Šta je to Schrödingerova jednadžba?

 

Schrödingerova jednadžba

 
Schrödinger cat.png


{displaystyle -{frac {hbar }{i}}{frac {partial }{partial t}}psi (r,t)=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}nabla ^{2}psi (r,t)+V(r,t)psi (r)}

gdje je:

{displaystyle hbar } reducirana Planckova konstanta
{displaystyle  i } imaginarna jedinica, {displaystyle i={sqrt {-}}1}
{displaystyle {frac {partial }{partial t}}} parcijalna derivacija po vremenu
{displaystyle psi  (r,t) } valna funkcija
{displaystyle nabla ^{2}} nabla operator
 {displaystyle  V(r,t) } potencijalna energija

Ova jednadžba na određeni je način postulirana (1925. godine), slično kao i Newtonovi zakoni gibanja. Schrödingerova jednadžba u okviru kvantne mehanike ima ulogu koju u klasičnoj mehanici ima drugi Newtonov zakon gibanja. Iako se do ove jednadžbe ne može doći egzaktnim matematičkim izvodom, ona je plauzibilna sa drugim poznatim fizikalnim činjenicama i očekivanim rezultatim:

– U slučaju slobodne čestice (potencijalna energija je nula), dobiva se valno rješenje, što je u skladu sa pretpostavkom o valnim svojstvima čestica, koju je postavio Louis de Broglie.

– Za makroskopske objekte mogu se zanemariti kvantni efekti, pa uz {displaystyle hbar =0} jednadžba prelazi u Hamilton-Jacobijevu jednadžbu klasične mehanike.

 

Vremenski neovisna Schrödingerova jednadžba

U mnogim slučajevima razmatra se stanje koje je stacionarno u vremenu, pa jednadžba izgleda kao:

{displaystyle left[-{frac {hbar ^{2}}{2m}}nabla ^{2}+V(r)right]psi (r)=Epsi (r),}

ili:

{displaystyle -{frac {hbar ^{2}}{2m}}nabla ^{2}psi +(V(r)-E)psi =0,}

Promatrano sa matematičkog stajališta, valna funkcija, koja je rješenje diferencijalne jednadžbe drugog reda Sturm-Liouville tipa, mora biti kontinuirana i mora imati kontinuiranu derivaciju drugog reda. S obzirom da su električni naboj i struja definirani pomoću valne funkcije, naboj i struja također su kontinuirani. Osim matematičkih uvjeta, valna funkcija, kao rješenje Schrodingerove jednadžbe, mora zadovoljavati i neke fizikalne uvjete. Očito je da valna funkcija mora biti jednoznačna i konačna u cijelom prostoru. Rubni uvjeti na gore navedenu jednadžbu, također su fizikalni uvjeti. Tako za slučaj vezanog stanja, u kojemu je {displaystyle  V>E}, valna funkcija na velikim udaljenostima {displaystyle  rrightarrow infty } mora težiti prema nuli.

U tom slučaju za svaku vremenski neovisnu Hamiltonovu funkciju {displaystyle  H } postoji skup vlastitih funkcija (eigenfunctions) {displaystyle psi _{n} } i odgovarajućih realnih vrijednosti {displaystyle  E_{n} } (vlastite vrijednosti, eigenvalues), za koje vrijedi:

{displaystyle  Hpsi _{n}=E_{n}psi _{n}}

Ovo je svojstvo rješenja samo za najjednostavnije slučajeve, npr. jednodimenzionalni problemi. Često se pojavljuje slučaj da jedna vlastita vrijednost tj. jednom stanju energije odgovara nekoliko različitih valnih funkcija. Takav sistem naziva se degeneriranim. Stoga u gornjim izrazima ineks n može zapravo predstavljati nekoliko indeksa (kvantnih brojeva).

