alt="{\displaystyle \|\cdot \|={\langle \cdot ,\cdot \rangle }^{\frac {1}{2}}}" width="5586.5" height="1726.2">$ , te sa $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f890b5c7cc24dabd1ccc7ce2ee5a0d2dc0337736" alt="{\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {H}}}" width="1273.4" height="1080.4">$ kao operatorom identiteta u $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06e7b08d32d5cce25aec2c25642c9d8e13718a29" alt="{\displaystyle {\mathcal {H}}\;}" width="1123.3" height="936.9">$ ;
$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e142925de4b554ba8ba50d038010903f9d0fe04" alt="{\displaystyle {\hat {A}}\colon {\mathcal {H}}\supset D({\hat {A}})\to {\mathcal {H}}}" width="8162.8" height="1439.2">$ i $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b68bc6cd148273df2284cc28ec4098b224d4745d" alt="{\displaystyle {\hat {B}}\colon {\mathcal {H}}\supset D({\hat {B}})\to {\mathcal {H}}}" width="8152.8" height="1439.2">$ samoadjungirani operatori u $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ef4c7b923a5125ac91aa491838a95ee15b804f" alt="{\displaystyle {\mathcal {H}}}" width="845.5" height="936.9">$ i $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b006c358f05b75b50a1be7a59660b5d4a2232ef" alt="{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=a\mathbf {1} _{\mathcal {H}}}" width="5663.1" height="1439.2">$ , gdje je $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39662bfe49531f7333e721d3a3a83143f16ec13b" alt="{\displaystyle a\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}" width="4921.5" height="1223.9">$ ;
Te $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbf87d27c1745ca3827dbc1d97d80ade34565202" alt="{\displaystyle \psi \in {\;{\bigl (}D({\hat {A}})\cap D({\hat {B}})\cap {\hat {A}}^{-1}(D({\hat {B}}))\cap {\hat {B}}^{-1}(D({\hat {A}})){\bigr )}\;}\subseteq {\mathcal {H}}}" width="23431.3" height="1726.2">$ sa normom $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/376796190f2a450e2fb67ae9ef1896dd9d90720e" alt="{\displaystyle \|\psi \|=1}" width="3487.1" height="1223.9">$ .

Tada Heisenbergove relacije možemo izvesti u četiri koraka:

Korak 1:

Neka je

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3721c5c2a38d084be130e32474fc3796734b0b7" alt="{\displaystyle \operatorname {Im} {\langle {\hat {A}}\psi ,{\hat {B}}\psi \rangle }={\frac {\langle {\hat {A}}\psi ,{\hat {B}}\psi \rangle -\langle {\hat {B}}\psi ,{\hat {A}}\psi \rangle }{2\mathrm {i} }}}" width="16432.2" height="2659.1">

Stoga:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d4204172871710c80f94b906ce70a5784c2afcf" alt="{\displaystyle 2\cdot \operatorname {Im} {\langle {\hat {A}}\psi ,{\hat {B}}\psi \rangle }=-\mathrm {i} \cdot (\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi ,\psi \rangle -\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi ,\psi \rangle )=-\mathrm {i} \cdot \langle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi -{\hat {A}}{\hat {B}}\psi ,\psi \rangle }" width="30418.2" height="1439.2">

$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c183cb95396f0dce9e540a1d25aec3c96773e73d" alt="{\displaystyle =\mathrm {i} \cdot \langle ({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}})\psi ,\psi \rangle =\mathrm {i} \cdot \langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\psi ,\psi \rangle =\mathrm {i} \cdot \langle a\mathbf {1} _{\mathcal {H}}\psi ,\psi \rangle }" width="23689.2" height="1439.2">$ $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb2b1494f996d690b1f394bd7f427d04c292cb1e" alt="{\displaystyle =\mathrm {i} \cdot a\cdot \langle \psi ,\psi \rangle }" width="5837.3" height="1223.9">$ $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8739101f50d2cbff95146b56e273576c76466bb" alt="{\displaystyle =\mathrm {i} \cdot a\cdot {\|\psi \|}^{2}}" width="5416.6" height="1439.2">$

Što znači:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd8b301627c82b7037fabfd3c1990c1bc59b5977" alt="{\displaystyle {\|\psi \|}^{2}=-{\frac {2\mathrm {i} }{a}}\cdot \operatorname {Im} {\langle {\hat {A}}\psi ,{\hat {B}}\psi \rangle }\leq {\frac {2}{|a|}}\cdot |\langle {\hat {A}}\psi ,{\hat {B}}\psi \rangle |}" width="19605.4" height="2587.3">

Pa iz Cauchy-Schwarzove nejednakosti slijedi:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d630fa07418c245e5846d311980794cd9b91c31" alt="{\displaystyle {\|\psi \|}^{2}\leq {\frac {2}{|a|}}\cdot \|{\hat {A}}\psi \|\cdot \|{\hat {B}}\psi \|}" width="11161.9" height="2587.3">

Korak 2:

Neka su $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9a89ebdf27d625a7b214cc04cfbe673f5cbddcf" alt="{\displaystyle r,s\in \mathbb {R} }" width="3311.7" height="1080.4">$ dva prozivoljna skalara, te definirajmo $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b243b5829467441e91a1e4a5b5f8d8793bff458" alt="{\displaystyle {\hat {A}}_{r}={\hat {A}}-r\mathbf {1} _{\mathcal {H}}}" width="6230.1" height="1367.4">$ i $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58365c8b44a7c7df3566f3cfa9c4c2838419e266" alt="{\displaystyle {\hat {B}}_{s}={\hat {B}}-s\mathbf {1} _{\mathcal {H}}}" width="6250.8" height="1367.4">$ . Stoga, općenito možemo zaključiti da vrijedi:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91cffcff63b491b9ed26a401dee265cc3c5a183f" alt="{\displaystyle {\|\psi \|}^{2}\leq {\frac {2}{|a|}}\cdot \|{\hat {A}}_{r}\psi \|\cdot \|{\hat {B}}_{s}\psi \|={\frac {2}{|a|}}\cdot \|{\hat {A}}\psi -r\psi \|\cdot \|{\hat {B}}\psi -s\psi \|}" width="25738.4" height="2587.3">

Korak 3:

Kao rezultat drugoga koraka, uz $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/376796190f2a450e2fb67ae9ef1896dd9d90720e" alt="{\displaystyle \|\psi \|=1}" width="3487.1" height="1223.9">$ , $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a6e7ddcd5e03139005bbf64af2b4cc6677e2ba4" alt="{\displaystyle r=\langle {\hat {A}}\psi ,\psi \rangle }" width="5077.2" height="1439.2">$ i $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/060d5ca68d44e635a3f85216410007474c42afef" alt="{\displaystyle s=\langle {\hat {B}}\psi ,\psi \rangle }" width="5090.2" height="1439.2">$ , imamo:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d770b2e644745ee85002bd13857e1c516aa1b95" alt="{\displaystyle \|{\hat {A}}\psi -\langle {\hat {A}}\psi ,\psi \rangle \psi \|\cdot \|{\hat {B}}\psi -\langle {\hat {B}}\psi ,\psi \rangle \psi \|\geq {\frac {|a|}{2}}\cdot }" width="18938.2" height="2443.8">

Korak 4:

Za slučaj kada je $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d58d4a8a3deca6f1c151d7dce27b0c0f3042affe" alt="{\displaystyle a={\frac {h}{2\pi \mathrm {i} }}}" width="3576.1" height="2300.3">$ , dobivamo rezultat važan za kvantnu mehaniku, odnosno Heisenbergove relacije neodređenosti:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4105cb94e3dbdfdad3f338264b3340adc931c85f" alt="{\displaystyle \|{\hat {A}}\psi -\langle {\hat {A}}\psi ,\psi \rangle \psi \|\cdot \|{\hat {B}}\psi -\langle {\hat {B}}\psi ,\psi \rangle \psi \|\geq {\frac {h}{4\pi }}\cdot }" width="18925.7" height="2300.3">

Interpretacija relacija neodređenosti

Interpretacija relacija neodređenosti bila je jedna od glavnih točaka prijepora između Bohra i Einsteina, naročito na petoj Solvayavoj konferenciji. Po Kopenhagenskoj kvantnoj mehanici, ukoliko dvije fizikalne veličine ne komutiraju, one nemaju istovremenu fizikalnu realnost. Što znači da ukoliko poznajemo poziciju, količina gibanja nema realnost (tj. ne postoji). Također, ukoliko čestici poznajemo komponentu spina u x-smjeru, to znači da čestica nema ostale komponente spina. S druge strane, Einstein je to vidio kao naznaku nepotpunosti teorije, a ne kao znak da neke fizikalne veličine ne postoje ukoliko znamo njihove konjugirane parove.

Izvori

Heisenberg, W. (21. ožujka 1927.). “Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik”. Zeitschrift für Physik 43 (3–4): 172–198.
Trabesinger, A.. “History of quantum mechanics: The path to agreement”. Nature Physics 4: 349.
↑ L.D. Landau, E.M. Lifshitz (1977). Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory, 3rd, Pergamon Press. ISBN 978-0-08-020940-1 Online copy.
Hilgevoord, Jan (1998). “The uncertainty principle for energy and time. II.”. American Journal of Physics 66 (5): 396–402.
Predložak:Literatur
Mehra, J. (1987.). “Niels Bohr’s discussions with Albert Einstein, Werner Heisenberg, and Erwin Schrödinger: The origins of the principles of uncertainty and complementarity”. Foundations of Physics 17 (5): 461–506.
Bohr N. Discussions with Einstein on Epistemological Problems in Atomic Physics. The Value of Knowledge: A Miniature Library of Philosophy. Marxists Internet Archive. pristupljeno 2016-01-09 From Albert Einstein: Philosopher-Scientist (1949), publ. Cambridge University Press, 1949. Niels Bohr’s report of conversations with Einstein.
Paul Arthur Schilpp. Albert Einstein: Philosopher Scientist, Tudor Publishing Company (1951), str. 672.

Glavni izvor:

Tekst je u cjelosti preuzet sa Wikipedije!

3 thoughts on “Šta je to Heisenbergovo načelo neodređenosti?”

this post says:

December 4, 2023 at 02:44

I’m not trying to argue.. however are you certain about this? It seems a bit redundant and I’m concerned for you :/

Pingback: Može li fizika predvidjeti budućnost? – FIZIKA (Физика)
Pingback: Šta nas fizika može naučiti o marketingu? – FIZIKAFIZIKAFIZIKA

www.svafizika.org

Šta je to Heisenbergovo načelo neodređenosti?

Heisenbergov princip neodređenosti za srednjoškolski nivo

Heisenbergovo načelo neodređenosti za fakultetski nivo