Schrödingerova jednadžba
gdje je:
reducirana Planckova konstanta imaginarna jedinica, parcijalna derivacija po vremenu valna funkcija nabla operator-
potencijalna energija
Ova jednadžba na određeni je način postulirana (1925. godine), slično kao i Newtonovi zakoni gibanja. Schrödingerova jednadžba u okviru kvantne mehanike ima ulogu koju u klasičnoj mehanici ima drugi Newtonov zakon gibanja. Iako se do ove jednadžbe ne može doći egzaktnim matematičkim izvodom, ona je plauzibilna sa drugim poznatim fizikalnim činjenicama i očekivanim rezultatim:
– U slučaju slobodne čestice (potencijalna energija je nula), dobiva se valno rješenje, što je u skladu sa pretpostavkom o valnim svojstvima čestica, koju je postavio Louis de Broglie.
– Za makroskopske objekte mogu se zanemariti kvantni efekti, pa uz
Vremenski neovisna Schrödingerova jednadžba
U mnogim slučajevima razmatra se stanje koje je stacionarno u vremenu, pa jednadžba izgleda kao:
ili:
Promatrano sa matematičkog stajališta, valna funkcija, koja je rješenje diferencijalne jednadžbe drugog reda Sturm-Liouville tipa, mora biti kontinuirana i mora imati kontinuiranu derivaciju drugog reda. S obzirom da su električni naboj i struja definirani pomoću valne funkcije, naboj i struja također su kontinuirani. Osim matematičkih uvjeta, valna funkcija, kao rješenje Schrodingerove jednadžbe, mora zadovoljavati i neke fizikalne uvjete. Očito je da valna funkcija mora biti jednoznačna i konačna u cijelom prostoru. Rubni uvjeti na gore navedenu jednadžbu, također su fizikalni uvjeti. Tako za slučaj vezanog stanja, u kojemu je
U tom slučaju za svaku vremenski neovisnu Hamiltonovu funkciju
Ovo je svojstvo rješenja samo za najjednostavnije slučajeve, npr. jednodimenzionalni problemi. Često se pojavljuje slučaj da jedna vlastita vrijednost tj. jednom stanju energije odgovara nekoliko različitih valnih funkcija. Takav sistem naziva se degeneriranim. Stoga u gornjim izrazima ineks n može zapravo predstavljati nekoliko indeksa (kvantnih brojeva).
Općenito rješenje Schrodingerove jednadžbe
Kada postoje određeni
S obzirom da je Schrodingerova jednadžba linearna, vrijedi princip superpozicije rješenja, ta se generalno rješenje može prikazati kao linearna kombinacija:
Da bi ovo rješenje zadovoljavalo Schrodingerovu jednadžbu u nedegeneriranom slučaju, valne funkcije moraju biti ortogonalne, a odabrano je i da budu normirane na 1, tj. vrijedi:
gdje je:
– Kronecker delta simbol, za , inače – kompleksno konjugirana funkcija of
Fizikalno značenje valne funkcije
Sama Schrodingerova jednadžba ne daje točno fizikalno značenje valne funkcije:
gdje je:
– gustoća struje – operator divergencije
Ako se Schrodingerova jednadžba pomnoži sa
Ako se ova jednadžba usporedi sa jednadžbom kontinuiteta, slijede izrazi za gustoću naboja i gustoću struje kao:
Iako jednadžba kontinuiteta vrijedi u klasičnoj i kvantnoj mehanici, postoji fundamentalna razlika u interpretaciji. U klasičnoj fizici gustoća
Danas je pretežito prihvaćena statistička (probabilistička, vjerojatnosna) interpretacija Maxa Borna. Prema takvoj interpretaciji, produkt
Pri tome, Sama valna funkcija
Prema statističkoj interpretaciji, vjerojatnost da se čestica nalazi u infinitezimalnom volumnom elementu
Schrodingerova jednadžba ima mnoga bitna ograničenja, ova jednadžba ne može se primjenit na opis fotona. Također, nije uzet u obzir spin čestica, koji je važno fizikalno svojstvo nužno za opis mnogih fizikalnih pojava.