 

Općenito rješenje Schrodingerove jednadžbe

Kada postoje određeni {displaystyle  E_{n} ,psi _{n} }, rješenje vremenski ovisne Schrodingerove jednadžbe je:

{displaystyle psi _{n}(r,t)=mathrm {e} ^{-mathrm {i} E_{n}t/hbar }psi _{n}(r)}

S obzirom da je Schrodingerova jednadžba linearna, vrijedi princip superpozicije rješenja, ta se generalno rješenje može prikazati kao linearna kombinacija:

{displaystyle psi (r,t)=sum _{n}C_{n}mathrm {e} ^{-mathrm {i} E_{n}t/hbar }psi _{n}(r)}

Da bi ovo rješenje zadovoljavalo Schrodingerovu jednadžbu u nedegeneriranom slučaju, valne funkcije moraju biti ortogonalne, a odabrano je i da budu normirane na 1, tj. vrijedi:{displaystyle int psi _{n}^{*}(r)psi _{m}mathrm {d} ^{3}mathbf {r} =delta _{ij}}

gdje je:

{displaystyle delta _{ij} } – Kronecker delta simbol, {displaystyle delta _{ij}=1 } za {displaystyle i=j }, inače {displaystyle psi _{n}^{*}(r) } – kompleksno konjugirana funkcija of {displaystyle psi _{n}(r) }
 

Fizikalno značenje valne funkcije

Sama Schrodingerova jednadžba ne daje točno fizikalno značenje valne funkcije:{displaystyle psi (r) }. Do interpretacije značenja valne funkcije može se doći razmotranjem jednadžbe kontinuiteta iz klasične fizike:

{displaystyle {partial {rho (r,t)} over partial t}+nabla cdot j=0}

gdje je:

{displaystyle rho (r,t) } – gustoća naboja ovisna o položaju i vremenu

{displaystyle  j } – gustoća struje
{displaystyle nabla }operator divergencije

Ako se Schrodingerova jednadžba pomnoži sa {displaystyle psi _{n}^{*}(r)}, a kompleksno konjugirana Schrodingerova jednadžba pomnoži sa {displaystyle psi _{n}(r) }, te dobivene izrazi oduzmu jedan od drugog, dobija se izraz:

{displaystyle {partial {psi ^{*}psi } over partial t}+{ihbar  over {2m}}nabla cdot (psi nabla psi ^{*}-psi ^{*}nabla psi )=0}

Ako se ova jednadžba usporedi sa jednadžbom kontinuiteta, slijede izrazi za gustoću naboja i gustoću struje kao:

{displaystyle rho (r,t) =epsi ^{*}psi }
{displaystyle j={ihbar e over {2m}}(psi nabla psi ^{*}-psi ^{*}nabla psi )}

Iako jednadžba kontinuiteta vrijedi u klasičnoj i kvantnoj mehanici, postoji fundamentalna razlika u interpretaciji. U klasičnoj fizici gustoća {displaystyle rho (r,t) } se tretira kao broj čestica (diskretni broj), a struja {displaystyle  j } je tok čestica (opet diskretni broj). U kvantnoj mehanici jednadžba kontinuiteta može se odnositi na ponašanje samo jedne čestice. U kvantnoj mehanici impuls i položaj čestice ne mogu se istovremeno proizvoljno točno odrediti, već je njihovo određivanje ograničeno Heisenbergovim principom neodređenosti. Stoga se i interpretacija {displaystyle  j }u jednadžbi kontinuiteta mora redefinirati.

Danas je pretežito prihvaćena statistička (probabilistička, vjerojatnosna) interpretacija Maxa Borna. Prema takvoj interpretaciji, produkt {displaystyle  f(r) =psi ^{*}psi } treba shvatiti kao gustoću vjerojatnosti da se čestica nalazi u točki prostora definiranoj sa  r. To znači da kvantna mehanika čak i pri opisu samo jedne čestice daje statističko ponašanje.

Pri tome, Sama valna funkcija {displaystyle psi _{n}(r) }, koja može biti i kompleksna veličina, nije mjerljiva fizikalna veličina.

Prema statističkoj interpretaciji, vjerojatnost da se čestica nalazi u infinitezimalnom volumnom elementu{displaystyle  d^{3}x } jednaka je {displaystyle psi ^{*}psi d^{3}x }. Ovaj izraz može se integrirati preko cijelog prostora, a tada zbog uvjeta ortogonalnosti i normiranosti takva integral daje vrijednost 1. Dakle, čestica se sigurno nalazi negdje u tom prostoru.

Schrodingerova jednadžba ima mnoga bitna ograničenja, ova jednadžba ne može se primjenit na opis fotona. Također, nije uzet u obzir spin čestica, koji je važno fizikalno svojstvo nužno za opis mnogih fizikalnih pojava.

 

 

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *